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弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的应力正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】 正的体力、面力正的体力、应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】第二章 平面问题的基本理论【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-17 图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：在小边界上，能精确满足下列应力边界条件：在小边界上，能精确满足下列位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，可求得固定端约束反力分别为：由于为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：图2-18上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有在x=l的小边界上，可应用位移边界条件这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面OA面上面力由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有(对OA中点取矩)()应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求【解答】由公式（2-6）及，得(a) (b) (c) (d) 【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为，试导出相应的相容方程。【解答】（1）将带入平衡微分方程（2-2） （a）将（a）式变换为 （b）为了满足式（b），可以取即（2）对体力、应力分量求偏导数，得 （c）将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程 （2-21）整理得： （d）即平面应力问题中的相容方程为将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为，的平面应变情况下的相容方程： （e）即 。证毕。第三章 平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】相容条件:不论系数a取何值，应力函数总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察分布情况，注意到，故y向无面力左端: 右端: 应力分布如图所示，当时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩A主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：同理可知，当h的浅梁，修正项很小，可忽略不计。【3-13】图3-14所示的悬臂梁，长度为，高度为，在上边界受均布荷载，试检验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。【解答】用半逆解法求解。（1）相容条件：将应力函数代入相容方程式（2-25），得要使满足相容方程，应使 （a）（2）求应力分量，代入式（2-24） （b）（3）考察边界条件在主要边界上，应精确到满足应力边界条件 （c） （d） （e）联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要边界上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件： 满足条件 （g） 满足将A的值带入（g），得C= （h）将各系数代入应力分量表达式（b），得【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力F和力矩M的作用（图3-15），不计体力，试用应力函数求解其应力分量。【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容条件：将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。(2) 求应力分量：将代入（2-24） （a）(3) 考察边界条件。在主要边界上，应精确满足应力边界条件 满足 （b）在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件 （c） （d） （e）联立（b）、（c）、（d）、（e）式得， （f）将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x，y坐标互换后可以计算，但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将y轴调为水平向左为正方向，才得到提示结果。可见，在求解问题时，坐标轴的方向及原点的位置与解答关系密切，坐标轴不同可得到完全不同的结果。【3-15】挡水墙的密度为，厚度为b(图3-16)，水的密度为，试求应力分量。【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在边界上，；边界上，所以可以假设在区域内为（2）推求应力函数的形式。由推求的形式（3）由相容方程求应力函数。将代入，得要使上式在任意的x处都成立，必须代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为：（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力，求得应力分量表达式（5）考察边界条件在主要边界上，应精确满足应力边界条件由上式得到求解各系数，得 (a)在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件 (b)由式(a)、(b)解出将各系数代入应力分量的表达式，得第四章 平面问题的极坐标解答 习题全解4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。【解】 参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。位移矢量为d，它在（x,y）和坐标系中的分量分别表示为u,v和，所以写成矩阵形式解4-2图所以若写成一般形式，则位移分量的变换关系为或 4-8试考察应力函数，能解决题4-8图所示弹性体的何种受力问题？【解】本题按逆解法求解。（1）相容条件把应力函数代入相容方程显然是满足的。（2）由应力函数求应力分量表达式求出边界上的面力面上，；面上，；面力分布如解4-8图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。4-9半平面体表面上受有均布水平为q， 试用应力函数求解应力分量，如题4-9图所示。【解】（1）相容条件将应为函数代入相容方程，显然满足。(2) 由求应力分量表达式(3)考察边界条件：注意本题有两个面，即，分别为面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有，得C=0；，得B=-q/2将各系数代入应力分量表达式，得4-12 楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示，试求其应力分量。【解】（1）应用应力函数，进行求解。由应力函数得应力分量（2）考察边界条件：根据对称性，得由式（a）得 由式（b）得 由式（c）得 由式（d）得 式（e）、（f）、（g）、（h）联立求解，得将以上各系数代入应力分量，得4-18 设半面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，如题4-l8图所示，试求应力分量。【解】应用半逆解法求解。（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与，M, 有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形势组合。（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。（3）将代入相容方程，得这是四阶常系数齐次微分方程，其特征方程为求解特征方程它的根是。因此，所给微分方程的通解为此处，所以。将系数修改为，有本题中结构对称于的x轴，而M是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为的奇函数，从而得A=D=O。（4）由应力函数得应力分量的表达式（5）考察边界条件。由于原点O有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的。在的边界上，有。前一式自然满足，而第二式成为2B=C。 (d)为了考虑原点O附近有集中力偶的作用，取出以0为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件。上式中前两式自然满足，而第三式成为将各系数代人应力分量的表达式，得
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