交通问题论文(第九题).doc

交通问题科技学院：袁再云、余培文、周燕摘要本文建立了设立停车场的优化模型及回归模型，在满足任何一个停车场均不在另外停车场的使用范围之内的条件下，运用了0-1变量，运筹学，矩阵粘接原理等知识，建立了0-1线性优化模型，用Lingo软件及C语言编程，对其进行求解，得到了设立停车场的最优方案；建立了加入自相关的回归模型，得到了公路客运量及公路货运量受市区人数、机动车数和公路面积的具体影响情况，并对2005年及2006年公路客运量和公路货运量情况进行预测。对问题一：首先我们将市区面积为400公里（横向）*250公里（纵向）分为100等份，建立了0-1线性优化模型（模型一）并运用了Lingo软件编程得到停车场的个数为17500，因为将100块完全相同的（纵向）的区域粘接时，会出现重合现象，就不能够使停车场的个数最多。对此我们再建立了模型二，用C语言编程进行求解，得到最优的停车场的个数为12500。对问题二：建立了加入自相关的回归模型（模型三），得到了公路客运量受市区人数、机动车数和公路面积关键词：矩阵粘接原理、自相关、 一 问题重述1背景分析当今社会正流行一种说法“买车容易停车难”，在市区开放一些空地作为收费停车场已是必不可少。现在，我们以解决汽车停车场的停靠点问题为例来讨论并解决此类问题。2相关情况假设某个市区面积为400公里（横向）*250公里（纵向），而一个停车场（用“P”表示）的使用范围为下图中的红色区域，具体如附图一所示。 3需解决的问题问题1：试设计一种市区内的停车场设立方案，给出你自己的算法，使市区内的汽车的停靠点尽可能的多；并且满足任何一个停车场均不在另外停车场的使用范围之内。（附图一中每一小格代表1公里*1公里）。问题2：经统计，浙江省近25年的公路客运量、公路货运量以及市区的人数、机动车数、公路面积具体情况如下页表所示，根据下表试建立模型分析公路客运量以及公路货运量受市区人数、机动车数和公路面积的具体影响情况（见附件二），并且估计2005年以及2006年的公路客运量和公路货运量的情况。 二 问题分析对问题一：要设计一种市区内的停车场设立方案，使市区内的汽车的停靠点尽可能的多。我们考虑到面积为的区域可由100块完全相同的（纵向）的区域组成。即通过求，然后再根据假设（4）及粘接原理，再利用Lingo软件对其进行求解。又因为将100块完全相同的（纵向）的区域粘接时，会出现重合现象，就不能够使停车场的个数最多，因此，我们建立了模型二对其进行了改进。对问题二：考虑到公路客运量、公路货运量、市区人数、机动车数和公路面积等许多经济变量均有一定的滞后性，因此，在这样的时间序列数据中，同一 变量的顺序观测值之间会出现相关现象（称自相关）。所以，我们首先诊断出了附件二中的数据存在自相关，对其建立了新的回归模型。在假设（5）的前提下，依照过去25年的公路客运量、公路货运量、市区人数、机动车数和公路面积的变化情况，采用拟合的方法预测未来两年公路客运量及公路货运量的变化情况。 三 模型的假设1）假设以市区地域的西南角为原点，一公里为单位长度建立坐标，使得整个市区被一个的网格覆盖，网格固定，停车场建在网格中心；2）假设每个网格看作一个质点，市区总面积则看作质点系；3）假设市区内每平方公里设立的停车场完全相同，即不考虑地理位置对设立停车场所产生的影响；4）假设可将面积为区域（横向）由100块完全相同的（纵向）的区域组成；5）假设经济增长稳定； 四 符号约定：面积为的矩阵；：面积为内停车场的个数；：面积为的矩阵；：面积为内停车场的个数；：市区地貌；：年份；：第年市区客运量；：第年市区货运量；：第年市区人数；：第年市区机动车数；：第年市区公路面积； 五 模型的建立与求解1、问题一1.1模型一根据问题一中的附图一所示，在满足任何一个停车场均不在另外停车场的使用范围之内及假设（4）的条件下，考虑到面积为的区域，得到：（1） 每一行上每相邻三个质点最多只有一个设立停车场，即 （2） 每一列上每相邻四个质点最多只有一个设立停车场，即 （3） 每个的质点系中（的网格内）最多只有一个设立停车场，即 综上（1），（2），（3）式得到考虑到要使停车场的使用范围覆盖整个区域，则只需每行每列设立的的个数最多，下面我们定义：矩阵粘接原理：在满足（1），（2），（3）式的前提条件下，两矩阵粘接时将矩阵边界附近（前三行、两列，末尾三行、两列）使最少的置换成。则在不考虑外界因素对设立停车场的影响条件下，建立一个理想的规划模型；目标函数： 根据假设（4）及粘接原理，再利用Lingo软件对其进行求解，得到的一个可行解为17500。考虑到要使停车场的个数最多，则在将100块完全相同的（纵向）的区域粘接时，会出现重合现象，就不能够使停车场的个数最多，这与问题一相矛盾。1.2模型二与模型一相同，该模型仍要满足条件：任何一个停车场均不在另外停车场的使用范围之内。即它的约束条件也要满足（1），（2），（3）式，则目标函数和约束条件分别为：目标函数：约束条件：由于在上述模型的运行过程中，Lingo软件运行受到数据的影响很慢，且其软件受到数据量的限制，以至当数据达到一定数量时软件会出现停滞状态，若的矩阵用以上算法，是很难算出结果。因此，我们用C语言对其进行编程，为了更好的编程，我们将矩阵扩张成矩阵，编程得到最优解为12500。具体算法如下图所示：建立256404的矩阵：A256404初始化A256404矩阵,即把所有网格设待成处理定义计数器并置零构造停车场适宜范围判断停车场范围是否重叠在大矩阵中随机确定停车场的位置是否初始化为0counter+;在矩阵中进行赋值Aij=P输出最终矩阵A256404和停车场数counter2问题二2.1模型三为了大致的分析与、，与、之间的关系，利用题表中的数据分别作对、的散点图和对、的散点图（见图一和图二）。