湖南大学《随机过程》课程习题集.doc

湖南大学本科课程随机过程习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。1.3 设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。1.4 设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n次取得合格品的概率。1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且其中l0为常数，求常数A、B的值。1.6设随机变量X的分布函数为(1) 求系数A、B；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为(1)求条件概率密度函数、；(2)问X、Y是否相互独立？1.8已知随机变量X的概率密度分布函数为随机变量Y与X的关系为 Y=cX+b，其中c，b为常数。求Y的概率密度分布函数。1.9设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为，求随机变量Z=X+Y的概率密度分布函数。1.10设随机变量Y与X的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y服从均值为mY、标准差为sY的正态分布，求X的概率密度分布。1.11随机变量X服从标准正态分布，求随机变量(n为正整数)的数学期望及方差。1.12随机变量X服从均值为mX、标准差为sX的正态分布，X通过双向平方率检波器，Y=cX2(c0)，求Y的概率密度分布。1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为(1) 求系数A，(2)求数学期望EX、EY，方差DX、DY；(3)求X、Y的相关函数及相关系数。1.14设X为拉谱拉斯随机变量，；求：(1)X的特征函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。第二章：随机过程的基本概念2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车站。如果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看作一个随机过程，其中A、W、j为相互独立的随机变量，且，求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1) 确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 确定X(t)的二维分布函数FX(x1, x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。2.4设随机过程，其中w0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成，(1)求随机变量V、F的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于0,T的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0t)。设不同的脉冲是统计独立的，求随机过程Y(t)的一维概率密度分布函数。2.7设随机过程X(t)=Ycos(t) (-t)，其中Y为均匀分布于0,1区间的随机变量，求随机过程X(t)的自相关函数及自协方差函数。2.8随机过程，其中Ak服从分布N(0,sk2)，且相互独立；qk为常数，j为虚数单位，求复随机过程Z(t)的均值函数与方差函数。2.9随机过程X(t)=X+Yt，；随机矢量的协方差矩阵为，求随机过程X(t)的协方差函数。2.10给定随机变量X(ti)，xi为任一实数。定义另外一个随机过程 试证明Y(t)的均值和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。2.11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1，脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等)，各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。2.12设随机过程X(t)=b+Nt，b为常量，N为正态随机变量，均值为m，标准差为s，求随机过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。2.13质点在直线上作随机游动，即质点在n=1,2,3,时刻可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为p、q(p+q=1)，PXn=1=p，PXn=-1=q，各次游动是相互独立的，经过n次游动后，质点所在的相对位置为求：(1)离散时间随机过程Y(n)的均值函数；(2) Y(n)的相关函数及自协方差函数。2.14设随机过程X(t)=a+bt，a和b为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为、，求随机过程X(t)的概率密度。2.15设随机过程，其中A(t)0，在同一时刻随机过程A(t)和j(t)是相互独立的，且j(t)在任意时刻的概率密度分布为-p,p上的均匀分布，包络A(t)在任意时刻的概率密度分布为，求随机过程X(t)的一维概率密度。2.16随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角频率w取常数，相位j为均匀分布于-p,p的随机变量，求X(t)的一维概率密度分布函数。2.17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T，脉冲信号的周期也为T，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N(0,s2)，不同周期内的幅度xi是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量，u与各xi相互独立，求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。2.18设随机过程X(t)的均值为mX(t)，协方差函数为KX(t1,t2)，j(t)为普通函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+ j(t)的均值和协方差函数。2.19广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)T的自相关矩阵为求矩阵中未知元素的值。2.20设随机过程，其中w为常数，A、B为相互独立的随机变量，概率密度分布函数为正态分布N(0,s2)。求X(t)的均值和自相关函数。2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足RX(T)= RX(0) (T0)，证明RX(t)必为以T为周期的周期函数。