拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用.doc

目 录 引言 1 1 拉普拉斯变换以及性质 1 1 1 拉普拉斯变换的定义 1 1 2 拉普拉斯变换的性质 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 3 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 4 3 1 初值问题与边值问题 4 3 2 常系数与变系数常微分方程 5 3 3 含 函数的常微分方程 6 3 4 常微分方程组 7 3 5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 7 3 6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 11 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 12 4 1 齐次与非齐次偏微分方程 12 4 2 有界与无界问题 15 5 综合比较 归纳总结 19 结束语 20 参考文献 20 英文摘要 21 致谢 21 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系 0801 班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘 要 拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用 本文首先介绍拉普拉斯 变换的定义及性质 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 然后重点举例拉普 拉斯变换在求解常微分方程 初值问题与边值问题 常系数与变系数常微分方程 含 函 数的常微分方程 常微分方程组 拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用 拉普拉斯 变换在求解高阶微分方程的推广 与典型偏微分方程 齐次与非齐次偏微分方程 有界与 无界问题 中的应用举例 最后综合比较 归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优 势以及局限性 关键词 拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 常微分方程 偏微分方程 特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换 但对函数进行傅里叶变换 时必须满足狄里希利和在 内绝对可积 但是在物理 无线电技术等 t 实际应用中 许多以时间 为自变量的函数通常在 时不需要考虑或者没有0t 意义 像这样的函数不能取傅里叶变换 为避免上述两个缺点 将函数进行适 当改造 便产生了拉普拉斯变换 1 1 拉普拉斯变换以及性质 1 1 拉普拉斯变换的定义 设函数 当 时有定义 而且积分 是一个复参量 在 的 ft0 0 stfed s 某一区域内收敛 则此积分所确定的函数可写为 我们称上式0 stFsfe 为函数 的 Laplace 变换式 记为 称为 的 Laplace 变 ft sLftft 换 或称为象函数 若 是 的 Laplace 变换 则称 为 的 Laplace 逆变换 或称 Fsft ftFs 为象原函数 记为 2 1 LFs Laplace 变换的存在定理 若函数 满足下列条件 ft 在 的任一有限区间上分段连续 1 0 当 时 的增长速度不超过某一指数函数 亦即存在常数2t ft 及 使得 成立 满足此条件的函数 称它的M cc0Met 增大是不超过指数级的 为它的增长指数 则 的 Laplace 变换 在半平面 上一定存在 ft 0 stFfed s Re sc 右端的积分在 的半平面内 为解析函数 2 1Resc 1 2 拉普拉斯变换的性质 线性性质 若 是常数 11 LftFs 22 LftFs 则有 12 t ftf 112 s Fs s 微分性质 若 则有 Lft 0LftFf 高阶推广 若 则有 s2 s 一般 1 2 1 00nnnnnftffsff 积分性质 若 则 LFs tLdLFs 位移性质 若 则 ft Re atefasc 延迟性质 若 又 时 s0t t 则对于任一非负实数 有 或 2 sLfteF 1 sLeFft 相似性性质 若 则 fat 卷积性质 若 11 fts22 s 则 2LtF 其中 称为 与 的卷积 3 1120 tfftd 1tf2tf 由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂 在控 制工程中 常常通过查阅已编好的 拉氏变换对照表 来实现 拉氏变换对照 表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换 可以根据该表查找原函 数的象函数 或者从象函数查找原函数 对于表中不能找到的形式 可以把它 展开成部分分式 再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换 以下是本文将用到的 几种常用的拉普拉斯变换函数对 3 表一 拉普拉斯变换函数表 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 像其他方法求解微分方程一样 应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范 的步骤 其一般步骤 4 如下 1 根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个 自变量进行拉普拉斯变换 