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第一章实数集与函数 1实数 授课章节 第一章实数集与函数 1 实数 教学目的 使学生掌握实数的基本性质 教学重点 1 理解并熟练运用实数的有序性 稠密性和封闭性 2 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 它们 是分析论证的重要工具 教学难点 实数集的概念及其应用 教学方法 讲授 部分内容自学 教学程序 引 言 上节课中 我们与大家共同探讨了 数学分析 这门课程的研究对象 主 要内容等话题 从本节课开始 我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程 的主要内容 首先 从大家都较为熟悉的实数和函数开始 问题 为什么从 实数 开始 答 数学分析 研究的基本对象是函数 但这里的 函数 是定义在 实数集 上的 后继课 复变函数 研究的是定义在复数集上的函数 为此 我们要先了解一下实数的有关性质 一 实数及其性质 1 实数 qp 有 理 数 任 何 有 理 数 都 可 以 用 分 数 形 式 为 整 数 且 0 表 示 也 可 以 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 小 数 来 表 示 无 理 数 用 无 限 十 进 不 循 环 小 数 表 示 Rx 一 一 问题 有理数与无理数的表示不统一 这对统一讨论实数是不利的 为以 下讨论的需要 我们把 有限小数 包括整数 也表示为 无限小数 为此作如下规定 对于正有限小数 其中012 nxa 记 009 i na 为 非 负 整 数 01 9nxa 对于正整数 则记 对于负有限小数 包括负整数 0 x 9x 则先将 表示为无限小数 现在所得的小数之前加负号 0 表示为yy 0 例 2 1 0 利用上述规定 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 在此规定下 如何比较实数的大小 2 两实数大小的比较 1 定义 1给定两个非负实数 其中01 nxa 01 nyb 为非负整数 为整数 若有0 ab kab 2 9 kk 则称 与 相等 记为 若 或存在非负整数 2k xyxy0a l 使得 而 则称 大于 或 小于 分别记为 01 kl 1llb x 或 对于负实数 若按上述规定分别有 或 xy x y 则分别称为 与 或 y yx 规定 任何非负实数大于任何负实数 2 实数比较大小的等价条件 通过有限小数来比较 定义 2 不足近似与过剩近似 为非负实数 称有理数01 na 为实数 的 位不足近似 称为实数 的 位过剩近01 nnxa xnnx xn 似 对于负实数 其 位不足近似 位01 nxa 01 nnxa 过剩近似 n 注 实数 的不足近似 当 增大时不减 即有 过剩近xnx012x 似 当 n增大时不增 即有 x012 命题 记 为两个实数 则 的等价条01 nxa nyb xy 件是 存在非负整数 n 使 其中 为 的 位不足近似 为 的nx xn 位过剩近似 n 命题应用 例 1 设 为实数 证明存在有理数 满足 xyy rxry 证明 由 知 存在非负整数 n 使得 令 则 nxy 12n r为有理数 且 32 901 9 即 nnxry xry 3 实数常用性质 详见附录 28930P 1 封闭性 实数集 对 四则运算是封闭的 即任意两个实数的R 和 差 积 商 除数不为 0 仍是实数 2 有序性 关系 三者必居其一 也只居其一 ab ab 3 传递性 c ca若 则 4 阿基米德性 使得 0RnN b 5 稠密性 两个不等的实数之间总有另一个实数 6 一一对应关系 实数集 与数轴上的点有着一一对应关系 例 2 设 证明 若对任何正数 有 则 ab a a 提示 反证法 利用 有序性 取 b 二 绝对值与不等式 1 绝对值的定义 实数 的绝对值的定义为 a 0 a 2 几何意义 从数轴看 数 的绝对值 就是点 到原点的距离 表示就是数轴 a xa 上点 与 之间的距离 xa 3 性质 1 非负性 0 0 2 a 3 hh 0 aha 4 对任何 有 三角不等式 bR bb 5 a 6 b0 三 几个重要不等式 1 22a 1sin x sinx 2 均值不等式 对 记 21 Rna 算术平均值 1 nii aaM 几何平均值 121ninniaG 调和平均值 1121 ninii aaaH 有平均值不等式 即 iiiMG 121212 nnnaa 等号当且仅当 时成立 n 3 Bernoulli 不等式 在中学已用数学归纳法证明过 有不等式 1 x 1 nx N 当 且 且 时 有严格不等式0 N 2 1 nx 证 由 且x 1 nnx 1 nn x 4 利用二项展开式得到的不等式 对 由二项展开式 0 h 3 2 1 2 1 3nn hnh 有 上式右端任何一项 h 练习 P4 5 课堂小结 实数 一 实 数 及 其 性 质二 绝 对 值 与 不 等 式 作业 P4 1 1 2 2 3 3 2数集和确界原理 授课章节 第一章实数集与函数 2 数集和确界原理 教学目的 使学生掌握确界原理 建立起实数确界的清晰概念 教学要求 1 掌握邻域的概念 2 理解实数确界的定义及确界原理 并在有关命题的证明中正确地加以运 用 教学重点 确界的概念及其有关性质 确界原理 教学难点 确界的定义及其应用 教学方法 讲授为主 教学程序 先通过练习形式复习上节课的内容 以检验学习效果 此后导入新 课 引 言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论 此后又让大家自 学了第一章 1 实数的相关内容 下面 我们先来检验一下自学的效果如何 1 证明 对任何 有 1 2 xR 1 2 x 2 3 x 1 1xx 2123 x 三 式 相 加 化 简 即 可 2 证明 yx 3 设 证明 若对任何正数 有 则 abR ab ab 4 设 证明 存在有理数 