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圆的概念和性质DOEBAC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例6.已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆B任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C任何一个四边形都有一个外接圆 D等腰三角形的外心一定在它的外部2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D钝角三角形3圆的内接三角形的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个4三角形的外接圆的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个5下列说法中，正确的个数为（ ） 任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆 A1个 B2个 C3个 D4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)7.已知O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm8.如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.如图,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条BDA11.如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长C12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是m。13、 ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。14、如图，点P是半径为5的O内一点，且OP3，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为。1、在半径为2的圆中，弦长等于2的弦的弦心距为 _ 2. ABC的三个顶点在O上,且AB=AC=2,BAC=120,则O的半径= _, BC= _.3 P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_4. 如图,A,B,C三点在O上,且AB是O的直径,半径ODAC,垂足为F,若A=30,OF=3,则OA=_ , AC=_ , BC= _ .5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= _ 6.如图6, O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点. 若AB=AC,则四边形OEAD是 形;若OD=3,半径,则AB= _cm, AC= _ _ cm 7.如图7，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_(5) (6) (7)垂经定理及其推论ABDCONM例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且求证：AB=CD例2已知，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF ABCDPO。.例4 如图，在O内，弦CD与直径AB交成角，若弦CD交直径AB于点P，且O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1.已知O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A1cm B.2cm C. D.cm3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:41.已知O的直径AB=10cm，弦CDAB，垂足为M。且OM=3cm，则CD= .2D是半径为5cm的O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB= cm.3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为cm，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知O的弦AB=2cm,圆心到AB的距离为n,则O的半径R= ，O的周长为 . O的面积为 .5在O中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则O的半径是 .6O中，AB、CD是弦，且ABCD，且AB=8cm，CD=6cm，O的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD的面积等于 .AEFBCDO7如图，O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OFCD于F，OF=2cm，则BED= .8已知O的半径为10cm，弦MNEF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .圆周角与圆心角例2：如图，A是O的圆周角，且A35,则OBC=_.OABCBOCA例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=（图）EFCDGO图例：如图，是O的直径，点都在O上，若，则 例5：如图2，O的直径过弦的中点，则 例6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_._D_C_B_A_O 例7：已知O中，则O的半径为AOBDCGF1E例8 已知：如图所示，是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：考点练习1.如图，已知是O的圆周角，则圆心角是（）A B. C. D. 2.已知：如图，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）BEDACOA45 B60 C75 D903.ABC中，A30，B60，AC6，则ABC外接圆的半径为（） A B C D34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A30 B150 C30或150 D605.如图右上所示，AB是O的直径，ADDE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ）A2个 B3个 C4个 D5 个 6.下列命题中，正确的是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等ABCOABCD7.如图，O是等边三角形的外接圆，O的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）ABCD（第9题）A8.如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台。ABOCxPO10.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 。11.如图, AB是O的直径，点C在O上，BAC=30，点P在线段OB上运动.设ACP=x，则x的取值范围是 .12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时AOE56，则的度数是 . 13.如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的长 14.如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BCEDBAOC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径圆心角、弧、弦、弦心距关系定理ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如图所示，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AEOCAEBD例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于EOADEBC求证：是等边三角形综合练习一、选择题 1下列说法中正确的是（ ）O图ABCA、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2如图，在O中，AB的度数是，OBC=，那么OAC等于（ ）A、 B、 C、 D、3P为O内一点，已知OP=1cm，O的半径r=2cm，则过P点弦中，最短的弦长为（ ）A、1cm B、cm C、cm D、4cm4在O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为，若O的半径为6，则AB、CD两弦相距（ ）A、3 B、6 C、 D、5.如图所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明ODE的形状；（2）如图2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。AOBEDCGF6 如图，ABC是等边三角形，O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF的长.7 已知：如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。1.如图1，内接于，则的半径为（ ）. AB4CD52.如图2，在中，点C是AB的中点，则等于（ ）. ABCD如图1如图2 3.如图3，A、B、C、D是上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，= 度.4.如图4，已知AB是的直径，C、D是上的两点，则的度数是 .如图3如图4如图55.如图5，AB是半圆的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.6如图所示，在O中，AB是直径，COAB，D 是CO的中点，DEAB求证: EC=2EAABODEC
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