然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换 使 微分方程变为 s 的代数方程 2 解象函数的代数方程 得到有关变量的拉普拉斯变换表达式 即象函数 原函数 象函数 原函数 象函数 1 s1 nt为 整 数 1 nste atsi1arctt sin2 st co2 sth2 th2 t sin2 st cos2 s t 1 2 t aerf sae 1 3 对象函数取拉普拉斯逆变换 得到微分方程的时域解 流程图法 5 如下 微分方程的解 取拉普拉斯逆变换 取拉普拉斯变换 解代数方程 原函数 象函数 微分方程 象函数的代数方程 图一 拉普拉斯变换求解微分方程的流程图 拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用 通过拉普拉斯变换 可以方便地对线性控制系统进行分析 研究 可以对一些级数进行求和 还可 以求解微分方程 1 接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 3 1 初值问题与边值问题 例 求解初值问题 2 43 0 1tyey 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 tLsY 2 0 1ysYyYs 结合初始条件 有 214 3s 整理展开成部分分式 有 2 26731 41 4s s 由拉普拉斯变换函数表 可知 1 tLes 1 tLes 13 tLe 由拉普拉斯变换函数表 并结合位移性质 1 nt tfFs 可知 12 tLes 对方程两边同时求反演 整理可得方程的解为 1 33711 72 424ttt ttytLYseee 例 求解边值问 2 0 1yy 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 ts 0 2 sYyY 结合初始条件 有 0 2sy 整理展开成部分分式 有 1 21 2 sy 由拉普拉斯变换函数表 可知 1tesL 1teL teL 对方程两边同时求反演 整理可得方程的解为 sinh 0 02 1 tyysYLtytt 为了确定 将条件 代入上式可得 1 2sinh1 0 y 所以 方程的解为 sinh tty 3 2 常系数与变系数常微分方程 例 求解常系数微分方程 2 2 1 0 2 yyy 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 tyLsY 0 0 2 sYys 结合初始条件 有 0 2 2 Y 整理展开成部分分式 有 1 2 2 sys 由拉普拉斯变换函数表 并结合位移性质 1ntL sFtfeL 可知 1 21tesL 对方程两边同时求反演 整理可得方程的解为 0 1teysYLty 为了确定 将条件 代入上式可得 0 y2 1 y 20 e 所以 方程的解为 2 11 ttesYLty 例 求解变系数微分方程 2 020 tytyc 为 常 数 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 yLsY tty 即 0 4 y 亦即 0 0 2 2 sYdysYsYds 两边积分可得 2 sds 结合初始条件 有 1 1 s 整理可得 1 s 2 Yd 两边积分可得 arctns 欲求待定系数 c 可利用 所以从 0 lim Ys 2 c sY1arctrt2 由拉普拉斯变换函数表 可知 sin atL sin1 arct1tL 对方程两边同时求反演 可得方程的解为 tsYy 3 3 含 函数的常微分方程 例 质量为 的物体挂在弹簧系数为 的弹簧一端 当物体在 时在mk0t 方向受到冲击力 t 其中 为常数 若物体自静止平衡位置x ftAt A 处开始运动 求该物体的运动规律 2 0 xt 解 根据牛顿定律 有 ktfx 其中 由胡克定律所得 是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力 所以 kx 物体运动的微分方程为 0 0 xtfm且 这是二阶常系数非齐次微分方程 对方程两边取拉普拉斯变换 设 并考虑到初始条件 则得 AtLtfsXtxL 2km 如果记 有 0 1 20 sm 由拉普拉斯变换函数表 可知 in 21tL sin1 0201tsL 对方程两边同时取反演 从而方程的解为 in 0tmAtx 可见 在冲击力作用下 运动为一正弦振动 振幅是 角频率是 称 0 0 为该系统的自然频率 或称固有频率 0 3 4 常微分方程组 例 求解三维常微分方程组 2 0 1 0 0 xyzxyzxyz 解 设 对方程组的两个方程两边分 tLsX tLsY tLsZ 别取拉普拉斯变换并结合初始条件 有 0 1 122sZsYX 解该方程组 整理展开成部分分式 有 1321 2 1 322 223 ssssZYs 取其逆变换 可得原方程组的解 cos31 2cosh 31 2tttzytx 3 5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 形如 的方程称为 阶常系数非齐次线 1 1 xfyayannnn n 性微分方程 这里 为常数 为连续函数 我们平时用到的 21 主要有三种形式 fx xfe 21 npxpxp 其 中 6 sincosfxf 该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程 的通解 对于该方程的通解可用多种方法求特解 如 比较系数法 常数变易 法 算子法等 下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解 设 为求特解令初始条件为零 对方程两边同 xfLsFtyLsY 时取拉普拉斯变换 