矩阵的秩的性质.doc

矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：1、 矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。2、 秩为r的n级矩阵（），任意r+1阶行列式为0，并且至少有一个r阶子式不为0.3、 ， 4、 设A是矩阵，B为矩阵，则5、 设A是矩阵，P,Q分别是s,n阶可逆矩阵，则 6、 设A是矩阵，B为矩阵，且AB=0，则7、 设A是矩阵，则其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、 对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A，则方程组有惟一非零解，则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，非齐次线性方程组有解时，惟一解，有无穷多解。还有满秩矩阵：9、 可逆满秩10、 行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n。扩展到矩阵的分块后：11、12、证明：1、 先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。设矩阵A的行向量组是，设A经过初等变换j+i*k变成矩阵B，则B的行向量组是，显然，可由线性表出，由于，因此也可由线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的列秩。容易证明，型和型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。2、 设矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个线性无关的向量，设A的第行向量线性无关，它们组成一个矩阵A1（称A1是A的子矩阵），由于A1的行向量组线性无关，因此A1的行秩为r，列秩也为r。于是A1又r列线性无关。设A1的第列线性无关，它们组成A1的一个子矩阵A2的列向量组线性无关，因此。即