共边定理典型题解析.doc

DAPB面积DAQB面积PMQMAAAABBBBPPPPQMMMM共边定理图：四种位置关系QQQ1如图，ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，用面积方法证明：DEBC且DEBC证明：D、E分别是AB、AC边上的中点，ADEBDEADECDE11BDECDE DEBCDBCADE由共角定理得：ADE/ABCADDE/ABBC1/4ADAB DEBC这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形ABCDEF例2：(1983年美国中学数学竞赛题)如图的三角形ABC的面积为10，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD2，DC3，若BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（ ）ACDB不确定解：由BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个面积，得BFD与BFE同底且面积相等，所以BFDE，可以得到AB为边的两个三角形ABD与ABE面积相等，因为三角形ABC的面积为10，且BD2，DC3，所以ABD的面积等于4，即ABE面积等于4，所以BCE的面积等于1046，故选CABCDO这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：OAOC，OBOD，由共角定理得：AOB/CODOAOBOCOD1即AOBCOD，共底的两个三角形ACBCBD，ADBC；同理可证ABCD问：共边定理怎么证线段相等？ABCDE答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，ABAC，CEAB于E，BDAC于D，求证：BDCE解：由三角形面积定理得：SABCABCEACBDABAC，BDCE ；本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例5：如图，已知AD平分BAC，BDAD，DEAC，DE交AB于F点AEBCDF求证：BEEC证明：连接C、F，由平行线性质，得DFCDFA；由AD平分BAC，DFAC，可得FADFDA，AFFD由BDAD，得FBDFDB，BFDF；AFBFDFBDFA；DFCDFB；BEECDFCDFB11，即BEECCABDEF本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。例6：如图，ABC中，ABAC，BDCE，求证：DFEF.证明：连接CD、BE，ABAC DBC与BCE互补，由共角三角形定理：DBCBCEBDBCCEBCABAC，BDCE，得DBCBCE，再由共边定理得：DBCBCEDFFE11DFEF.本题先用共角三角形定理证得DBC与BCE面积相等，再由共边定理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。例7：在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：ABD321QNMHGEC证明：连结CF，由，得图中两个阴影三角形的面积之比为12，即：AFCAFB12，又由，等腰直角三角形的条件，得ABCDEFF123123290，13，由共角定理得：AFACABBFAFCAFB12AFBF12，由AFB与AEB相似，得AEAB12，ABAC AEEC本题先用CDDB12得到两个阴影三角形的面积之比为12，再由共角三角形定理证得AFBF12，过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段？答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。ABCDEF例1图例1：已知在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F求证：AFAC解答：构造以BF为公共边的两个三角形ABF和DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形ABF和DBF、DCF面积都相等，由图易得，所以AFACABCDEF例2题图1142例2：ABC中，D是BC上的一点，E为AD上一点，求，解答：构造以BE为公共边的两个三角形ABE和CBE，则，由图易得ABCDEF例2题图26141构造以AD为公共边的两个三角形BAD和FAD，则由，设FAD1,则FDC6，ADC7；由，得BAD14, 例3：(三角形角平分线性质定理) 如图，AD平分BAC，ABCD求证：证明：AD平分BAC，由共角三角形定理：ADBADCABADACADABAC又ADBADCBDCDABACBDDC问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法但作为欧式几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的ABCDEF例如下面这道题目，三种解法就各有利弊1在ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点求证：1 ABPZYXCYP证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！1例(梅涅劳斯定理)：在ABC的两边取X、Y，直线XY与BC的延长线交于Z点BXYZCA求证：1证明：1也是一步！CABDMKLFG2著名数学大师华罗庚在1978 年全国中学生数学竞赛题解前言中，给出了这样的一道几何题：如图，凸四边形ABCD 的两边DA、CB 延长后交于K，另外两边AB、DC延长后交于L，对角线DB、AC 延长后分别与KL 交于F、G求证：证明：(以BD为公共边的两个三角形的面积比)(乘以同一个三角形KBL，化为两组面积的比)(化为两组线段的比)(化为有同一个三角形DAC的两组面积的比)(消去公共三角形，化为线段的比)这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步骤相当多，也不易理解，所以20多年没有人给出简单巧妙的解在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了问：怎样用面积法证面积题？答：已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现其实，这类题使用共边定理是最好的方法4：ABCDO第7题图236？如图，四边形ABCD中，AOD面积2，DOC面积3COB面积6，求AOB面积解法1：AOD面积DOC面积23AOOCAOB面积COB面积，COB面积6 AOB面积4解法2：AOD面积DOC面积AOOCAOB面积COB面积，AOB面积DOC面积COB面积AOD面积这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了 AOB面积26345（17届希望杯全国赛初二第二试19题）：ABCEDP如图，等腰ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若10，则_；_；AEEC_解：APPD12 即122，10，2；4；AEEC14BCEDPA6ABC中，D点在BC边上，且，P点在BC边上的高AD上，且BP的延长线交AC于E，若18，则_，_AEEC_解：123则_3_，_6_AEEC_15_7如图：ABC中，E为中点，ADDC21，EBF面积是15，求ABC的面积ABCDEF156015解：连结CF，E为中点且EBF面积是15；ECF面积EBF面积15； ADDC21 AFB面积FCB面积21 AFB面积60 ，E为中点 ACF面积AFB面积60ABC的面积15+15+60+601508：ABCDEF如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AEEB 12（1）求AEF与CDF的周长比；（2）如果SABCD 6平方厘米，求SADE解答：AEEB 12 AEAB AECD13，由AEFCDF，可得它们的周长比为13 ；SADESABDSABCD SABCD 6 平方厘米 SADE1平方厘米；例11：如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4cm2，CED的面积是6cm2问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ABCDEF46解：连结BF，则BDF面积CDF面积10，BEF面积6；设面积为x，则有：4x66，x9；BDC面积15，长方形ABCD面积30 四边形ABEF的面积是15411平方厘米ABCDEF9如图，FB、AD、EC互相平行，ABC的面积为1，求FDE的面积。解：由ADEC，得ADCADE，同理ABDAFD，得ADEAFDABC1又由FBEC，得ECBECF，ABCACEAEFACE即ABCAEF1FDEAEFADEAFD2ACBDEF 10如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE2BC，延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积。解：连结BD，EC，由已知条件可得，DAB1，DBE2，CBE2，FCE6，FCD6，DEF11226618这题也是面积法最基本的题型.11在的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F，使BD3DC，CE3AE，AF3FB，连AD、BE、CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13cm2，求三角形PQR的面积ABCDEP图2图1ABCDEFRPQ解：由图1得：PQRABC(ABPBCQCAR)；观察图2，连结PC，由CE3AE，得APECPE13，又由BD3DC，得APBAPC31设APE1，则CPE3，APB12，ABE13；由CE3AE，得ABEABC14，ABC52，得APBABC1252；同理可得BCQABC1252；CARABC1252；三角形ABC的面积为13cm2，ABPBCQCAR365213cm29cm2；PQR13cm29cm24cm2此题还可顺便推得EPEB113，APAD413.在这一类题目中，特别能体现面积方法的强大，没有平行线，没有全等三角形，没有相似三角形，但处处存在由面积引发的比例关系，这种比例关系通过共边三角形和共角三角形而存在.