2016年考研数学1真题.doc

2016年考研数学1真题一、 选择题（1） 若反常积分0+1xa(1+x)bdx收敛，则（1）。A. a1B. a1且b1C. a1D. a1且a+b1（2） 已知函数fx=2x-1,x1,lnx,x1,则f(x)的一个原函数是（2）。A. Fx=(x-1)2,x1,x(lnx-1),x1,B. Fx=(x-1)2,x1,x(lnx+1),x1,C. Fx=(x-1)2,x1,xlnx+1+1,x1,D. Fx=(x-1)2,x1,xlnx-1+1,x1,（3） 若y=(1+x2)2-1+x2，y=(1+x2)2+1+x2是微分方程y=pxy=q(x)的两个解，则qx=（3）。A. 3x(1+x2)B. -3x(1+x2)C. x1+x2D. -x1+x2（4） 已知函数f(x)x,x0,1n,1n+10，记p=PX+2，则（7）。A. p随着的增加而增加B. p随着的增加而增加C. p随着的增加而减少D. p随着的增加而减少（8） 随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为13，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（8）。A. -12B. -13C. 13D. 12二、 填空题（9） limx00xln1+tsintdt1-cosx2=（9）。（10） 向量场A(x,y,z)=*x+y+z)i+xyj+zk)的旋度rotA=（10）。（11） 设函数f(u,v)可微，z=z(x,y)由方程x+1z-y2=x2f(x-z,y)确定，则dz|0,1=（11）。（12） 设函数fx=arctanx-x1+ax2，且f0=1，则a=（12）。（13） 行列式-1000-1000-1432+1=（13）。（14） 设x1,x2,xn为来自总体N(,2)的简单随机样本，样本均值为x=9.5，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为（14）。三、 解答题（15） 已知平面区域D=(r,)|2r21+sin,-22，计算二重积分Dxdxdy。（16） 设函数y(x)满足方程y+2y+ky=0，其中0k1。（1） 证明：反常积分0+yxdx收敛；（2） 若y0=1.y0=1，求0+yxdx的值。（17） 设函数f(x,y)满足f(x,y)x=(2x+1)e2x-y，且f(0,y)=y+1，Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分It=Ltf(x,y)xdx+f(x,y)ydy，并求I(t)的最小值。（18） 设有界区域由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面，为整个表面的外侧，计算曲面积分I=x2+1dydz-2ydzdx+3zdxdy。（19） 已知函数f(x)可导，且f0=1,0fx12。设数列xn满足xn+1=fxn(n=1,2,)证明：1. 级数n=1(xn+1-xn)绝对收敛；2. limnxn存在，且0limnxn2。（20） 设矩阵A=1-1-12a1-11a,B=221a-a-1-2。当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷解？在有解时，求此方程。（21） 已知矩阵A=0-112-30000。（1） 求A99。（2） 设3阶矩阵B=1,2,3满足B2=BA。记B100=(1,2,3)，将1,2,3分别表示为1,2,3的线性组合。（22） 设二维随机变量(X,Y)在区域D=x,y|0x1,x2yY.。1. 写出(X,Y)的概率密度；2. 问U与X是否相互独立？并说明理由；3. 求Z=U+X的分布函数F(z)。（23） 设总体X的概率密度为fx,=3x23,0x,0,其他，其中(0,+)为未知参数，X1，X2，X3，为来自总体X的简单随机样本，令T=max(X1,X2,X3)。1. 求T的概率密度；2. 确定a，使得aT为的无偏估计。