2.22给定随机过程X(t)和常数a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)的自相关函数。若X(t)平稳，均值为mX，求Y(t)的均值；问Y(t)是否平稳？是否与X(t)联合平稳？2.23(缺)2.24 X(t)=At，A为随机变量，概率密度分布为N(0,1)，求X(t)的均值及自相关函数。2.25 X(t)=cos(Wt)，其中W为均匀分布于(w1,w2)的随机变量，求X(t)的均值及自相关函数。2.26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角频率w取常数，相位j为均匀分布于-p,p的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。2.27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成查看教材中的原图，而且每个样本函数等概率发生。计算EX(2)、EX(6)、RX(2,6)、FX(x,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分别画出它们的图形。2.28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验，如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1，如反面朝上，则X(t)在该秒内的取值为0；求：(1)X(t)的均值函数，(2)计算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。2.29随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角频率w取常数，相位j为均匀分布于0,2p的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？2.30根据掷色子实验定义随机过程，求X(1),X(2)的概率密度，问X(t)是否为平稳随机过程。2.31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。(1)求该随机过程的均值与自相关函数，(2)该过程是否平稳？2.32随机过程X(t)=Acos(wt+q)，其中角频率w取常数，相位q为均匀分布于0,2p的随机变量，振幅A为瑞利分布随机变量，与q相互独立，问该过程是否平稳？2.33两个随机过程X(t),Y(t)均不是平稳随机过程，且，式中A(t)、B(t)是相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数，证明：Z(t)=X(t)+Y(t)是广义平稳的。2.34已知两个平稳随机过程的相关函数为，试分别求其相关时间。2.35设随机过程，其中w为常数，X(t)、Y(t)为平稳随机过程、且联合平稳，求：(1)Z(t)的自相关函数；(2)如，求Z(t)的自相关函数。2.36两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，均值都是0，自相关函数分别为、；试求：(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数，(2)W(t)=X(t)-Y(t)的自相关函数，(3)互相关函数RZW(t)。2.37设X(t)是雷达发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为，其中，是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴随有噪声N(t)，于是接收到的信号为：；(1)若X(t)与Y(t)是联合平稳随机过程，求二者的互相关函数；(2) 在(1)的条件下，假设N(t)为零均值，且与X(t)统计独立，求X(t)和Y(t)的互相关函数。2.38已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为求X(t)的均方值。2.39平稳随机过程X(t)的自相关函数为求其功率谱密度函数。2.40如图所示系统，若X(t)为平稳随机过程，证明Y(t)的功率谱密度函数为2.41已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为求X(t)的自相关函数。2.42设X(t)和Y(t)为两个统计独立的平稳随机过程，均值分别为mX、mY，且X(t)的功率谱密度函数为GX(w)，定义Z(t)=X(t)+Y(t)，试计算GXY(w)、GXZ(w)。2.43设随机过程Y(t)=X(t)cos(w0t+q)，其中w0为常量，X(t)为与q无关的随机过程，q为均匀分布于(0,2p)的随机变量，求Y(t)的自相关函数及功率谱密度。2.44设随机过程X(t)=acos(Wt+q)，其中a为常量，W为与q无关的随机变量，q为均匀分布于(0,2p)的随机变量，W的一维概率密度分布函数为偶函数，求证X(t)的功率谱密度为。2.45设广义平稳随机过程X(t)的相关函数如下图所示，求其功率谱密度函数。1RX(t)tT/2-T/22.46设随机过程X(t)=cos(wt+q)，其中w为常量， q为随机变量，其特征函数为Fq(u)=Eejuq，证明：当且仅当Fq(1)= Fq(2)=0时，随机过程X(t)广义平稳。2.47下列函数是否可能为平稳随机过程的相关函数？第三章：随机过程的线性变换3.1设有随机变量序列X(n)|n=1,2,3,以及随机变量X，且有，求证：3.2设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为。证明：对于任一给定的时刻t，随机变量X(t)和是正交的和互不相关的。3.3设随机过程X(t)及随机变量Y和Z，并且有，证明Y=Z(相当于：若极限存在，则唯一)。3.4设随机过程X(t)是平稳且可微的，导数过程为；设X(t)的物理功率谱密度为FX(w) (w0)，试求X(t)与的互功率谱密度以及的功率谱密度。3.5设有复随机变量序列X(n)|n=1,2,3,以及复随机变量Y，且有，求证：X(n)依均方收敛于随机变量Y的充要条件是3.6设有随机变量序列X(n)|n=1,2,3,，X(n)的相关函数为若有普通序列an|n=1,2,3,并定义,求Y(n)均方收敛的充要条件。3.7设有随机过程，已知X(t)为零均值平稳随机过程，功率谱密度为GX(w)，(1)证明Y(t)为平稳随机过程，(2)求Y(t)的功率谱密度(不考虑w=0处)。3.8 (非平稳随机过程的连续性) 证明：若X(t)的自相关函数在处二元连续，则X(t)在处连续。3.9对于平稳随机过程X(t)，均方连续的充要条件是其自相关函数RX(t)在t=0处连续。3.10设X(t)是平稳随机过程，EX(t)=1，求随机变量的均值及方差。3.11设X(t)的自相关函数为，系统的冲激响应为，A、B、a均为正的常数，设X(t)的均值非负，试求输出Y(t)的均值。3.12在图示积分电路的输入端加入一平稳随机过程X(t)，EX(t)=0，电路的初始条件为Y(0-)=0，试分析输出过程Y(t)的统计特性(瞬态和稳态)。3.13 (1) 12题中若X(t)的相关函数为，求输出过程的自相关函数；(2)若输入从t=-已经开始(不限制t=0-处的初始条件)，求输出过程的自相关函数。