谓词逻辑习题及答案.doc

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。（1）小王学过英语和法语。（2）2大于3仅当2大于4。（3）3不是偶数。（4）2或3是质数。（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。解： (1) 令：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为(2) 令：x大于y, 命题符号化为(3) 令：x是偶数，命题符号化为(4) 令：x是质数，命题符号化为(5) 令：x是北方人；：x怕冷；：李键；命题符号化为2. 设个体域，消去下列各式的量词。（1）（2）（3）（4）解：(1) 中，显然对y是自由的，故可使用UE规则，得到 ，因此，再用ES规则， ，所以（2）中，它对y不是自由的，故不能用UI规则，然而，对中约束变元y改名z，得到，这时用UI规则，可得： （3）略（4）略3. 设谓词表示“等于”，个体变元和的个体域都是。求下列各式的真值。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：(2) 当时可使式子成立，所以为Ture。(3) 当时就不成立，所以为False。 (4) 任意的x,y使得，显然有的情况出现，所以为False。(4)存在x,y使得，显然当时是一种情况，所以为Ture。 (5)存在x，任意的y使得成立，显然不成立，所以为False。 (6)任意的y ，存在x ，使得成立，显然不成立，所以为False。4. 令谓词表示“说德语”，表示“了解计算机语言C+”，个体域为杭电全体学生的集合。用、量词和逻辑联接词符号化下列语句。（1）杭电有个学生既会说德语又了解C+。（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C+。（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C+。（4）杭电没有学生会说德语或了解C+。假设个体域为全总个体域，谓词表示“是杭电学生”。用、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。解：（）个体域为杭电全体学生的集合时：（1）（2）（3）（4） （）假设个体域为全总个体域，谓词表示“是杭电学生”时：（1）（2）（3）（4）5. 令谓词表示“爱”，其中和的个体域都是全世界所有人的集合。用、量词和逻辑联接词符号化下列语句。（1）每个人都爱王平。（2）每个人都爱某个人。（3）有个人人都爱的人。（4）没有人爱所有的人。（5）有个张键不爱的人。（6）有个人人都不爱的人。（7）恰有一个人人都爱的人。（8）成龙爱的人恰有两个。（9）每个人都爱自己。（10）有人除自己以外谁都不爱。解：王平 ：张键 ：张龙(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9) (10)2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。（1）（2）（3）解： （1）x是指导变元，的辖域是，对于的辖域而言，x是约束变元，y是自由变元。（2）x,y都为指导变元，的辖域是，的辖域是；对于的辖域而言，x,y都为约束变元，对于的辖域而言，x是自由变元，y是约束变元。（3）x,y为指导变元，的辖域是，的辖域是，的辖域是；对于的辖域而言，x,y为约束变元，z为自由变元，对于的辖域而言，z为自由变元，y为约束变元，x即为约束变元也为自由变元，对于的辖域而言，x为约束变元，y,z是自由变元。在整个公式中，x,y即为约束变元又为自由变元，z为自由变元。2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）易知公式是的代换实例，而 是永真式，所以公式是永真式。 （2）易知公式是的代换实例，而 是永真式，所以公式是永真式。 （3）易知公式是的代换实例，而 是永假式，所以公式是永假式。 （4）易知公式是的代换实例，而 是永真式，所以公式是永真式。 （5）易知公式是的代换实例，而 是永真式，所以公式是永真式。 （6）易知公式是的代换实例，而 是永假式，所以公式是永假式。 （7）易知公式是的代换实例，而 是可满足式，所以公式是可满足式。2.3 谓词公式的等价演算与范式习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。（1）没有小于负数的正数。（2）相等的两个角未必都是对顶角。解：（1）：x为负数，：x是正数，：x小于y，命题可符号化为：或 （2）略2.设、和都是谓词，证明下列各等价式（1）（2）（3）（4）证明：（1）左边右边 （2）左边 右边 （3）左边 右边 （4）左边 右边3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。（1）（2）（3）（4）解：（1） 前束析取范式 前束合取范式（2）原式前束析取范式 前束合取范式（3）原式 前束析取范式 前束合取范式（4）原式 2.4 谓词公式的推理演算习题2.41.证明：证明：（1）左边 2. 指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。（1） P规则US规则：（2） P规则US规则：（3） P规则ES规则：（4） P规则 UG规则：（5） P规则 EG规则：（6） P规则 EG规则：解：（1）错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而中公式不是前束范式，所以不能用US规则。 (2)错，中公式为，这时，因而使用US规则时，应得A(a)(或A(y),故应有，而不能为。3.用演绎法证明下列推理式证明： 前提引入 ES 前提引入 T US T T EG 4. 将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。（1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个体域取全总个体域）（2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个体域取人类全体组成的集合）（3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类全体组成的集合）（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）解：(2)证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：王华上述句子符号化为：前提：、 结论： （1）P（2）P（3）US（2）（4）T（1）I （5）T（3）（4）I（6）T（1）I（7）T（5）（6）I（8）EG（7）（3）命题符号化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。 前提：， 结论：. 证明：(1) P (2) ES(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4) I (6) P(7) US(6)(8) T(5)(7) I (9) EG(8)（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。 前提：， 结论：. 证明：(1) P (2) ES(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4)I (6) P(7) US(6)(8) T(5)(7)I(9) EG(8)5. 令谓词、和分别表示“是婴儿”，表示“的行为符合逻辑”、“能管理鳄鱼”和“被人轻视”，个体域为所有人的集合。用、量词和逻辑联接词符号化下列语句。（1）婴儿行为不合逻辑。（2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。（3）行为不合逻辑的人被人轻视。（4）婴儿不能管理鳄鱼。请问，能从（1）、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，并用演绎推理法证明之。解：（1） （2） （3） （4）能从（1）（2）（3）推出（4）。证明：（1） P(x) 前提假设 （2） 前提引入 （3） T 规则：(1)，(2) （4） P规则 （5） T 规则：(3)，(4) （6） P规则 （7） 拒取式 （8） UG规则