得到 下面结合 f x 的三种nnassaFY 11 形式分别作介绍 1 xef 此时 11nnassasY 对其进行部分分式分解 令 112nnasDCBAY 则该齐次微分方程特解的形式与自由项 f x 有关 也就是说与变换项 有关 sA 对应的齐次微分方程的通解由 决定 只要该项分母中 11 2nnassa 不含有特解因子 则特解只取决于 7 s A 若 011 snnas 则 snnasaxYsA 1 即相应的拉普拉斯变换特解为 1 snnassxY 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 1YLty 例 求解常系数线性齐次方程 的特解 xey2 解 设 令初始条件为零 tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 21 2 sYs 整理展开成部分分式 有 1 2sCBAsY 此时 则 0 2 s 21 1 2 1 1 2 sssasaxYnn 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 xesLsty 211 2 若 0 111 mnmnsnn bsaas 令 1 2 1 mnmnnmbsbDCBAY 同理 相应的拉普拉斯变换特解为 11 smnmnnmbsbsx 例 求解常系数线性齐次方程 的特解 xeyy2 485 解 设 令初始条件为零 tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 21 23 sYss 则 1 485 21 223 sss 此时 0485223 ss 令 1 3 BAY 则相应的拉普拉斯变换特解为 2 1 2 1 1 3231 ssbsbsx smnmnnm 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 2 311 xesLYty 2 21nx xppxpef 其 中 例 求微分方程 的特解 xey2 65 解 设 令初始条件为零 tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 2 1 65 2 sYs 则 3 1 65 21 2 ssssY 此时 0652 s 令 65 2 sDCBAsY 21231 1 22142 4442 222 ss sss ss 相应的拉普拉斯变换特解为 2 2 1 2 3 sssBAY 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 1 1 222321 xexessLsYty x 3 xfxf coin 例 求解微分方程 的特解 7 xyy2sin54 解 设 令初始条件为零 tLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 42 54 2 sYs 令 54 22 sDCsBAY 65 1 16 4 14 214242 442 22 ss sss ss 相应的拉普拉斯变换特解为 48 65 4 654 2222 sssBAY 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 11221 8 8coin ytLYs xs 3 6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 对于 阶常系数线性齐次微分方程 满足以n 1 10nnnnyaay 下两个引理 8 引理 1 n 阶常系数线性齐次方程的解 积分曲线 具有平移不变性 也就是 说 若 y y x 为 n 阶常系数线性齐次方程的一个解 则对任意的常数 c 也是 n 阶常系数线性齐次方程的解 yxc 引理 2 若 为 n 阶常系数线性齐次方程的一个解 0yxy 经平移后变为 则 也是 n 阶常 0yxy 0 yxy 系数线性齐次方程的解 下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程 满足在任意点的初始条件0 3 ryqpy 的解 20 1 0 yxx 设方程的解为 这样 我们便将初值点平移到 0yxy 了 点 于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题 0 x 令 t 0 0 xyxty 其 中 y 0 3 03 2 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 得到 tyLsY 0 3 rqp 由拉普拉斯变换的导数性质 以及 0 fsFtfL 高阶导数推广 可得 0 12 21 nnnnn fsfstfL 00 2 23 srYyqyYpysysY 结合初始条件 有 0 010201023 srsYsss 整理可得 2123 ypyqprqspY 对上式两边同时取拉普拉斯逆变换 可得 1 201022311 ypsyqpsrqspsL 进行变量还原 便得到所求初值问题的解为 0 00 xytyxyxy 例 求解二阶常系数线性齐次方程 该方程满足初始条件 8 1 4y 解 首先转化初值条件 4 1 04 1 xttyxyy其 中 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 得到 tyLsY 0 L 即 012 sY 整理成部分分式 有 11 222 s 由拉普拉斯变换函数表 可知 co 21 tsL cos 21tsL 由拉普拉斯变换函数表 可知 sin 21 tsL sin 1 21tL 对方程两边同时求反演 整理可得方程的解为 ico tYy 变量还原 得到原初值问题的解为 cs2 4sin cos incos 1 04 1 xxxttyxyy 