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塑性：弹性：2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证 及能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。 证明： （1）将应力分量，和分别代入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）显然（a）、（b）是满足的（2）对于微小的三角板都为正值，斜边上的方向余弦,将，代入平面问题的应力边界条件的表达式 （c）则有 所以，。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量及代入物理方程，得形变分量， （d）然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得， （e）前而式的积分得到 ， （f） 其中的和分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（e）的第三式得 等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数，于是有，积分以后得，代入（f）得位移分量其中为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解1矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴（中性轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为，剪应力；并取挤压应力（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程 也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件：，；，。能满足在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。解（1）相容条件： 设 (a) 不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。（2）体力分量由应力函数得应力分量的表达式 (b) (c) (d)（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上的边界条件：， 将应力分量式(b)和式（c）代入，这些边界条件要求， 得A=0，B=0。式(b)、（c）、（d）成为 （e） （f） （g）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是,在斜面上没有任何面力，即,按照一般的应力边界条件，有将(e)、（f）、（g）代入得 （h） （i）由图可见， ， 代入式（h）、(i)求解C和D,即得，将这些系数代入式(b)、（c）、（d）得应力分量的表达式4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。解 （1）应力函数，进行求解由应力函数得应力分量（2）考察边界条件：根据对称性，得 （a） （b） （c） （d）由式（a）得 （e）由式（b）得 （f）由式（c）得 （g）由式（d）得 （h）式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得将以上系数代入应力分量，得 4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。 解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求，由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求由上式解得， (a)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量， （b） (c)式（c）中的取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。所以，轴对称问题的径向位移式（b）为，而圆简是属于平面应变问题，故上式中代替，则有 此时内径改变为，外径改变为圆环厚度的改变为5.155.15.2
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