波利亚解题四步骤.doc

第一，弄清问题未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二，拟定计划找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三，实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？第四，回顾反思你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚怎样解题的应用。【高考例题】：已知函数f(x)cos2(x12)，g(x)112sin2x.(1)设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间第一步：弄清问题。已知条件是什么？如本题中，已知两个三角函数，可化成yAsin(x)h的形式或yAcos(x)h的形式由已知推出：f(x)121cos(2x6)，h(x)12sin(2x3)32.第二步：制订计划。建立条件与结论之间的联系。如本题中，因为xx0是函数yf(x)的图象的一条对称轴，所以2x06k(kZ)，即2x0k6(kZ)第3页共3页所以g(x0)112sin2x0112sin(k6)当k为偶数时，g(x0)112sin(6)11434；当k为奇数时，g(x0)112sin611454.第三步：实现计划。如本题中，由sinx、cosx的单调性，将“x”看作一个整体，转化为解不等式问题即：h(x)f(x)g(x)121cos(2x6)112sin2x12cos(2x6)sin2x3212(32cos2x12sin2x)3212sin(2x3)32.当2k22x32k2(kZ)，即k512xk12(kZ)时，函数h(x)12sin(2x3)32是增函数故函数h(x)的单调递增区间是k512，k12(kZ).第四步：反思回顾检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论