满足 xy ryrx 引申 由题 1可联想到什么样的结论呢 这样思考是做科研时的经常 的思路之一 而不要做完就完了 而要多想想 能否具体问题引出一般的结论 一般的方法 由上述几个小题可以体会出 大学数学 习题与中学的不同 理论性强 概念性强 推理有理有据 而非凭空想象 课后未布置作业的习 题要尽可能多做 以加深理解 语言应用 提请注意这种差别 尽快掌握本门课 程的术语和工具 本节主要内容 1 先定义实数集 R中的两类主要的数集 区间与邻域 2 讨论有界集与无界集 3 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理 确界原理 一 区间与邻域 1 区间 用来表示变量的变化范围 设 且 其中 abR 有 限 区 间区 间 无 限 区 间 xRabxabR 开 区 间 闭 区 间 有 限 区 间 闭 开 区 间 半 开 半 闭 区 间 开 闭 区 间 xRaxxR 无 限 区 间 2 邻域 联想 邻居 字面意思 邻近的区域 与 邻近的 区域 很多 a 到底哪一类是我们所要讲的 邻域 呢 就是 关于 的对称区间 如何用数 学语言来表达呢 1 的 邻域 设 满足不等式 的全体实数 的集a 0aR x x 合称为点 的 邻域 记作 或简记为 即 U Ua Ux 其中 a 称 为 该 邻 域 的 中 心 称 为 该 邻 域 的 半 径 2 点 的空心 邻域 0 o oxaaUa 3 的 右邻域和点 的空心 右邻域a 00 UUxaaa 4 点 的 左邻域和点 的空心 左邻域00 x 5 邻域 邻域 邻域 其中 M为充分大的正数 Ux Ux 二 有界集与无界集 1 定义 1 上 下界 设 为 中的一个数集 若存在数 使得一切SR ML 都有 则称 S为有上 下 界的数集 数 称为 S的xS MxL 上界 下界 若数集 S既有上界 又有下界 则称 S为有界集 闭区间 开区间 为有限数 邻域等都是有界数集 abba 集合 也是有界数集 sin xyE 若数集 S不是有界集 则称 S为无界集 等都是无界数集 0 集合 也是无界数集 1 xyE 注 1 上 下 界若存在 不唯一 2 上 下 界与 S的关系如何 看下例 例 1 讨论数集 的有界性 Nn 为 正 整 数 解 任取 显然有 所以 有下界 1 0n 01 N 但 无上界 因为假设 有上界 M 则 M 0 按定义 对任意 都 0nN 有 这是不可能的 如取0M 则 且 1nM 符 号 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 0n 0M 综上所述知 是有下界无上界的数集 因而是无界集 N 例 2证明 1 任何有限区间都是有界集 2 无限区间都是无界集 3 由有限个数组成的数集是有界集 问题 若数集 S有上界 上界是唯一的吗 对下界呢 答 不唯一 有无穷多个 三 确界与确界原理 1 定义 定义 2 上确界 设 S是 R中的一个数集 若数 满足 1 对一切 有 即 是 S的上界 2 对任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的上界中最小的一个 则称数 为数集 S的上确界 记作0 sup 从定义中可以得出 上确界就是上界中的最小者 命题 1 充要条件supME 1 x 2 00 oSxM 使 得 证明 必要性 用反证法 设 2 不成立 则 与 是上界中最小的一个矛盾 0 o 使 得 均 有 充分性 用反证法 设 不是 E的上确界 即 是上界 但 0M 0 令 由 2 使得 与 是 E的上界矛0M 0 x 0 x 0 盾 定义 3 下确界 设 S是 R中的一个数集 若数 满足 1 对一切 有 即 是 S的下界 2 对任何 存在 使得 xS 0 xS 即 是 S的下界中最大的一个 则称数 为数集 S的下确界 记作0 inf 从定义中可以得出 下确界就是下界中的最大者 命题 2 的充要条件 ifS 1 xE 2 0 00 x有 上确界与下确界统称为确界 例 3 1 则 1 0 1 nSsupS infS 2 则 1 0 0 i xyEsupinfS 注 非空有界数集的上 或下 确界是唯一的 命题 3 设数集 有上 下 确界 则这上 下 确界必是唯一的 A 证明 设 且 则不妨设sup s Ax 有 对 使 矛盾 sup 0 x 0 x 例 sup0R sup1nZ 1inf2Z 则有 5 39Eif5E 开区间 与闭区间 有相同的上确界 与下确界 ab abba 例 4设 和 是非空数集 且有 则有 SA AS infi supASS 例 5设 和 是非空数集 若对 和 都有 则有Bx Byyxinfsup 证明 是 的上界 是 的下界 y A sup yA sup ifs BA 例 6 和 为非空数集 试证明 BS inf miinfBAS 证明 有 或 由 和 分别是 和 的下界 有x A xAif 或inf if if B 即 是数集 的下界 mBS 又 的下界就是 的下界 inf iif AS SA A 是 的下界 是 的下界 同理有n infi ifiB 于是有 inf miBS 综上 有 nfA 1 数集与确界的关系 确界不一定属于原集合 以例 3 为例做解释 2 确界与最值的关系 设 为数集 E 1 的最值必属于 但确界未必 确界是一种临界点 E 2 非空有界数集必有确界 见下面的确界原理 但未必有最值 3 若 存在 必有 对下确界有类似的结论 maxsupax 4 确界原理 Th1 1 确界原理 设 非空的数集 若 有上界 则 必有上确界 若 有SSSS 下界 则 必有下确界 S 这里我们给一个可以接受的说明 非空 Ex 我们可以找到一 ER 个整数 使得 p不是 上界 而 是 的上界 然后我们遍查1p 9 2 1p 和 1 我们可以找到一个 0q 90 使得 0 qp不是E 上界 0q是 E上界 如果再找第二位小数 1 如此下去 最后得 到 210 它是一个实数 即为 E的上确界 证明 书上对上确界的情况给出证明 下面讲对下确界的证明 不妨设S 中的元素都为非负数 