条件概率与乘法公式.ppt

第四节 条件概率与乘法公式 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加信息 条件 下求事件的概率 一 条件概率 1 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率 将此概率记作P A B 一般P A B P A P A 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 A 掷出2点 B 掷出偶数点 P A B 已知事件B发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是B 于是P A B 1 3 B中共有3个元素 它们的出现是等可能的 其中只有1个在集A中 容易看到 P A B P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B P A 3 10 B 取到正品 P A B 3 7 本例中 计算P A 时 依据的前提条件是10件产品中一等品的比例 A 取到一等品 计算P A B 时 这个前提条件未变 只是加上 事件B已发生 这个新的条件 这好象给了我们一个 情报 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于我们已经知道B已发生 故B变成了新的样本空间 于是有 1 设A B是两个事件 且P B 0 则称 1 2 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下 事件A的条件概率 3 条件概率的计算 P B 0 例1 一个家庭中有两个小孩 已知其中有一个是男孩 问 另一个也是男孩的概率是多少 若已知第一胎是男孩 则第二胎也是男孩的概率 由条件概率的定义 即若P B 0 则P AB P B P A B 2 而P AB P BA 二 乘法公式 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 将A B的位置对调 有 故P A 0 则P AB P A P B A 3 若P A 0 则P BA P A P B A 2 和 3 式都称为乘法公式 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 可推广到n个事件 例如甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是乙厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 所求为P AB 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 若改为 发现它是乙厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P A B B发生 在P AB 中作为结果 在P A B 中作为条件 例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 解 设A 能活20年以上 B 能活25年以上 依题意 P A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 见书中P17例1 4 2 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 后抽比先抽的确实吃亏吗 到底谁说的对呢 让我们用概率论的知识来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 例3 设10件产品中有4件不合格品 现从中连续抽取两次 每次一件 问第二次取到合格品的概率为多少 三 全概率公式 特别 n 2时 A1和A2就是对立事件 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 则 定理1 4 2 全概率公式 例4 某车间有三台设备生产同一型号的零件 每台设备的产量分别占车间总产量的25 35 及40 如果各台设备的废品率分别为0 05 0 04及0 02 今从全车间生产的零件中任取一件 求此件是废品的概率为多少 思考 例5 在上例中 若从全车间生产的零件中任取一件 经检验是废品 问该废品来自哪台设备生产的可能性较大 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 定理1 4 3 贝叶斯公式 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 则 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件B 发生的最可能原因 经常称上述的P A1 例6某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 则表示 抽查的人不患癌症 已知P C 0 005 P 0 995 P A C 0 95 P A 0 04 求解如下 设C 抽查的人患有癌症 A 试验结果是阳性 求P C A 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 可得 代入数据计算得 P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率P C 0 005 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为P C A 0 1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为P C A 0 1066 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 例7设有三张形状完全相同但所涂颜色不同的卡片 第一张两面都是红色 第二张两面都是黑色 第三张一面红一面黑 将三张卡片放在帽子里充分混合后 随机地取一张放在地面上 若取出的卡片朝上一面呈红色 那么另一面是黑色的概率是多少 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的验前概率和验后概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 在不了解案情细节 事件B 之前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲 乙 丙 P A1 P A2 P A3 但在知道案情细节后 这个估计就有了变化 P A1 B 知道B发生后 P A2 B P A3 B