函数可积与存在原函数的关系.doc

函数可积与存在原函数的关系本文在区间a,b上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。一、 存在定积分但不存在原函数的例子定义函数如下：该函数显然有界，x=1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得显然它的导数并不是f(x)，而是f(x)在x=1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。二、 存在原函数但不存在定积分的例子。定义函数如下：首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：为此目的，只需证明对任何x0,1成立，而0x1时该式的成立是显然的，关键是证明，这里的要理解为单侧导数。因为，这表明存在，并且，这就证明了是在原函数，即在原函数存在。现在来考虑的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间0,1无界，因为任意，函数在区间(0,)无界，在这个区间上，是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取，则其值为，但若取，则其值为，只要n充分大，便可使，同时却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意，函数在区间(0,)无界，从而在闭区间0,1无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以的定积分不存在。综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。下面是关于导函数连续性定理的资料：导函数连续性定理：若函数在的邻域内连续，在的空心邻域内可导，并且导函数在处存在极限，那么函数在处存在导数，并且。证明：设，则在闭区间上连续，开区间内可导，于是由拉格朗日中值定理得，其中在上式中令（即从左侧趋向，此时也从左侧趋向），得到，即这表明在处左导数存在，且等于，同理可证明右导数存在，也等于，从而在处存在导数，且等于。注：条件中在处的连续性不可缺，因为拉格朗日中值定理要求闭区间连续，那么在证明左导数存在的时候必须要求在处左连续，证明右导数存在的时候要求在处右连续，合起来就是在处连续。