则存在非负整数 n 使得 1 Sx 有 n 2 存在 1 有 1 x 把区间 n10等分 分点为 n 1 2 9 存在 1n 使得 1 有 1 2 存在 Sx2 使得 102 n 再对开区间 10等分 同理存在 2 使得1 0n 1 对任何 有 21 x 2 存在 2x 使 02 n 继续重复此步骤 知对任何 k 存在 kn使得 1 对任何 S k1021 2 存在 xk k 因此得到 n21 以下证明 Sif 对任意 x 对任何 存在 使 x 作业 P9 1 1 2 2 4 2 4 3函数概念 授课章节 第一章实数集与函数 3 函数概念 教学目的 使学生深刻理解函数概念 教学要求 深刻理解函数的定义以及复合函数 反函数和初等函数的定义 熟 悉函数的各种表示法 牢记基本初等函数的定义 性质及其图象 会求初等函数的存在域 会分析初等函数的复合关系 教学重点 函数的概念 教学难点 初等函数复合关系的分析 教学方法 课堂讲授 辅以提问 练习 部分内容可自学 教学程序 引 言 关于函数概念 在中学数学中已有了初步的了解 为便于今后的学习 本节 将对此作进一步讨论 一 函数的定义 定义 设 如果存在对应法则 使对 存在唯一 DMR fxD 的一个数 与之对应 则称 是定义在数集 上的函数 记作y fD M xy 数集 称为函数 的定义域 所对应的 称为 在点 的函数值 记Df fx 为 全体函数值的集合称为函数 的值域 记作 fxf D 即 fDyx 几点说明 1 函数定义的记号中 表示按法则 建立 到 的函数 fM fM 关系 表示这两个数集中元素之间的对应关系 也记作 习惯 xy xf 上称 自变量 为因变量 2 函数有三个要素 即定义域 对应法则和值域 当对应法则和定义域 确定后 值域便自然确定下来 因此 函数的基本要素为两个 定义域和对应法 则 所以函数也常表示为 yfxD 由此 我们说两个函数相同 是指它们有相同的定义域和对应法则 例如 1 不相同 对应法则相同 定 1 fxR 1 0 gxR 义域不同 2 相同 只是对应法则的表 2 x 达形式不同 3 函数用公式法 解析法 表示时 函数的定义域常取使该运算式子有 意义的自变量的全体 通常称为存在域 自然定义域 此时 函数的记号中的 定义域可省略不写 而只用对应法则 来表示一个函数 即 函数 或f yfx 函数 f 4 映射 的观点来看 函数 本质上是映射 对于 称为f aD f 映射 下 的象 称为 的原象 fa fa 5 函数定义中 只能有唯一的一个 值与它对应 这样定义xD y 的函数称为 单值函数 若对同一个 值 可以对应多于一个 值 则称这种x 函数为多值函数 本书中只讨论单值函数 简称函数 二 函数的表示方法 1 主要方法 解析法 公式法 列表法 表格法 和图象法 图示法 2 可用 特殊方法 来表示的函数 1 分段函数 在定义域的不同部分用不同的公式来表示 例如 符号函数 1 0sgn x 借助于 sgnx可表示 即 fx sgnfxx 2 用语言叙述的函数 注意 以下函数不是分段函数 例 取整函数 y 比如 3 5 3 3 3 3 5 4 常有 即 1x 01x 与此有关一个的函数 非负小数函数 图 y 形是一条大锯 画出图看一看 狄利克雷 Dirichlet 函数 1 0 xD 当 为 有 理 数当 为 无 理 数 这是一个病态函数 很有用处 却无法画出它的图形 它是周期函数 但却 没有最小周期 事实上任一有理数都是它的周期 黎曼 Riemman 函数 1 001 ppxqNqR 当 为 既 约 分 数当 和 内 的 无 理 数 三 函数的四则运算 给定两个函数 记 并设 定义 与12 fxDg12D f 在 上的和 差 积运算如下 gD Fxf Gxfgx Hgx 若在 中除去使 的值 即令 可在 0 2 0 DxD 上定义 与 的商运算如下 D fg fxLDg 注 若 则 与 不能进行四则运算 12D f 为叙述方便 函数 与 的和 差 积 商常分别写为 ffgfg 四 复合运算 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们 之间的对应关系 例 质量为 m的物体自由下落 速度为 v 则功率 为E 2211Emgtvgt 抽去该问题的实际意义 我们得到两个函数 把 代2 fvgt vt 入 即得f 21 fvtmgt 这样得到函数的过程称为 函数复合 所得到的函数称为 复合函数 问题 任给两个函数都可以复合吗 考虑下例 2 arcsin 1 yfuDugxER 就不能复合 结合上例可见 复合的前提条件是 内函数 的值域与 外函数 的定义域的交集不空 从而引出下面定义 2 定义 复合函数 设有两个函数 yfDugx 若 则对每一个 通过 对应 内唯一一个 ExfDE xE 值 而 又通过 对应唯一一个值 这就确定了一个定义在 上的函数 ufy 它以 为自变量 因变量 记作 或 简记xy fgx yfgxE 为 称为函数 和 的复合函数 并称 为外函数 为内函数 为中间fg fg u 变量 3 例子 例 求 并求定义 1 2xgufy xgff 域 例 1 1 2 xfxf 则 12xf xf A B C D 2 12 x 2 x 2 x 例 讨论函数 与函数 能否 0 yfu 2 1 ugR 进行复合 求复合函数 4 说明 复合函数可由多个函数相继复合而成 每次复合 都要验证能否进行 在哪个数集上进行 复合函数的最终定义域是什么 例如 复合成 2sin 1yuvx 2si1 yx 不仅要会复合 更要会分解 把一个函数分解成若干个简单函数 在分 解时也要注意定义域的变化 2 2log1 0 log 1 a ayxyuzx 2rcsinrcsinv 2i 2 xuyyvx 五 反函数 引言 在函数 中把 叫做自变量 叫做因变量 但需要指出的是 自变 yfx y 量与因变量的地位并不是绝对的 而是相对的 例如 那2 1 fut 么 对于 来讲是自变量 但对 来讲 是因变量 uf tu 习惯上说函数 中 是自变量 是因变量 是基于 随 的变化现 yfx yyx 时变化 