3.14如图所示的RL电路，输入为零均值平稳随机过程，相关函数为，求输出过程的自相关函数RY (t)。3.15设线性因果时不变系统的冲激响应为，输入平稳随机过程X(t)的自相关函数为，求输入输出之间的互相关函数。3.16设系统的输出为输入的延迟，延迟时间为a，试用输入随机过程的相关函数RX(t)来表示输出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。3.17设线性时不变系统的传输函数为，输入平稳随机过程的X(t)的自相关函数为，试求输入输出随机过程之间的互相关函数。3.18设输入随机过程的自相关函数为，理想窄带放大器的频率特性为()，求该放大器输出信号的总平均功率。3.19如图所示的RL电路，输入X(t)是物理功率谱密度为N0的随机过程，试用频域法求Y(t)的自相关函数RY(t)。3.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，试用频谱法求输出随机过程Z(t)的均方值。3.21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段，即试用GX(w)来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度。3.22设积分电路输入输出之间满足如下关系，其中T为常数，且X(t)、Y(t)均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(jw)，求证：、3.24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证：输出Y1(t)、Y2(t)的互功率谱密度为。X(t)H1(jw)H2(jw)Y1(t)Y2(t)3.25设具有功率谱密度函数的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为，求该系统的传递函数。3.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1) ；(2) ；。分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)3.27给定实数x，定义理想门限系统的输入输出关系为，证明：(1) ;(2) 。 第四章：白色噪声与正态随机过程4.1 X1、X2、X3、X4是四元联合高斯分布随机变量，且，求证：。4.2 X、Y是零均值高斯随机变量，方差分别为、，若X、Y服从联合高斯分布，且相关系数为r，求Z=X/Y的概率密度分布函数。4.3 (接上题)证明以下关系成立：4.4设线性系统的冲激响应为h(t)，输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t)，证明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。4.5设n维高斯分布随机矢量的各个分量的均值为零，协方差矩阵为(其他未注明的元素根据对称性确定)求X的一维与二维概率密度分布函数。4.6功率谱密度函数为N0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为求输出随机过程Y(t)在任意时刻的概率密度分布函数。4.7白噪声的均值为0，功率谱密度为非零的常数N0，求其相关函数。4.8理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1)，求输出过程的自相关函数。4.9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,s2)；求随机变量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。4.10并联谐振电路如图所示，iN代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t时刻电流iL和iR的统计特性。4.11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为mX、mY，根方差分别为sX、sY，互相关系数为r，已现知X=x，求Y的合理估计值。4.12一个高斯随机过程的均值函数为、协方差函数为，写出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为、自相关函数为，写出t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。4.14设随机过程，其中A、w0为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相关函数为RN(t)，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y1、Y2为相关的零均值随机变量，方差分别为，互相关系数为，考察下列变换求使得变换后的变量不相关的条件。4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为FX(w)=N0(0wt2t1，有4.17 (与第3章第26题重复)。4.18设有二维随机矢量X1,X2，其概率密度为在椭圆上概率密度为常数，称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量落在等概率椭圆内的概率。4.19设n维随机矢量X=X1,X2,Xn服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，随机矢量的协方差矩阵为求其N维特征函数4.20 (接上题)若各个分量的之间的协方差为设另一随机变量Y为，求Y的特征函数4.21设3维高斯随机矢量X=X1,X2,X3各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=s2；求(1) ，(2) ，(3) 4.22设3维高斯随机矢量X=X1,X2,X3的概率密度为(1) 证明经过线性变换得到的随机矢量Y=Y1,Y2,Y3，则Y1,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量；(2)求C的值。4.23设X1、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y证明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。4.24设某一线性系统的单位冲激响应为 (a0)输入N(t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N0/2，输出为X(t)；，假设输入从-开始，求Y(t)的一维概率密度函数。