高考总复习一轮《名师一号-数学》第13讲.ppt

第三章数列 考纲要求1 理解数列的概念 了解通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据数列的递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 并能解决简单的实际问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 并能解决简单的实际问题 考情分析数列是高中数学的重要内容 又是学习高等数学的基础 高考对本章的考查比较全面 等差数列 等比数列的考查每年都不会遗漏 一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题 分值占整个试卷的10 左右 从各地高考试卷中来看 高考关于数列方面的命题主要有以下两个方面 1 数列本身的有关知识 考查等差数列与等比数列的概念 性质 通项公式及求和公式 2 数列与其他知识的整合 其中包括数列与函数 方程 不等式 三角函数 几何的整合 这也体现了高考在 知识点的交汇处 命题的理念 数列的综合题难度都很大 甚至很多都是试卷的压轴题 它不仅考查函数与方程 转化与化归 分类讨论等重要思想 还涉及了配方法 换元法 待定系数法 放缩法基本数学方法 其中高考的热点 探索性问题也出现在今年高考的数列解答题中 第十三讲数列的概念 回归课本1 按一定次序排成的一列数叫数列 数列中的每一个数都叫这个数列的项 在函数意义下 数列是定义域为N 或它的子集 的函数 f n 是当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f 1 f 2 f n 通常用an代替f n 故数列的一般形式为 a1 a2 a3 an 简记为 an 其中an是数列的第n项 2 如果数列 an 的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式an f n 来表示 那么an f n 叫做数列的通项公式 但并非每个数列都有通项公式 也并非都是唯一的 3 如已知数列 an 的第1项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或后一项an 1 间的关系可以用一个公式表示 此公式叫做数列的递推公式 数列常用表示法有三 解析法 通项公式或递推公式 列表法 图象法 4 数列按项数来分 分为有穷数列 无穷数列 按项的增减规律分为递增数列 递减数列 摆动数列和常数列 递增数列 an 1 an 递减数列 an 1 an 常数列 an 1 an 递增数列与递减数列通称为单调数列 按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分 可分为有界数列和无界数列 答案 C 2 已知数列 an 的前n项的乘积为Tn 3n2 n N 则a100 A 3198B 3199C 3200D 3201 答案 B 答案 D 4 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 5 2011 济宁 已知数列 an 满足a1 6 a2 8 an 1 an 1 an n 2且n N 则a2006 解析 a1 6 a2 8 则a3 a2 a1 2 a4 a3 a2 2 8 6 a5 a4 a3 8 a6 a5 a4 2 a7 a6 a5 6 a8 a7 a6 8 易知 an 以6为周期 故a2006 a334 6 2 a2 8 答案 8 类型一观察法求通项公式解题准备 已知数列的前几项 写出数列的通项公式 主要从以下几个方面来考虑 1 符号用 1 n与 1 n 1 或 1 n 1 来调解 这是因为n和n 1奇偶交错 2 分式形式的数列 分子找通项 分母找通项 要充分借助分子 分母的关系 3 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列 等比数列 后面将复习到 和其它方法来解决 4 此类问题虽无固定模式 但也有其规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 分析 本题主要考查数列通项的有关基础知识 考查观察 分析 归纳 综合解决问题的能力 4 考虑数列 an 1 an a2 a1 2 a3 a2 4 a4 a3 8 an an 1 2n 1 将这n 1个式子累加 得an a1 2 22 23 2n 1 2n 2 an a1 2n 2 1 2n 2 2n 1 当n 1时 此式仍成立 故所求通项公式为an 2n 1 注意 第 4 小题的解答易忽视n 1时的检验 点评 由已知数列的前几项的值 写数列的通项公式时 要通过观察 对比 转化 归纳 猜想等手段 联想常见的数列通项的特点 探求项与项数的构成规律 同时应考虑 1 借助 1 n或 1 n 1来解决项的符号问题 2 项为分式的数列 可进行恰当的变形 寻找分子 分母各自的规律以及分子 分母间的关系 3 对较复杂的数列通项公式地探求 可借助熟知的数列 如 n2 2n n2 1 n 等以及等差数列 等比数列和其他方法来解决 2 此类问题常常因为忽略了n 2的条件而出错 即由an Sn Sn 1求得an时的n是从2开始的自然数 否则会出现当n 1时 Sn 1 S0 与前n项和定义矛盾 可见an Sn Sn 1不一定是数列 an 的通项公式 只有验证n 1时 a1 S1适合an时 an才是通项公式 3 由Sn求an时 要注意分n 1和n 2两种情况分类讨论 再检验n 1时 a1是否适合 an式 若适合 则合并为一个式子表示 若不适合 需用分段函数来表示 典例2 已知下面数列 an 的前n项和Sn 求 an 的通项公式 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n b 解析 1 a1 S1 2 3 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 类型三递推数列求通项解题准备 1 已知数列的递推关系式 求数列的通项公式的方法大致分为两类 一类是根据前n项的特点归纳猜想出an的表达式 然后用数学归纳法证明 另一类是将已知递推关系式用代数技巧整理变形为基本数列 再求通项公式 2 累加法 累乘法或构造新数列的方法是解决此类问题最常用的方法 3 由an 1 2an 1得an 1 1 2 an 1 令bn an 1 所以 bn 是以2为公比的等比数列 所以bn b1 2n 1 a1 1 2n 1 2n 1 所以an bn 1 2n 1 1 n N 4 由已知 an 0 在递推关系式两边取对数 有lgan 1 2lgan lg3 令bn lgan 则bn 1 2bn lg3 所以bn 1 lg3 2 bn lg3 所以 bn lg3 是等比数列 所以bn lg3 2n 1 2lg3 2nlg3 所以bn 2nlg3 lg3 2n 1 lg3 lgan 所以an 32n 1 5 设an 1 an an an 1 n 2 则an 1 an an 1 0 下面我们取其中一组 2 3来求an 原已知递推式变为an 1 2an 3 an 2an 1 n 2 即数列 an 1 2an 是等比数列 公比为3 首项为a2 2a1 3 所以an 1 2an 3 3n 1 3n 所以an 1 2an 3n 以下解法同第 3 题略 结果为an 3n 2n n N 点评 1 数列递推关系形如an 1 an f n 其中 f n 的前有限项可求和 此种类型的数列求通项公式时 常常是相邻两项作差 然后对差式求和 这是求通项公式的一种重要方法 2 数列递推关系形如an 1 g n an 其中 g n 的前n项的乘积简易化简 此数列求通项公式一般采用累乘法 3 数列递推关系形如an 1 c an d c d为常数 求通项公式常用构造新数列法 4 数列的递推关系形如an 1 panr p r为常数 且p 0 an 0 求an时一般采用递推关系式两边取对数的方法 5 数列的递推关系形如xan 1 yan zan 1 0 x y z为常数 求通项公式时常采用待定系数法 类型四数列基本性质的应用解题准备 1 数列的单调性是高考中经常考查的内容 有关数列的最大 小 项 数列的有界性等问题 都可以借助于数列的单调性来研究 必须牢固掌握这类问题的解决方法 这些方法主要有 1 作差法 2 作商法 3 利用数列或函数的单调性等方法 快速解题 名师作业 练全能 点击进入word