但有时我们不仅要研究 随 的变化状况 也要研究 随 的变化的状yx 况 对此 我们引入反函数的概念 反函数概念 定义设 Xf R是一函数 如果 1x X 2 由 2121xx 或由 1 ff 则称 f在 上是 1 1 的 若 Y f 称 为满的 若 Xf是满的 1 1 的 则称 f为 1 1对应 R是 1 1 的意味着 xy 对固定 y至多有一个解x Yf是 1 1 的意味着对 Y f有且仅有一个 解 定义 设 Xf 是 1 1对应 y 由 xf 唯一确 定一个 x 由这种对应法则所确定的函数称为 y的反 函数 记为 1yf 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf 1 显然有 If 恒等变换 1 恒等变换 YXff 从方程角度看 函数和反函数没什么区别 作为函数 习惯 上我们还是把反函数记为 1xy 这样它的图形与 xfy 的图形是关于对角线 对称的 严格单调函数是 1 1对应的 所以严格单调函数有反函数 但 1 1 对应的函数 有反函数 不一定是严格单调的 看下面例子 21 30 xxf 它的反函数即为它自己 实际求反函数问题可分为二步进行 1 确定 YXf 的定义域 X和值域 Y 考虑 1 1对应条件 固定 Yy 解方程 yx 得出 1yfx 2 按习惯 自变量 因变量 互换 得 1xf 例 求 2 xesh R R的反函数 0 x y 解 固定 y 为解 2 xe 令 zx 方程变为 1z 02y 2 舍去 12 y 得 ln 2 yx 即 ln2xshx 称为反双曲正弦 定理 给定函数 f 其定义域和值域分别记为 X和 Y 若在 Y上存在函数 yg 使得 fg 则有 1yfg 分析 要证两层结论 一是 的反函数存在 我们只要证它是 1 1 对应就行了 二是要证 1 f 证 要证 xfy 的反函数存在 只要证 xf是 到 Y的 1 1 对应 1 X 2 若 21fxf 则由定理条件 我们有 1 fg 2g 即 Y 是 1 1 对应 再证 y X 使得 xfy y 由反函数定义 1fx 再由定理条件 gf 1 gfy 例 若 f存在唯一 不动点 则 xf也 不动点 R 证 存在性 设 x ff 即 xf是 f 的不动点 由唯一性 x 即存在 的不动点 唯一性 设 xf fxf 说明 x是 的不动点 由唯一性 x 从映射的观点看函数 设函数 满足 对于值域 中的每一个值 中 yfxD fDy 有且只有一个值 使得 则按此对应法则得到一个定义在 fy 上的函数 称这个函数为 的反函数 记作 fD 或1 fDyx 1 xfyfD 注 释 a 并 不是任 何函数 0 y f x y f 1 x 0 y f x 都有反函数 从映射的观点看 函数 有反函数 意味着 是 与ff 之间的一个一一映射 称 为映射 的逆映射 它把 fD1 D b 函数 与 互为反函数 并有 f 1 fx 1 fxyf c 在反函数的表示 中 是以 为自变量 为因变量 若1 xfyfD yx 按习惯做法用 做为自变量的记号 作为因变量的记号 则函数 的反f 函数 可以改写为1f yxD 应该注意 尽管这样做了 但它们的表示同一个函数 因为其定义域和对 应法则相同 仅是所用变量的记号不同而已 但它们的图形在同一坐标系中画出 时有所差别 六 初等函数 1 基本初等函数 类 常量函数 为常数 yC 幂函数 xR 指数函数 0 1ya 对数函数 log ax 三角函数 sin cs cyytgxt 反三角函数 araro xrxyarctgx 注 幂函数 和指数函数 都涉及乘幂 而在 yxR 01 xy 中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义 下面我们借助于确界来定义无 理指数幂 便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂 并保持有理批数幂的 基本性质 定义 给定实数 设 为无理数 我们规定 0 1a x sup 1 0rxx a r0 Xx有 即 f fM 取 m 即可 f 反之如果 使得 令 则 xfx 0a1 即 使得对 有 即 有界 0 fx 0 X f fR 例 2 证明 为 上的无上界函数 1 fx 0 例 3 设 为 D上的有界函数 证明 1 g inf if inf xDxxgx 2 supsups xDf 例 4验证函数 在 内有界 325 fR 解法一 由 当 时 有 623 22 xxx 0 56 22 xf 30 对 总有 即 在 内有界 R 3 f xfR 解法二 令 关于 的二次方程 有实数 25 xy 0352 yxy 根 4 425 0 y 解法三 令 对应 于是 23 tgx x ttgtgtxf 2222 sec1oin6513535 2sin2 sin625 txft 二 单调函数 定义 3设 为定义在 D上的函数 1 若f 1212 xDx 则称 为 D上的增函数 若 则称 为 D上的严格12 fx fff 增函数 2 若 则称 为 D上的减函数 若 则称12 fxf f 12 x 为 D上的严格减函数 f 例 5 证明 在 上是严格增函数 3y 证明 设 21x 212121 xx 如 02 则 3 如 1 则 221120 故 0321 x即得证 例 6 讨论函数 在 上的单调性 yx R 当 时 有 但此函数在 上的不是严格增函12 12 12x R 数 注 1 单调性与所讨论的区间有关 在定义域的某些部分 可能单调 f 也可能不单调 所以要会求出给定函数的单调区间 2 严格单调函数的几何意义 其图象无自交点或无平行于 轴的部分 更x 准确地讲 严格单调函数的图象与任一平行于 轴的直线至多有一个交点 这一x 特征保证了它必有反函数 总结得下面的结论 定理 1 设 为严格增 减 函数 则 必有反函数 且 yfxD f1f 在其定义域 上也是严格增 减 函数 f 证明 设 在 上严格增函数 对 下面证明f yfxDfy 一 这样的 只有一个 事实上 对于 内任一 由于 在 上严格增函数 当x 1 时 当 