图一：对、的散点图图二：对、的散点图从图一中可看出，随着、的增加，的值有比较明显的先行增长趋势，图中的直线是用线性模型拟合的（其中是随机误差）。同理，在图二中，随着、的增加，的值也是呈现递增趋势，图中的直线仍是用线性模型拟合的（其中是随机误差）。模型（5），（6）中除了市区人数，机动车数，公路面积外，影响的其他因素作用都包含在随机误差内，这里假设对相互独立，且服从均值为零的正态分布，根据附表二中的数据，分别对模型（5），（6）直接利用Matlab统计工具箱求解，得到的回归系数估计值及其置信区间（置信水平）、检验统计量的结果分别见表一，表二所示：表一：模型（5）的计算结果参数参数估计值置信区间-23708-39050 -8365367-36 7702363-3192 79181175-18871 21220=0.927 F=189.864 P0.0001表二：模型（6）的计算结果参数参数估计值置信区间-43455-59474 -274361252831 1673-7358-13157 -15589822-11107 30751=0.9773 F=638.269 P=0将参数估计值分别代入（5），（6）式得到再利用Matlab中的rstool命令分别得到的交互画面见图三，图四所示。由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间。图三：模型（7）的输出结果图四：模型（8）的输出结果2.2自相关性诊断与处理方法从上述结果得到模型（5）的拟合度非常高，但这个模型并没有考虑我们的数据是一个时间序列，实际上，在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项有可能存在相关性，违背模型关于（对时间）相互独立的基本假设，如在公路客运量模型中，市区人数，机动车数及公路面积之外的因素（比如政策等因素）对公路客运量的影响包含在中，如果它的影响成为的主要部分，则由于政策等因素的的连续性，它们对投资额的影响也有时间上的延续，即随机误差会出现自相关性。残差可以作为随机误差的估计值，画出的散点图，能够从直观上判断的自相关性，模型（7）中的残差可在计算过程中得到，如表二，数据散点图如图五所示，可以看出，大部分点落在第一，三象限，表明存在正的自相关性。同理，对模型（6）也有类似的结果，画出的散点图，能够从直观上判断的自相关性，模型（8）中的残差可在计算过程中得到，如表三，数据散点图如图六所示，可以看出，大部分点落在第一，三象限，表明存在正的自相关性。图五：模型（7）的散点图图六：模型（8）的散点图为了对的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑以下的模型：其中是相关系数，相互独立且服从均值为零的正态分布，模型（9）中若，则退化为普通的回归模型；若，则随机误差存在正的自相关；若，则随机误差存在负的自相关。检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法，首先根据模型（5）得到的残差计算统计量如下：经过简单的运算得到：当较大时而（10）式右端的正是自相关系数的的估计值，则由于，所以，且若在0附近，则在2附近，的自相关性很弱（或不存在自相关）；若在附近，则接近0或4，的自相关性很强。要根据的具体数值确定是否存在自相关，应该在给顶的检验水平下，依照样本容量和回归变量数目，查分布表，得到检验的临界值和，然后由图七中所在区间来决定。经检验，结果判定存在自相关，则应采用模型（7），其中可由（12）式估计，即作变换则模型（7）转化为同理，模型（8）也可转化为其中、相互独立且服从均值为零的正态分布，所以（15）式是普通的回归模型。2.3加入自相关后的模型利用表二给出的残差，根据（10）式计算出 ，对于显著水平，（回归变量包括常数项的数目0，查分布表，得到检验的临界值 和 。现在以的估计值代入（14）式作变换，利用变换后的数据估计模型（15）的参数， 同理，也可利用变换后的数据估计模型（16）的参数。 当然应该对模型（15）也作一次自相关性检验，即诊断随机误差是否还存在自相关。从模型（15）的残差可以计算出 ，对于显著性水平，检验的临界值为 和 。现在，由图五可以认为随机误差不存在自相关。因此，经变换后的回归模型（15）是适用的。模型（16）的检验结果与模型（15）的结果相同，即经变换后的回归模型（16）是适用的。最后，将模型（15）中的还原为原始变量得到的结果为 同理，将模型（16）中的还原为原始变量得到的结果为2.4结果分析及预测对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相关的模型（17）更为合理，我们将模型（17）、模型（7）的计算值与实际数据的比较，以及两个模型的残差，表示在表六和图八、图九上，可以看出模型（17）更合适些。同理，将模型（18）、模型（8）的计算值与实际数据的比较，以及两个模型的残差，表示在表七和图十、图十一上，可以看出模型（18）更合适些。