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 4 1 齐次与非齐次偏微分方程 例 求解齐次偏微分方程 2 3 0 02yux 解 对该定解问题关于 y 取拉普拉斯变换 并利用微分性质及初始条件可得 sxUyuL 0 2xsu 2 02 xdUsxuLxyxuLy 2s 3 200UuLxx 这样 原定解问题转化为含参数 s 的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问 题 3 20sUxdx 方程 可转化为2sxdUs 2sxdUs 解此微分方程 可得其通解为 其中 c 为常数 3 为了确定常数 c 将边界条件 代入上式 可得20sx 32s 所以 3 2ssxU 由拉普拉斯变换函数表 可知 1 1 L 21xsL 由拉普拉斯变换函数表 可知 1nts 3 231y 3 21ysL 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 36 221 xyxsULyxu 例 求解非齐次偏微分方程 2 0 0 22xttutxgxua为 常 数 解 对该问题关于 t 取拉普拉斯变换 并利用微分性质及初始条件可得 sxUtuL 202 Ustut ot sgL 222dxtux 0 0 xUuL 这样 原定解问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问 题 0lim 10222Usgasdxs 方程 可转化为sgadx2221 122sgaUdx 解此微分方程 可得其通解为 其中 321ecxsas 为 常 数 21 c 为了确定常数 将边界条件 代入上式 21c0lim 0 Usx 可得 031sgc 所以 1 33 saxxasegexU 由拉普拉斯变换函数表 可知 1ntsL 2 31tgsL 由拉普拉斯变换函数表 并结合延迟定理n 010tfsFet 可知 2 231 axtutgesLax 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 2 2311 axtutgtesgLsxUtxuax 或 2 22axttgtx 4 2 有界与无界问题 例 求解有界偏微分方程 2 0 022ttlxxutlat 解 对该定解问题关于 t 取拉普拉斯变换 记 sxUtuL 202 Ustutox 22dxuL 0 xoU sullx 这样 原定解问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题 该方程的通解为 其中 是常数 21xasxasecU 21 c 为确定常数 将边界条件 代入上式 可得 即21 c0 x 021 c 21c 将边界条件 代入上式 可得 slx 21laslasec 因此 21laslsec 从而 0 2asdxlx 11 43 34 3salxlsxlassalxlsxls laslslal llxsllaxsseeeeeU 为了求 的拉普拉斯逆变换 注意到分母为 所以逆变换 是周 Ux 14sale uxt 期为 的关于 的周期函数 根据周期函数的拉普拉斯变换式 其中al4 表明 是以 为周期的周期函数 即sale41 t al4 lssasal deetL404 1 由拉普拉斯变换函数表 4tLsal 并结合延迟定理 010tfFest 可知 41 axltultLsa xlsl 同理可知 1 4 axltultessaxll 3 34 ltlteLsaxlsl 1 34 axltuxltsaxlsl 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 3 3 1 axltuxltaxltuxlt axltusULu 其中 为单位阶跃函数 a 即 0 1 au 例 求解无界偏微分方程 2 0 0 x 2txu thut常 数 为 常 数 解 对该问题关于 t 取拉普拉斯变换 记 sxUtuL 0utx 222dtLxu 00suUxx 这样 原定界问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题 0lim 022为 自 然 定 解 条 件 Usuahdxx 解此微分方程可得通解为 其中 为常数 12 shshxxaaxce 1c2 为确定常数 将边界条件 代入上式 可得 suUx0 012ucs 将边界条件 代入上式 可得 0lim x 1c 因此 2ucs 所以 0 shxaUxe 从而 110 shxauUxtLxse 由拉普拉斯变换函数表 可知 10 uLs 由拉普拉斯变换函数表 21 2as atLerfcedt 可知 21 2xsa xatxLerfcdt 如果令 显然 22 detftax 0 f 由导数性质 可知 fsFtfL 1 xsaftLe 亦即 ta xtaxsax ttdetfe 22 4 1 由位移性质 tLfFs 可知 22 4 41 22 htaxhttaxxahs etete 由卷积定理 11sffL 可得 0 xahsesutxU 令 最后可得该定解问题的解为 2 a taxahxt thtax taxxahs deudetaxutLsx 2 4 00 4 0 4 0101 2 22 2 5 综合比较 归纳总结 从以上的例题可以看出 用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺 点 1 13 拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱 其使用面更宽 但拉普拉 斯变换像其他变换一样都有其局限性 只有满足其存在定理时才可以使用拉普 拉斯变换 而在微分方程的一般解法中 并没有任何限制 用拉普拉斯变换方法求解微分方程 