解三角形题型分类讲解.doc

解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果，则B有唯一解；如果，则B有两解；如果，则B有唯一解；如果，则B无解.3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）；（2）.（3）在ABC中，所以；.（4）.二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在中，若，则角的度数为 答案：例2、已知ABC中，A，则=答案：2例3、在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b求角A的大小；答案：3题型2、三角形解的个数例1.在ABC中，已知b=40,c=20,C=60。，则此三角形的解的情况是 （ ） A. 有一解 B. 两解 C. 无解 D.有解但个数不确定例2.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A、，；B、，；C、，； D、，。例3. 在ABC中，bsinAab，则此三角形有A.一解B.两解 C.无解 D.不确定例4，在中，a=x, b=2, B=45,若三角形ABC有两个解，则x的取值范围_.例5在中题型3、判断三角形形状例1 在中，已知,判断该三角形的形状。答案：等腰三角形或直角三角形例2 ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形例3. ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若asinA=bcosB=ccosC,则ABC为A.锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.任意三角形例4. 在中，已知3b=23asinB,且cosB=cosC,角A是锐角，则的形状是_.例5. 在中，若sinA=2sinBcosC,且sinA2=sinB2+sinC2, 则的形状是_.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型4、求范围或最值问题例1、在锐角中，BC=1，B=2A，则ACcosA的值等于_,AC的取值范围为_.例2、在中，A，BC=3，则的两边AC+AB的取值范围是_.例3、在中，B，AC=3，则AB+2BC的最大值.例4、在中，B，AC=3，则的周长的最大值为_.例5、ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且acosC+12c=b.(1).求角A的大小(2)若a=1,求三角形ABC的周长l的取值范围.题型5、面积问题例1、的一个内角为，并且三边构成公差为的等差数列，则的面积为 答案：153例2.设在的内角所对边的长分别是，且b=3，c=1，ABC的面积为，求cosA与a的值；例3:在中，角的对边分别为，。（）求的值；（）求的面积.例4：的内角，所对的边分别为，向量m=a,3b与n=cosA,sinB平行（I）求；（II）若，求的面积例5在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a的值例6.在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（）求角A的大小；（）若a=6，b+c=8，求ABC的面积例7：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长题型六、边化角，角化边注意点:换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角例1:在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC（）求角C的大小；例2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为_.例3 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.例4在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.例5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.例6的内角所对的边分别为.（I）若成等差数列，证明：；（II）若成等比数列，求的最小值.题型七、三角变换与解三角形的综合问题例1. 在ABC中，AC=6, cosB=45 ，C=4（1） 求AB的长（2） 求cosA-6的值变式练习. 在中，角所对的边分别为.且bsin2C=csinB (1),求角C（2）.若sinB-3=35 ，求sinA的值2. 在中，角所对的边分别为，且tanB=2 ，tanC=3（1）.求角A的大小（2）若c=3，求b的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1. 在中，角所对的边分别为，且的面积为S，3ABAC=2S. (1)求sinA的值（2）若C=4 ABAC=16 求b 的值变式练习1.在锐角中，向量m=cosA+3，sinA+3，n=cosB,sinB,且mn(1).求A-B的值（2）.若cosB=35, AC=8, 求BC的长2. 在中，角所对的边分别为，且m=a-c，b+c，n=b-c, a,且mn（1）求B（2）若b=13, cosA+6=33926，求a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例1.在中，角所对的边分别为，a=bsinC+cosC.(1).求ABC（2）若A=2,D为三角形ABC外一点，DB=2, DC=1,求四边形ABCD面积的最大值。变式练习.如图，在平面四边形ABCD中，DAAB, DE=1, EC=7, EA=2,ADC=23，且CBE, BEC，BCE成等差数列.（1）求sinCED (2) 求BE的长4、如图，在梯形ABCD中，已知ADBC,AD=1,BD=210，CAD=4,tanADC=-2，求： （1）CD的长 （2）三角形BCD的面积课时达标训练1、在锐角中，角所对的边分别为 （1）.设BCCA=CAAB,求证三角形ABC是等腰三角形 （2）.设向量S=2sinC,-3, t=cos2C ,cosC,且st,sinA=13,求sin3-B的值.2、在中，角所对的边分别为.已知ab,a=5,c=6,sinB=35. (1)求b和sinA的值 （2）求sin2A+4的值3、在中，角所对的边分别为.a=mbcosC, m为常数.（1）若m=2,且cosC=1010, 求cosA的值；（2）若m=4,求tan（C-B）的最大值.4、如图，在梯形ABCD中，已知ADBC,AD=1,BD=210，CAD=4,tanADC=-2，求： （1）CD的长 （2）三角形BCD的面积5、已知函数f(x)=32sin2x-cosx-12 (1)求f（x）的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合； （2）设中，角所对的边分别为，且c=3，fc=0,若sinB=2sinA，求a,b的值。6. 在锐角中，角所对的边分别为，已知2cosB=2c-b. (1)若cos(A+C)=5314,求cosC的值； （2）若b=5,ACCB=-5,求三角形ABC的面积； （3）若O是三角形ABC外接圆的圆心，且cosBsinCAB+cosCsinBAC=mAO, 求m的值.解三角形基础练习1、满足，的的个数为，则为 .2、 已知，解三角形。3、在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是( ) A、B、C、D、4、 在中，若则角 .5、设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。6、在中，为边上一点，求.7、在中，已知分别为角的对边，若，试确定形状。8、在中，分别为角的对边，已知（1）求；（2）若求的面积。1、在中，若，且，则是 A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、中若面积S=则角 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为，在塔底处测得点的俯角为，若铁塔的高为，则清源山的高度为 。A、B、C、D、4、 的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。5、在中，分别为角的对边，且满足（1）求角的大小（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小。正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2c2b2ac，则角B的值为A.B.C.或D.或2已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为A75 B60 C45D303(2010上海高考)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABCA一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.B.C.D.5(2010湖南高考)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，ca，则()AabBabCabDa与b大小不能确定二、填空题6ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a，b3，C30，则A7(2010山东高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_8已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_三、解答题9ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.10在ABC中，已知a2b2c2ab.（1）求角C的大小；（2）又若sin Asin B，判断ABC的形状11(2010浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，且S(a2b2c2)（1）求角C的大小；（2）求sin Asin B的最大值12.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长