行列式经典例题.doc

大学-行列式经典例题例1计算元素为aij = | ij|的n阶行列式.解 方法1 由题设知，=0，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y2前的系数. 于是= 所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D= 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D= x D+（1）a = x D+ a由于D= x + a，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a= xD+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分别加到第1列上 =方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例4 计算n阶行列式： ()解 采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素 =这个题的特殊情形是=可作为公式记下来例5计算n阶“三对角”行列式D=解 方法1 递推法DDDD即有递推关系式 D=DD (n3)故 递推得到 而，代入得 （2.1）由递推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=上式右端第一个行列式等于D，而第二个行列式=于是得递推公式，已与（2.1）式相同方法3 在方法1中得递推公式D=DD又因为当时 D=D= =-2= =于是猜想，下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立当n=k+1是，由递推公式得D=DD =所以对于nN，等式都成立例6 计算阶行列式： 其中解 这道题有多种解法方法1 化为上三角行列式其中，于是方法2 升阶（或加边）法方法3 递推法将改写为+由于 因此=为递推公式，而，于是=