三角函数及反三角函数.doc

三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tan cot1sin csc1cos sec1sin/costansec/csccos/sincotcsc/secsin2cos211tan2sec21cot2csc2诱导公式sin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cotsin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot(其中kZ) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsintantantan（）1tan tan tantantan（） 1tan tan 2tan(/2)sin 1tan2(/2)1tan2(/2)cos 1tan2(/2) 2tan(/2)tan 1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2 2tantan2 1tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos 3tantan3tan3 13tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 2 2 coscos2sinsin 22sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）函数变换360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cos-sin-cot-tan-cscsec180-sin-cos-tan-cot-seccsc180+-sin-costancot-sec-csc270-cos-sincottan-csc-sec270+-cossin-cot-tancsc-sec360-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc反三角函数三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2,/2，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条；sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域 【-/2,/2】证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).（1）正弦函数y=sin x在-/2,/2上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在-/2,/2区间内。（2）余弦函数y=cos x在0,上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在0,区间内。（3）正切函数y=tan x在(-/2,/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-/2,/2)区间内。反三角函数主要是三个：yarcsin(x)，定义域-1,1 ，值域-/2,/2图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域-1,1 ， 值域0,，图象用蓝色线条；y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条；sin(arcsin x)=x,定义域-1,1,值域 -1,1 arcsin(-x)=-arcsinx证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x, arccos(-x)=-arccos xtan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=arccotxarcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x/2，/2时，有arcsin(sinx)=x当x0,arccos(cosx)=xx(/2，/2),arctan(tanx)=xx(0，),arccot(cotx)=xx0,arctanx=/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)(/2，/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)