各向同性材料弹性常数间的关系推导.doc

*88 各向同性材料弹性常数之间的关系在建立应力和应变间的关系时，对于各向同性材料，引用了三个弹性常数，它们是E、G、。33中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系 (8-21) 现在就证明这个关系。图822 变一纯剪切应力状态下的单元体。根据倒83的分析，主应力1存在于045的主平面上，3存 图822在于0135的主平面上，且13。将1和3代入公式（818） (818)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定律）并令20，得出1方向的线应变为 (a)此外，由剪切胡克定律，可以求得直角的剪应变为 （b）对单元体abcd来说，由于，故有。将所求出的、代入公式（811）， （811）（平面应变状态分析），并令，再次求得沿1方向的应变为将（b）式代入上式，得 （c）令（a）,(c) 两式相等，便可得到需要证明的关系式，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上关系式，也只适用于各向同性材料。以上参考材料力学刘鸿文 主编 第二版 上册89 复杂应力状态下的变形比能这一章能过变形比能推导。如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式。于是三向应力状态下的应变能为，以应变的广义胡克定律 （818）代入上式，整理得 8-24以上参考材料力学刘鸿文 主编 第三版 上册