时 总之 即1 1 fy1x 1 ffy 从而 yDDfx 一 例 7 讨论函数 在 上反函数的存在性 如果 在2 2x 上不存在反函数 在 的子区间上存在反函数否 结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关 例 8 证明 当 时在 上严格增 当 时在 上严格递减 xya1 01a R 三 奇函数和偶函数 定义 4 设 D为对称于原点的数集 为定义在 D上的函数 若对每一个f 有 1 则称 为 D上的奇函数 2 x fxf f fxf 则称 为 D上的偶函数 f 注 1 从函数图形上看 奇函数的图象关于原点对称 中心对称 偶 函数的图象关于 轴对称 y 2 奇偶性的前提是定义域对称 因此 没有必要讨论奇 01 fx 偶性 3 从奇偶性角度对函数分类 奇 函 数 y sin偶 函 数 g非 奇 非 偶 函 数 ix co既 奇 又 偶 函 数 0 4 由于奇偶函数对称性的特点 研究奇偶函数性质时 只须讨论原点的 左边或右边即可四 周期函数 1 定义 设 为定义在数集 D上的函数 若存在 使得对一切 有f 0 xD 则称 为周期函数 称为 的一个周期 fx f f 2 几点说明 1 若 是 的周期 则 也是 的周期 所以周期若存在 则f nN 不唯一 如 因此有如下 基本周期 的说法 即若在周sin 2 4yx 期函数 的所有周期中有一个最小的周期 则称此最小周期为 的 基本周期 f f 简称 周期 如 周期为 i 2 任给一个函数不一定存在周期 既使存在周期也不一定有基本周期 如 1 不是周期函数 2 为常数 任何正数都是它的1yx yC 周期 第二章数列极限 引 言 为了掌握变量的变化规律 往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势 例如有这么一个变量 它开始是 1 然后为 如此 一直无尽地1 234n 变下去 虽然无尽止 但它的变化有一个趋势 这个趋势就是在它的变化过程 中越来越接近于零 我们就说 这个变量的极限为 0 在高等数学中 有很多重要的概念和方法都和极限有关 如导数 微分 积分 级数等 并且在实际问题中极限也占有重要的地位 例如求圆的面积和 圆周长 已知 但这两个公式从何而来 2 Srl 要知道 获得这些结果并不容易 人们最初只知道求多边形的面积和求直 线段的长度 然而 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上 在思 考方法上来一个突破 问题的困难何在 多边形的面积其所以为好求 是因为它的周界是一些直 线段 我们可以把它分解为许多三角形 而圆呢 周界处处是弯曲的 困难就在 这个 曲 字上面 在这里我们面临着 曲 与 直 这样一对矛盾 辩证唯物主义认为 在一定条件下 曲与直的矛盾可以相互转化 整个圆周 是曲的 每一小段圆弧却可以近似看成是直的 就是说 在很小的一段上可以 近似地 以直代曲 即以弦代替圆弧 按照这种辩证思想 我们把圆周分成许多的小段 比方说 分成 个等长的n 小段 代替圆而先考虑其内接正 边形 易知 正 边形周长为nn2sinlR 显然 这个 不会等于 然而 从几何直观上可以看出 只要正 边形的边l 数不断增加 这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长 越大 近似程度越高 n 但是 不论 多么大 这样算出来的总还只是多边形的周长 无论如何它只n 是周长的近似值 而不是精确值 问题并没有最后解决 为了从近似值过渡到精确值 我们自然让 无限地增大 记为 直观nn 上很明显 当 时 记成 极限思想 nllimnl 即圆周长是其内接正多边形周长的极限 这种方法是我国刘微 张晋 早在 第 3世纪就提出来了 称为 割圆术 其方法就是 无限分割 以直代曲 其思想在于 极限 除之以外 象曲边梯形面积的计算均源于 极限 思想 所以 我们有必要 对极限作深入研究 1数列极限的概念 教学目的 使学生建立起数列极限的准确概念 会用数列极限的定义证明数列 极限等有关命题 教学要求 使学生逐步建立起数列极限的 定义的清晰概念 深刻理解数列N 发散 单调 有界和无穷小数列等有关概念 会应用数列极限的 定义证明数列的有关命题 并能运用 语言正确表述数列N 不以某实数为极限等相应陈述 教学重点 数列极限的概念 教学难点 数列极限的 定义及其应用 教学方法 讲授为主 教学程序 一 什么是数列 1 数列的定义 数列就是 一列数 但这 一列数 并不是任意的一列数 而是有一定的 规律 有一定次序性 具体讲数列可定义如下 若函数 的定义域为全体正整数集合 则称 为数列 f N fR 注 1 根据函数的记号 数列也可记为 n 2 记 则数列 就可写作为 简记为 nfa fn12 na na 即 fnN 3 不严格的说法 说 是一个数列 f 2 数列的例子 1 2 1 34 n 11 2 435n 3 4 2965 0 二 什么是数列极限 1 引言 对于这个问题 先看一个例子 古代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用过一句话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 把每天截下的部分的长度 列出如下 单位为尺 第 1天截下 2 第 2天截下 21 第 3天截下 3 第 天截下 n12n 得到一个数列 23 n 不难看出 数列 的通项 随着 的无限增大而无限地接近于零 1n 一般地说 对于数列 若当 无限增大时 能无限地接近某一个常 ana 数 则称此数列为收敛数列 常数 称为它的极限 不具有这种特性的数列就a 不是收敛的数列 或称为发散数列 据此可以说 数列 是收敛数列 0是它的极限 12n 数列 都是发散的数列 2 n 需要提出的是 上面关于 收敛数列 的说法 并不是严格的定义 而仅 是一种 描述性 的说法 如何用数学语言把它精确地定义下来 还有待进一步 分析 以 为例 可观察出该数列具以下特性 1n 随着 的无限增大 