4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度、，；证明：4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为，对其进行量化处理，得到时间连续但取值离散的随机过程Y(t)，即(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为(a0)，系统的冲激响应为 (b0,ba)X(t)是在t=-接入系统的，(1)求在t=0时输出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T时，X(-T)=0，求条件概率(T0)；(3) 如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率(T0)。4.28 设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX(t)，该过程依均方意义可导，其导数过程为，求在t1,t2两个时刻,的四维概率密度。4.30设X(n)为均值为0、方差为s2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：，4.31均值为0、方差为s2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|1,|b|1)，输出为W(n)，求sW2。4.32设离散系统的单位脉冲响应为，输入为自相关函数为的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程其中a1为常数，V(n)为方差为s2的白噪声，输入从n=0开始，。(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|1，则当n足够大时，；(3)若V(n)均值为零，|a1|1，求X(n)的自相关函数的平稳解。4.35考察如下的二阶自回归过程X(n)(1)若已知随机过程的相关函数值、，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声的方差的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、的值；(3)求相关函数的通解。4.36察如下的二阶自回归过程X(n)零均值白色噪声的方差为，；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。4.38考察如下的ARMA模型其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。第五章：窄带随机过程5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。5.2设一个线性系统的输入为时，相应的输出为，证明：若该系统的输入为的希尔伯特，则其输出为的希尔伯特。5.3设功率谱密度为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为，带宽为（），滤波器输出为，求的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。5.4设与为低频信号，即当时，其频谱值为0，证明5.5证明广义平稳随机过程与其希尔伯特的相关函数存在如下关系，为奇函数5.6设的解释信号(复信号表示)为，证明：并用的功率谱密度函数来表示的功率谱密度函数。5.7在复随机过程中，如果其均值为复常数，且其自相关函数为仅与有关的复函数，则称为复平稳随机过程，设是个实随机变量，是个实数。试问：以及之间应满足什么条件，才能使是一个复平稳随机过程。5.8考虑窄带高斯过程，假定其物理功率谱密度对称于载频，求概率密度。5.9设复随机过程为，其中、为相互独立的零均值实随机变量，对于任意的，、以及、相互正交，求该复随机过程的自相关函数。5.10设窄带信号的物理带宽为()，证明其复包络模平方的物理带宽为()。5.11设窄带平稳随机过程，证明：5.12对于调频信号，设，即为窄带信号，求该信号的复包络与包络的表示式。5.13设窄带平稳随机过程，证明其自相关函数为5.14设窄带平稳随机过程，若满足：证明的功率谱密度为5.15将相关函数为的窄带平稳随机过程表示为试在(1) ，(2) 的条件下，分别求出相关函数、以及。5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程之和其中、为常数，为窄带实平稳随机过程的功率谱密度的中心频率，为上均匀分布的随机变量，、，并假设、相互独立；(1)对每一个固定的值，求的均值和相关函数，判断是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当为上均匀分布的随机变量时，求的均值和相关函数，判断是否为高斯过程以及平稳过程。5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素，输入是功率谱密度为的零均值高斯白噪声，求滤波器输出端的窄带过程及其同相分量、正交分量的功率谱密度、，并以图示之。5.18设为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：、其中为该窄带随机过程的方差。5.19设窄带信号，其中为高斯过程，为上均匀分布随机变量，且证明的包络平方的相关函数为5.20变量为卡方分布变量的的平方根，证明n个自由度的变量的概率密度为5.21证明n个自由度的卡方分布变量的m阶原点矩为第六章：随机过程的非线性变换6.1给定实数和一个平稳随机过程，定义理想门限系统的特性为试证：(1) ；(2) 6.2设平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程，其概率密度函数为在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当时结果有何变化。6.3设对称限幅器的特性为(1)已知输入随机过程的一维概率密度，求输出随机过程的一维概率密度。(2)当输入随机过程为零均值平稳高斯过程、自相关函数为时，求输出过程的相关函数。6.4设有理想限幅器假定输入为零均值平稳高斯随机过程。(1)求的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：。6.5设有零均值高斯平稳随机过程，其自相关函数为，它的一维概率分布函数为，定义一个无记忆非线性系统，试用Price定理证明的相关函数为6.6平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，求检波器输出过程的一维概率密度、均值及相关函数。6.7全波线性检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。6.8半波线性检波器的传输特性为在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为的高斯白噪声，求输出随机过程的自相关函数和功率谱密度。6.10设随机变量和是零均值、方差为的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为和，且，证明：6.11设功率谱密度为的白噪声通过一个物理带宽为的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。6.12设为均值为、相关函数为的平稳高斯过程，将其加入到模型为的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数。