由于同时考虑初始条件 求出的结 果便是需要的特解 而微分方程的一般解法中 先求通解 再考虑初始条件确 定任意常数 从而求出特解的过程比较复杂 零初始条件 零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单 而在微分方程的一般解法中 不会因此而有任何简化 用拉普拉斯变换求解微分方程 对于自变量是零的初始条件 求其特解 是非常方便的 但微分方程的一般解法并没有简化 用拉普拉斯变换方法求解微分方程 对方程的系数可变与否 对区域有 界与否 对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系 而在微分方程的一般解法 中 会遇到很多困难 用拉普拉斯变换方法求解微分方程组 可以在不知道其余未知函数的情 况下单独求出某一个未知函数 但在微分方程的一般解法中通常是不可能的 拉普拉斯变换可以使解 个自变量偏微分方程的问题 转化为解 个n 1n 自变量的微分方程的问题 逐次使用拉普拉斯变换 自变量会逐个减少 有时 还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题 比 微分方程的一般解法更为简单 直接 比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算 要求相对较低 相比之下 算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解 对 初学者而言要求相对较高 然而算子法却具备比较系数法和常数变易法无法具 备的应用条件 有适应面广 计算量小 准确度高 简单易行的特点 结束语 通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 可以看出拉普拉斯变换 是一种特别成功的数学方法 求解微分方程的步骤比较明确 规律性比较强 思路清晰且容易掌握 灵活使用拉普拉斯变换 可以巧妙地推出一些复杂问题 的答案 便于学生理解进而提高教学质量 参考文献 1 李高翔 拉普拉斯变换在微分方程组求解中的应用 J 高等函授学报 2009 22 3 22 24 2 张元林 工程数学积分变换 第四版 M 北京 高等教育出版社 2003 68 138 3 梁昆淼 数学物理方法 第三版 M 北京 高等教育出版社 1998 120 121 4 黄会芸 拉普拉斯变换在高等数学中的应用 J 潍坊教育学院学报 2009 22 4 44 45 5 全生寅 论解 N 阶常微分方程的 Laplace 变换法 J 青海大学学报 2000 5 61 62 6 李曼生 陈莉 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 J 广西右江民族师专学报 2006 3 5 8 7 张刁民 拉普拉斯变换求二阶常系数非齐次微分方程的特解 J 河南教育学院学报 2005 1 27 28 8 李连忠 何乐亮 拉普拉斯变换应用的一个推广 J 山东师范大学学报 2007 1 148 9 姜立新 Laplace 变换的应用研究 J 枣庄学院学报 2010 27 2 37 40 10 唐妍霞 利用 Laplace 变换求解一维波动方程的定解问题 J 河北北方学院学报 2010 3 16 19 11 王振芳 拉普拉斯变换及其应用 J 雁北师范学院学报 2001 6 48 49 12 谢小良 基于 Laplace 变换下微分方程的解法及应用 J 湖南城市学院学报 自然科 学 2003 24 3 85 86 13 杨芳 吴小欢 n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法 J 广西师范学院学报 2009 04 97 100 Application of Laplace Transform to General Solutions of Differential Equations Department of Physics 0801 Student Yanlin Yue Tutor Xinhua Han Abstract Through to the Laplace transform in solving ordinary differential equation the typical application of partial differential equation for example comprehensive comparison summarizes the Laplace transform in solving differential equations and the advantage of the limitations Key words Laplace transform Laplace inverse transform ordinary differential equation partial differential equation particular integral 致谢 感谢我的导师韩新华老师 她渊博的专业知识 言谨的治学态度 精益求 精的工作作风 诲人不倦的高尚师德 严以律己 宽以待人的崇高风范 朴实 无华 平易近人的人格魅力对我影响深远 不仅使我树立了远大的学术目标 掌握了基本的研究方法 还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理 本论 文从选题到完成 每一步都是在导师的细心指导下完成的 倾注了导师大量的 心血 在此 谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢 在论文即将完成之际 我的心情无法平静 本论文顺利完成 还有许多可敬的师长 同学 朋友给了 我无言的帮助 在这里请接受我诚挚的谢意