无限地接近于 1 随着 的无限增大 1na n 与 1的距离无限减少 随着 的无限增大 无限减少 会任意小 只要 充分大 n 如 要使 只要 即可 1 0 10n 要使 只要 即可 任给无论多么小的正数 都会存在数列的一项 从该项之后 Na nN 即 当 时 1 n 0 N n 1 n 如何找 或 存在吗 解上面的数学式子即得 取1 即可 这样 当 时 1 N 0 n1 nN 综上所述 数列 的通项 随 的无限增大 无限接近于 1 1 1n 即是对任意给定正数 总存在正整数 当 时 有 此即 N 以 1为极限的精确定义 记作 或 n 1limn 1 n 2 数列极限的定义 定义 1 设 为数列 为实数 若对任给的正数 总存在正整数 使得 naa N 当 时有 则称数列 收敛于 实数 称为数列 的极限 N na na 并记作 或 limn n 读作 当 趋于无穷大时 的极限等于 或 趋于 由于 限于取正整nan 数 所以在数列极限的记号中把 写成 即 或 limna na 若数列 没有极限 则称 不收敛 或称 为发散数列 n n n 问题 如何表述 没有极限 na 3 举例说明如何用 定义来验证数列极限N 例 1 证明 1lim0 pn 证明 不妨设 要使 0 N时 有 0 1pnppP 12 例 2 求证 0 lim qq n 证明 不妨设 要使 nnq0 只要 lg qn 注意这里 0lg lq 只要 lg 取 qNlg 则当 N时 就有 n 即 lim n 例 3 求证 1lim a n 证法 1 先设 0 要使 1 nna 只要 na 只要 1 lg n 只要 lg 取 lg aN 当 N 时 就有 1 na 即 1lim na 对 10 令 b 则 lim li nnba 证法 2 令 nnha 1 则 nnn hha 1 an 00 要使 只要 取 aN 只要 N 就有 1na 即 lim n 例 4 证 1 0 an 证明 因为 2 acnan 0 要使 0 nan 只要 ac 取 N 则只要 Nn 就有 an 即 0lim n 例 5 04li2 n 证明 nn3 3 2 1 2 1 31 3 n 注意到对任何正整数 时有 就有kn k 2 176 2 127640 4 nn 12746n 于是 对 取 0 max N 例 6 lim an 证法一 令 有 用 Bernoulli不等式 有 1n 0n 或 1 na 1 1naan 证法二 用均值不等式 nna个10 n 例 7 lim n 证一 时 2 n 2121 102 nnn 证二 2 n 二项式展开 1 2 nn 因此 0 取 2 N 则当 Nn 时就有 10n即 附 此题请注意以下的错误做法 1 1 nnn nn1n 注意 不趋于零 例 8 证明 34lim2 n 证明 由于 n 1222 3 因此 0 只要取 n1 便有 42n 由于 式是在 3 的条件下成立的 故应取 12 3max N 当Nn 时就有 42n 即 34li2 n 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式 关键的追求有 两点 一是把隐性表达式变成显性表达式 在重锁迷雾中看清庐山真面目 二 是抓住主要矛盾 舍去次要矛盾 要取舍合理 不能放大得过份 4 关于数列的极限的 定义的几点说明N 1 关于 的任意性 定义 1中的正数 的作用在于衡量数列通项 与常数 的接近程度 越小 表示接近得越好 而正数 可以任意小 说na 明 与常数 可以接近到任何程度 的暂时固定性 尽管 有其任意性 但 一经给出 就暂时地被确定下来 以便依靠它来求出 的多值性 既是N 任意小的正数 那么 等等 同样也是任意小的正数 因此定义 1中的2 3 不等式 中的 可用 等来代替 从而 可用 na 2 na 代替 正由于 是任意小正数 我们可以限定 小于一个确定的 正数 2 关于 相应性 一般地 随 的变小而变大 因此常把 定NN N 作 来强调 是依赖于 的 一经给定 就可以找到一个 多值 性 的相应性并不意味着 是由 唯一确定的 因为对给定的 若NN 时能使得当 时 有 则 或更大的数时此不等式自10 n na 10 然成立 所以 不是唯一的 事实上 在许多场合下 最重要的是 的存在性 N 而不是它的值有多大 基于此 在实际使用中的 也不必限于自然数 只要 是正数即可 而且把 改为 也无妨 3 数列极限的几何理解 在定义 1中 当 时有 n na 当 时有 当 时有 nN na 所有下标大于 的项 都落在邻域 内 aU Nn U 而在 之外 数列 中的项至多只有 个 有限个 反之 任给 n 0 若在 之外数列 中的项只有有限个 设这有限个项的最大下标为 N 则当 时有 即当 时有 由此写出数列极限的n na na 一种等价定义 邻域定义 定义 任给 若在 之外数列 中的项只有有限个 则称数1 0 U 列 收敛于极限 n 由此可见 1 若存在某个 使得数列 中有无穷多个项落在0na 之外 则 一定不以 为极限 2 数列是否有极限 只与它从某一0 Ua naa 项之后的变化趋势有关 而与它前面的有限项无关 所以 在讨论数列极限时 可以添加 去掉或改变它的有限项的数值 对收敛性和极限都不会发生影响 例 1 证明 和 都是发散数列 2 1 n 例 2 设 作数列如下 证limlinxya 12 nnzxyxy 明 nz 例 3 设 为给定的数列 为对 增加 减少或改变有限项之后得anbna 到的数列 证明 数列 与 同时收敛或发散 且在收敛时两者的极限相等 na 三 无穷小数列 在所有收敛数列中 在一类重要的数列 称为无穷小数列 其定义如下 定义 2 若 则称 为无穷小数列 lim0na na 如 都是无穷小数列 11 2 数列 收敛于 的充要条件 n 定理 2 1 数列 收敛于 的充要条件是 为无穷小数列 na na 作业 教材 P27 3 4 5 7 8 2 收敛数列的性质 教学内容 第二章 数列极限 2 收敛数列的性质 教学目的 熟悉收敛数列的性质 掌握求数列极限的常用方法 教学要求 1 使学生理解并能证明数列性质 