侧面积公式推导.doc

定积分在几何上的应用3求旋转体的侧面积 设旋转体是曲线yf(x)(0，axb)，直线xa，xb绕x轴旋转而生成任取一微区间x，xdx，如图1有P(x，y)，Q(xdx，yy)，由弧微分中的讨论知： 弧长sdso(dx) 线段o(dx)dso(dx) 因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量A，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和yy，侧高为的圆台的侧面积由圆台侧面积公式可知后者等于 (yyy) 2ydyo(dx)dso(dx) 2ydso(dx)， 显然Ao(dx)，故有从而旋转体的侧面积为相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了例18 求抛物线y22px(0xa)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积由式得侧面积为 例19 求由圆x2(ya)2r2(ra)绕x轴旋转而成的环体的表面积故对哪个半圆周都有代入公式即得所求表面积为解 采用参数坐标较为方便令 xacost，ybsint 0t2弧长微分故表面积为 我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来当e习题 29求抛物线y24x，直线x8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积求旋转下列曲线所成曲面的面积 33xa(tsint)，ya(1cost)(0t2)分别绕x轴和y轴答案