表六：模型（17）、模型（7）的计算值与残差tYt实际数据模型（10）模型（2）e模型（10）e模型（2）19811554313704.9713317.91838.0332225.119821932617535.0120359.91790.987-1033.919832286420686.3225248.42177.685-2384.419842615027363.8331275.1-1213.83-5125.119852846828729.0129229.4-261.006-761.419863088229922.7930261.8959.2126620.219873937539065.939033.2309.1009341.819884575942850.8844447.62908.1181311.419894958948285.3247614.11303.6781974.919905256052027.6446695.2532.35645864.819914872653022.6548463.4-4296.65262.619925108353983.1453852.7-2900.14-2769.719935649561870.5162599-5375.51-610419946276767317.0969752.5-4550.09-6985.519958360676241.08850487364.917-144219969209087206.0191839.64883.991250.4199710137095129.3194601.46240.696768.61998107317101977.8100632.15339.2426684.91999108654108965.9104645.9-311.8654008.12000111847109769.6109409.22077.4372437.82001112872117092.4119612-4220.38-67402002116997120011.8120266.5-3014.82-3269.52003126007124082.7126187.41924.305-180.42004128980132343.4128714.2-3363.44265.8图八：模型（17）、模型（7）的与 图九：模型（17）、模型（7）的表七：模型（18）、模型（8）的计算值与残差tYt实际数据模型（10）模型（2）e模型（10）e模型（2）19812998-9.13352-712.353007.1343710.35198230124263.4182255.85-1251.42756.15198330422863.3134055.6178.6865-1013.61984361627209.996922.55-23594-3306.551985372855052.958949.6-51324.9-5221.61986398840763.7410156.2-36775.7-6168.21987939766125.5513742.5-56728.6-4345.519881768067497.3416233.6-49817.31446.419891942687619.4518432.55-68193.5993.45199024128120137.320789.9-96009.33338.119912435410046821760.2-761142593.8199222879108340.623706.75-85461.6-827.75199324162127282.426748.5-103120-2586.5199428957143451.529945.75-114495-988.7519953643915604435248.1-1196051190.9199640593163223.238142.9-1226302450.1199745052182014.439967.6-1369625084.4199847400187855.942554.15-1404564845.85199945224206540.544745.85-161317478.15200045338197738.446508.9-152400-1170.9200145815231909.351307.6-186094-5492.6200247151250949.753333.35-203799-6182.3520035570525282956339.7-197124-634.7200463532277153.658547.5-2136224984.5图十：模型（18）、模型（8）的与 图十一：模型（18）、模型（8）的六 模型的评价与推广1模型的评价本文运用了0-1规划及运筹学的相关知识，建立了优化模型，得到了比赛项目排序的最优方案，有相关的软件支持，原理简单明了、易理解。整个比赛项目排序问题需要计算大量的数据，造成了输入的不方便。2模型的推广本文建立的模型解决了比赛项目排序问题，此模型不但适合于小型运动会的比赛项目排序问题，对于某些大型的比赛项目排序（其中为比赛项目，为运动员的总人数）也同样适合。建模的方法和思路可以推广到到其他类型，如排队问题、公务员面试问题等。参考文献1 姜启源.数学模型.北京：高等教育教育出版社，20032于义良 吴振奎 王全文等.运筹学.北京：中国人民大学出版社，20063李德,钱颂迪. 运筹学 . 北京:清华大学出版社,1983. 4宋来忠等.数学建模与实验. 