讲函数可积条件.doc

第23讲 可积条件及可积函数类授课题目可积条件及可积函数类教学内容1. 函数可积的必要条件；2. 函数可积的第一、二充要条件； 3.可积函数类（最基本三种）；4. 黎曼（Rieman）函数的可积性.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能理解函数可积的必要条件，函数可积的第一、二充要条件，学会证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性问题，了解黎曼（Rieman）函数的可积性的证明方法.教学重点及难点教学重点：函数可积的第一、二充要条件，可积函数类（三种）；教学难点：函数可积的第一、二充要条件.教学方法及教材处理提示(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点(2通过证明连续函数，只有有限多个间断点的函数和单调函数的可积性，强化学生对积分第一、二充要条件的理解和掌握.(3 关于黎曼（Rieman）函数的可积性的证明只作出一些提示，要求较好学生能理解，在习题课种再讨论.作业布置作业内容：教材 :1，2，3，4.讲授内容一、可积的必要条件 定理92 若函数在上可积，则在上必定有界 证：用反证法若在上无界，则对于的任一分割，必存在属于的某个小区间上无界在各个小区间上任意取定，并记现对任意大的正数，由于在上无界，故存在，使得于是有 由此可见，对于无论多小的，按上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与在上可积相矛盾 例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数，在上有界但不可积 证：显然，对于的任一分割，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于的任一小区间上，当取全为有理数时，；当取全为无理数时，所以不论多么小，只要点集取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即在上不可积由此可见，有界是可积的必要条件以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的二、可积的充要条件 要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值 设为对的任一分割由在上有界，它在每个上存在上、下确界：作和分别称为关于分割的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)任给，显然有 与积分和相比较，达布和只与分割有关，而与点集无关通过讨论上和与下和当时的极限来揭示在上是否可积所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的 定理93 (可积准则) 函数在上可积的充要条件是：任给,总存在相应的一个分割，使得设称为在上的振幅，有必要时也记为。由于S()(或记为)，因此可积准则又可改述如下： 定理 函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应的某一分割，使得 几何意义是：若在上可积，则包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然三、可积函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件) 定理94 若为上的连续函数，则在上可积 证：由于在闭区间上连续，因此在上一致连续这就是说，任给，存在0，对中任意两点，只要，便有所以只要对所作的分割满足，在丁所属的任一小区间上，就能使的振幅满足从而导致，由定理，证得在上可积 定理95 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积， 证：不失一般性，这里只证明在上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点 任给，取，满足，且，其中与分别为在上的上确界与下确界(设，否则为常量函数，显然可积)记在小区间上的振幅为，则 ， 因为在上连续，由定理94知在上可积再由定理93，(必要性)，存在对的某个分割，使得令，则 是对的一个分割，对于，有 根据定理9.3(充分性)，证得在上可积 定理9.6 若是上的单调函数，则在上可积 证：设为增函数，且，则为常量函数，显然可积对的任一分割，由的增性，在所属的每个小区间上的振幅为于是有 由此可见，任给，只要这时就有 所以在上可积 注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性 例2 试用两种方法证明函数在区间上可积 证：证法一由于是一增函数，虽然它在上有无限多个间断点 但由定理9.5，仍保证它在上可积 证法二(仅利用定理9.3，和定理9.5) 任给，由于，因此当充分大时，这说明在上只有有限个间断点利用定理95和定理93，推知在上可积，且存在对的某一分割，使得在把小区间与合并,成为对的一个分割.由于在上的振幅，因此得到. 所以在上可积 例3 证明黎曼函数在区间上可积，且 分析：已知黎曼函数在，以及一切无理点处连续，而在内的一切有理点处间断证明它在上可积的直观构思如下：在黎曼函数的图象中画一条水平直线,在此直线上方只有函数图象中有限个点，这些点所对应的自变量可被含于属于分割的有限个小区间中，当足够小时,这有限个小区间的总长可为任意小;而T中其余小区间上函数的振幅不大于,把这两部分相合,便可证得.