极限的唯一性 局部有界性 保号性 保不等式性 2 掌握并会证明收敛数列的四则运算定理 迫敛性定理 并会用 这些定理求某些收敛数列的极限 教学重点 迫敛性定理及四则运算法则及其应用 教学难点 数列极限的计算 教学方法 讲练结合 教学程序 引 言 上节引进 数列极限 的定义 并通过例题说明了验证 的方法 limna 这是极限较基本的内容 要求掌握 为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问 题 还需要对数列的性质作进一步讨论 一 收敛数列的性质 性质 1 极限唯一性 若数列 na收敛 则它的极限唯一 证一 假设 ba与 都是数列 的极限 则由极限定义 对 0 12 N 当 1n 时 有 an 2Nn 时 有 ban 取 mx 21N 则当 时有 2 baabannnn 由 的任意性 上式仅当 b 时才成立 证二 反证 假设 n极限不唯一 即至少有两个不相等的极限值 设 为 ba an lim bn li且 a 故不妨设 ba 取 02 a 由定义 1N 当 1 时有 n bn 又 2 当 2n时有 ban 2 abn 因此 当 max 21Nn 时有 nn ab 2 矛盾 因此极限值必唯一 性质 2 有界性 如果数列 n收敛 则 n必为有界数列 即 0 M 使对 n 有 Man 证明 设 n lim取 1 0 N使得当 Nn时有 1 an 即 aann 1 an 令 1x 21NM 则有对 n a 即数列 na有界 注 有界性只是数列收敛的必要条件 而非充分条件 如 1 n 在证明时必须分清何时用取定 何时用任给 上面定理 3 2证明 中必须用取定 不能用任给 否则 N随 在变 找到的 M也随 在变 界M 的意义就不明确了 性质 3 保序性 设 an lim bn li 1 若 ba 则存在 N使得当 时有 nba 2 若存在 当 n时有 nba 则 不等式性质 证明 1 取 02 ba 则存在 1N 当 1 时 2 ban 从而 n 又存在 2N 当 2 时 2 ban 2ban 当 max 21Nn 时 nnab 2 反证 如 b 则由 知必 当 N 时 nb这与已知矛盾 推论 保号性 若 an li则 当 n时 an 特别地 若0lim an 则 N 当 时 n与 同号 思考 如把上述定理中的 nba 换成 n 能否把结论改成nnba lili 例 设 0 n 21 若 an lim 则 an li 证明 由保序性定理可得 0 a 若 0a 则 1N 当 1n 时有 2 na n 即n lim 若 0 a 则 2 当 2n 时有 an aannn 数列较为复杂 如何求极限 性质 4 四则运算法则 若 n b都收敛 则 nba n nba 也都收敛 且 nnnaa limli lim b limli 特别 地 nnc lili 为常数如再有 0li nb则 n 也收敛 且 nnbalilim 证明 由于 nnnba 1 nb a1 故只须证关于和积与倒数 运算的结论即可 设 an lim bn li 0 1N 当 1n 时 an 2N 当 2 时 b 取 ax 21N 则当 n时上两式同时成立 1 bababb nnnnnn 由收敛数列的有界性 0 M 对 有 Mn 故当 Nn 时 有 aban 由 的任意性知 n lim 2 0li bn 由保号性 0 N及 k 对 0Nn 有 kbn 如可令 2 bk 取 max 20 则当 时有 1 bkbbnnn 由 的任意性得 n 1li 用归纳法 可得有限个序列的四则运算 Nkknknnxx1 1 limli k knk 但将上述 N换成 一般不成立 事实上 1k 或 k本身也是一种极限 两 种极限交换次序是个非常敏感的话题 是高等分析中心课题 一般都不能交换 在一定条件下才能交换 具体什么条件 到后面我们会系统研究这个问题 性质 5 两边夹定理或迫敛性 设有三个数列 na b nc 如 N 当 Nn 时有 nnbca 且 lim nalilbn 则 nimlc 证明 nlinlil 0 21 N 当 1N 时 laln 当 2n时 lbln 取 max 210 则当 0 时以上两式与已知条件中的不等式同 时成立 故有 0n 时 lbcalnn lcn即 nlimlc 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法 而且也给出了一个求极限的 方法 推论 若 N 当 n 时有 nbca 或 acn 且 abn li 则acn lim 例 求证 nli 0 a 证明 k 使得 从而当 kn时有 0 n a ak 121 由于 nlimk k nlia0 由推论即可得结论 例 设 1a 2 m是 个正数 证明 nlim x 2121nnma 证明 设 a21mA 则 An nma 21A nli 由迫敛性得结论 例 1 1 lim a n 在证明中 令 0 nh nha 1 得 n ah 0 由此推出0nh 由此例也看出由 nnyzx 和 nnyx limli 也推出 zn li 例 2 证明 1lim 证明 令 nnh 3 2 1 2 1 nhnhn 1 0 n 两边夹推出 h 即 n 在求数列的极限时 常需要使用极限的四则运算法则 下举几例 例 3 求极限 93 64lim2 n 解 3 4li1li 212 nnn 例 4 求极限 10 aa 解 nnn 1lim 1 lim 例 5 1 lim 3 lili33 nnn li li nnn 例 6 求 011 limbbaakkmn km 0 a kb 解 原式 kkk kmmn nbnbaa 011li km 即 有理式的极限 0高 次 则 为分 子 最 高 次 低 于 分 母 最 为 最 高 次 系 数 之 比分 子 分 母 最 高 次 数 相 同 如 3 27103542lim nn 例 7 lin 1 1limli 21nnn 例 8 设 0 ba 证明 ax li b nn 证明 max 2 ax mx bbnn 二 数列的子列 1 引言 极限是个有效的分析工具 但当数列 