钟面上的角经典分析.doc

钟 面 上 的 角一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格圆形的表面恰好对应着一个周角360，每个大格对应30角，每个小格对应6角表面一般有时针、分针、秒针三根指针钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：表的时针转速为：30/小时或0.5/分钟；分针的转速为：6/分钟或0.1/秒钟；秒针的转速为：6/秒二、解决与钟面角有关的数学问题计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间时（分）针的转速（注意统一单位）观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b例1.从3：15到7：45，时针转过 度从1：45到2：05，分针转过 度分析：从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），时针转过的角度为：4.530=135（或2700.5=135） 或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，时针转过的角度为：430+2.56=135从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，分针转过的角度为：206=120 或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）分针转过的角度为：430=120（或：206=120）计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角1 差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b例24：00点整，时针、分针的夹角为 11：40，时针、分针的夹角为 分析：4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：430=120作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：1130=350分针转过的角度为：406=240时针、分针的夹角为：350240=110观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，时针、分针的夹角为：330=110求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解相等关系：整点后分针转过的角度整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）或：分针整点后转过的角度时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：重合；成平角；成直角分析：重合：设3时x分时针、分针重合3时整，时针、分针的夹角为90即在后x分钟，分针要比时针多走90，分针才能追及时针重合 从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角依题意有 6x0.5x=90 解得：x16分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走180依题意有 6x0.5x=90+180 解得：x49分针与时针成直角：应分两种情况讨论分针在时针的顺时针方向垂直此时钟面角为90即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走90依题意有 6x0.5x=90+90180 解得：x33分针在时针的逆时针方向垂直此时钟面角为270即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走270依题意有 6x0.5x=90+90180 解得：x65（不合题意，舍去）钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，OAB的面积第一次达到最大？分析：OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OAOB时，h=OB，此时OAB的面积最大12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，OAB的面积第一次达到最大此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x依题意有6x0.1x=90 解得x=15即经过15秒后，OAB的面积第一次达到最大