6.13平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中包络服从瑞利分布求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。6.14同步检波器如下图所示，设为窄带平稳随机信号，其相关函数为求检波器输出端的相关函数及平均功率。6.15设全波线性检波器的传输特性为，检波器的输入为，其中为直流电平信号，为零均值平稳高斯随机过程，其方差为，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。第七章：马尔可夫过程7.1设由独立随机序列构成一个新的序列，且定义为试证明随机序列为马尔可夫序列。7.2设为马尔可夫过程，又设，试证明即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，如果“现在”的值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是统计独立的，即如果，其中代表“现在”，、代表“过去”和“将来”，若为已知，试证明7.4设齐次马尔可夫链有四个状态、，其转移概率矩阵为(1)如果该链在第n时刻处于状态，求在n+2时刻处于状态的概率；(2) 如果该链在第n时刻处于状态，求在n+3时刻处于状态的概率。7.5为马尔可夫过程，又设，试证明7.6一个质点沿标有整数的直线移动，经过一步从点移动到的概率为，停止在点的概率为，移动到的概率为，且。(1)求该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵；(2)若该质点在n时刻位于点，求该质点在n+2时刻位于各点的概率。 7.7若质点M在(0,1,2)三个位置随机徘徊，每经一单位时间按下列概率规则改变一次位置：自0出发，下一步停留在0的概率为q，来到1的概率为p；自1出发到达0,2的概率分别为p和q；自2出发停留在2及到达1的概率分别为p和q。该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵。7.8若质点M在图示的反射壁间四个位置上随机游动，在处向右移动一步的概率为1；在处向左移动一步的概率为1；在、处向左或向右移动一步的概率为1/4、停留的概率为1/2，试求在平稳情况下，质点处于各状态的概率。7.9设为相互统计独立的零均值随机变量构成的序列，各自的概率密度分布函数分别为，定义另外一个随机变量序列如下试证明：(1) 序列具有马尔可夫性(2) 7.10设齐次马尔可夫链的一步转移矩阵为，请应用该过程的遍历性证明：7.11从1，2，3，4，5，6六个数中等可能地取一个数，然后还原，不断独立地连续下去，如果在前n次中所取的最大数为，就说质点在第n步时的位置处于状态。质点的运动构成马尔可夫链，试写出其转移概率矩阵。7.12设有随机过程X(n)，n=1,2,3,；它的状态空间I：x,0x0 X(1),X(2),X(m)的联合概率密度函数为(1)求边际概率密度分布、；(2)求边际概率密度 ；(3)求转移概率密度，并问该过程是否为马尔可夫过程。7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，；(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。7.17设X(n)是一马尔可夫链，其状态空间为I：0,1,2，初始状态概率分布为一步转移概率矩阵为(1)计算概率；(2)计算7.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：0，1，2，它的一步转移概率矩阵为(1)试求，并证明；(2)求，。7.19设X(n)是一马尔可夫链，其状态空间为I：0,1，其一步转移概率矩阵为证明：7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依赖于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。如果过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况下，今日的天气与昨日相同的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。7.21设为马尔可夫链，其状态空间，转移矩阵为(1)求(2)求7.22设为马尔可夫链，其状态空间，转移概率矩阵为，求其闭集。7.23确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。其一步转移概率矩阵分别为。(1) ；(2) ；(4) ；(5) 7.24设为具有比率为的泊松记数过程，其相应的概率分布为试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。7.25设为具有比率为的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程，在过程中，每发生一事件，就变化一随机数量，对应第n次事件的随机变量为，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与间是相互独立的，这样假设每个随机变量具有相同的概率密度函数，对应的均值、均方值分别为、，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。7.26设与是两个相互独立的、比率分别为和的泊松过程(1)证明是比率为的泊松过程；(2)证明不是泊松过程7.27设在时间t内向电话总机呼唤k次的概率为，其中为常数，在任意相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在2t时间内呼唤n次的概率。7.28设、是相互独立、分别服从参数为、的泊松分布随机变量，证明随机变量服从参数为的泊松分布。7.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N服从泊松分布，即，每个电子携带的能量构成随机序列、；已知各间相互独立且与N相互独立，、；，求均值与方差。7.30给定一个随机过程的任意两个时刻和，若对于任意时刻，与统计独立，试证明为马尔可夫过程。7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为其输入端接入电流，为电子的电荷，已知泊松脉冲序列 的相关函数为，如果中频放大器输出电流的均值和方差都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数。7.32已知为泊松过程，如果，且和为非负整数，证明：7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为，逆时针退一格的概率为。设代表质点经过n次游动后所处的位置，为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为，逆时针退一格的概率为。设代表质点经过n次游动后所处的位置，为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。