的极限不存在时 这个工具随之失 na 效 这能说明什么呢 难道 没有一点规律吗 当然不是 出现这种情况原na 因是我们是从 整个 数列的特征角度对数列进行研究 那么 如果 整体无序 部分 是否也无序呢 如果 部分 有序 可否从 部分 来推断整体的 性质呢 简而言之 能否从 部分 来把握 整体 呢 这个 部分数列 就 是要讲的 子列 2 子列的定义 定义1 设 为数列 为正整数集 的无限子集 且 naknN 则数列23kn 12 knna 称为数列 的一个子列 简记为 kna 注1 由定义可见 的子列 的各项都来自 且保持这些项在 nk na 中的的先后次序 简单地讲 从 中取出无限多项 按照其在 中的顺nan n 序排成一个数列 就是 的一个子列 或子列就是从 中顺次取出无穷多nan 项组成的数列 注2 子列 中的 表示 是 中的第 项 表示 是 中的 knkkn akkna k 第k项 即 中的第k项就是 中的第 项 故总有 特别地 若akk 则 即 kn knkna 注3 数列 本身以及 去掉有限项以后得到的子列 称为 的平凡 nana na 子列 不是平凡子列的子列 称为 的非平凡子列 如 都是 的非平凡子列 由上节例知 数列 与它的任一21 k n n 平凡子列同为收敛或发散 且在收敛时有相同的极限 那么数列 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢 此即下面 na 的结果 定理2 8 数列 n收敛的充要条件是 na的任何非平凡子列都收敛 证明 必要性 设 limknna 是 的任一子列 任给 0 存在正 数N 使得当 Nk 时有 k由于 故当 Nk 时有 nk 从而也 有 akn 这就证明了 kn收敛 且与 na有相同的极限 充分性 考虑 a的非平凡子列 2k 12 k与 3k 按假设 它们都 收敛 由于 6k既是 2k 又是 3的子列 故由刚才证明的必要性 limlili 36kk 9 又 36 ka既是 12 k又是 3k的子列 同样可得 lili312ka 10 9 式与 10 式给出 122lili kk 所以由课本例7可知 na收敛 由定理2 8的证明可见 若数列 na的任何非平凡子列都收敛 则所有这 些子列与 na必收敛于同一个极限 于是 若数列 na有一个子列发散 或有 两个子列收敛而极限不相等 则数列 n一定发散 例如数列 1 n 其偶数项 组成的子列 1 2 收敛于1 而奇数项组成的子列 12k收敛于 从而 n 发散 再如数列 sin 它的奇数项组成的子列 si 即为1 k 由于这个子列发散 故数列 2 sin 发散 由此可见 定理 2 8是判 断数列发散的有力工具 3 数列极限存在的条件 教学内容 第二章 数列极限 3 数列极限存在的条件 教学目的 使学生掌握判断数列极限存在的常用工具 教学要求 1 掌握并会证明单调有界定理 并会运用它求某些收敛数列的极 限 2 初步理解 Cauchy准则在极限理论中的主要意义 并逐步会应 用 Cauchy准则判断某些数列的敛散性 教学重点 单调有界定理 Cauchy 收敛准则及其应用 教学难点 相关定理的应用 教学方法 讲练结合 教学程序 引 言 在研究比较复杂的极限问题时 通常分两步来解决 先判断该数列是否有 极限 极限的存在性问题 若有极限 再考虑如何计算些极限 极限值的计算 问题 这是极限理论的两基本问题 在实际应用中 解决了数列 极限的存 na 在性问题之后 即使极限值的计算较为困难 但由于当 充分大时 能充分 接近其极限 故可用 作为 的近似值 ana 本节将重点讨论极限的存在性问题 为了确定某个数列是否有极限 当然不可能将每一个实数依定义一一加以 验证 根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 从收敛数列的有界性可知 若 收敛 则 为有界数列 但反之不一 nana 定对 即 有界不足以保证 收敛 例如 但直观看来 若 有界 na 1 na 又 随 n的增大 减少 而增大 减少 它就有可能与其上界 或下界 非 常接近 从而有可能存在极限 或收敛 为了说明这一点 先给出具有上述特征的数列一个名称 单调数列 一 单调数列 定义 若数列 的各项满足不等式 则称 为递增 na11 nna na 递减 数列 递增和递减数列统称为单调数列 例如 为递减数列 为递增数列 不是单调数列 1 2 n 二 单调有界定理 问题 1 单调数列一定收敛吗 2 收敛数列一定单调吗 一个数列 如果仅是单调的或有界的 不足以保证其收敛 但若既单调 na 又有界 就可以了 此即下面的极限存在的判断方法 定理 单调有界定理 在实数系中 有界且单调数列必有极限 几何解释 单调数列 na只可能向一个方向移动 故仅有两种可能 1 点 na沿数轴移向无穷远 2 无限趋于某一个定点 A 即 na 证明 不妨设 na单调增加有上界 把 na看作集合 有确界原理 sup na 存在 即 1 n 2 0 Nn 使 0na 由于 na单调增加 故当 0时有 0n 即当 0 时 n亦即 nalim 例 1 a 证明数列 1 2 a 3 naa 收敛 并求其极限 证明 从该数列的构造 显见它是单调增加的 下面来证它是有界的 易见 0 an 且 12a 23a 1 nna 从而 1 2 nnn 两端除以 n得 n an an 1故 n有界即得极限存在 设 nliml 对等式 1 2 nn 两边取极限 则有 limli1 2 nnna an 1lil224al 因 n为正数列 故 0 l 因此取 1l 即为所求极限 例 2 求 nlim ka 为一定数 1 a 解 记 nc k 则 0nc且 kknnac 1 1 则 N 当 N 时 1 ka 故 n后 nc单调递减 又有 0 nc 极限一定存在 设为 A 由 n kna 1 1 两边取极限得 Aa1 0 例 3 设 证明数列 收敛 2 32 n na 例 4 求 计算 的逐次逼近 1 0 1 nnxaxa limnx 法 亦即迭代法 解 由均值不等式 有 有下界 nnxx2 1 nnxax 注意到对 有