北京：科学出版社.2005附件一：附件二：年份公路客运量(万人)公路货运量(万吨)市区人数(万人)市区机动车数(万辆)市区公路面积(万平方公里)198012815269047.81.20.2198115543299852.21.50.251982193263012591.70.25198322864304263.11.80.3198426150361668.52.10.451985284683728702.70.51986308823988722.90.5198739375939779.23.20.71988457591768084.73.40.71989495891942688.63.70.7519905256024128914.30.819914872624354934.40.81992510832287997.54.50.8519935649524162103.74.71.11994627672895711051.25199583606364391235.21.319969209040593129.65.41.31997101370450521325.71.5199810731747400137.65.91.551999108654452241416.21.752000111847453381456.31.8200111287245815155.56.71.82002116997471511577.22.05200312600755705163.17.52.1200412898063532165.97.92.3附录一（模型一的程序）：model:sets:han/1.25/;shu/1.40/;link(han,shu):x;endsetsmax=sum(link(i,j):x(i,j);for(link(i,j)|j#le#38:(x(i,j)+x(i,j+1)+x(i,j+2)1);for(link(i,j)|i#le#22:(x(i,j)+x(i+1,j)+x(i+2,j)+x(i+3,j)1);for(link(i,j)|i#le#23#and#j#le#39:(x(i,j)+x(i,j+1)+x(i+1,j)+x(i+1,j+1)+x(i+2,j)+x(i+2,j+1)1);end附录二：（模型二的程序）#includeiostream.hvoid main() char A256404; /定义矩阵 int row,list,i,j; int counter=0; /定义计数器并置零for(i=0;i=255;i+) /初始化矩阵,即把所有网格设待成处理 for(j=0;j=403;j+) Aij=X; for(row=3;row=252;row+) /建造停车场 for(list=2;list=401;list+) if(Arowlist=X) if(Arow+1list+2=X) i=row+1; j=list+2; Aij=P; counter+; Aij-1=O; Aij-2=O; Aij+1=O; Aij+2=O; Ai-1j=O; Ai-2j=O; Ai-3j=O; Ai+1j=O; Ai+2j=O; Ai+3j=O; Ai-1j-1=O; Ai-2j-1=O; Ai+1j-1=O; Ai+2j-1=O; Ai-1j+1=O; Ai-2j+1=O; Ai+1j+1=O; Ai+2j+1=O; for(row=3;row=252;row+) for(list=2;list=401;list+) if ( Arowlist-1!=P& Arowlist-2!=P& Arowlist+1!=P& Arowlist+2!=P& Arow-1list!=P& Arow-2list!=P& Arow-3list!=P& Arow+1list!=P& Arow+2list!=P& Arow+3list!=P& Arow-1list-1!=P& Arow-2list-1!=P& Arow+1list-1!=P& Arow+2list-1!=P& Arow-1list+1!=P& Arow-2list+1!=P& Arow+1list+1!=P& Arow+2list+1!=P ) if(Arowlist!=P) counter+; Arowlist=P; else Arowlist=O; for(row=3;row=252;row+) /把建造停车场的方案输出 for(list=2;list=401;list+) coutArowlist; if(list=401) coutendl; coutcounterendl; /把停车场的个数输出 附录三（图一的程序）：x11=50:170;a1=polyfit(x1,y1,2);xy11=polyval(a1,x11);subplot(1,3,1)plot(x1,y1,o,x11,xy11,-) x22=1:0.1:8;a2=polyfit(x2,y1,2);xy22=polyval(a2,x22);subplot(1,3,2)plot(x2,y1,o,x22,xy22,-) x33=0:0.1:2.5;a3=polyfit(x3,y1,2);xy33=polyval(a3,x33);subplot(1,3,3)plot(x3,y1,o,x33,xy33,-)附录四（图二的程序）：x11=50:170;a1=polyfit(x1,y2,2);xy11=polyval(a1,x11);subplot(1,3,1)plot(x1,y2,o,x11,xy11,-) x22=1:0.1:8;a2=polyfit(x2,y2,2);xy22=polyval(a2,x22);subplot(1,3,2)plot(x2,y2,o,x22,xy22,-) x33=0:0.1:2.5;a3=polyfit(x3,y2,2);xy33=polyval(a3,x33);subplot(1,3,3)plot(x3,y2,o,x33,xy33,-)