概率论与数理统计课后习题答案.doc

白淑敏 崔红卫概率论与数理统计习 题1.11试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x表示，则有，其中m为小包白糖的重量，为称量结果的误差限易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生2写出下列试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 0 ，t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解（1）=（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）；（2）=0，1，2，3，；（3）=（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则x，y应满足条件故此试验的样本空间为3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， =“点数之和为10” ，=“最小点数为4” 试分别指出事件 、 、以及 、 、 、 、 各自含有的样本点解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6) ; =(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);=(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4);4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次， 记事件（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于k” ，试用间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 解 (1) ；(2) ；(3) .5试用事件 、 、 及其运算关系式表示下列事件：（1）发生而不发生；（2）不发生但 、至少有一个发生；（3） 、 、中只有一个发生；（4） 、 、中至多有一个发生；（5） 、 、中至少有两个发生；（6） 、 、不同时发生解 (1)；(2)；(3)； (4) ； (5)； (6) 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件表示被选学生是女生，事件表示该生是大学二年级学生，事件表示该生是运动员（）叙述的意义（2）在什么条件下成立？（3）在什么条件下成立？ 解（1）该生是二年级女生，但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级7化简下列各事件：（1） ； （2）；（3） ；（4）（5） .解(1) ； (2) ；(3) ； (4) ； (5) .习题1.21已知事件 、 、的概率分别为0.4，0.3，0.6求解 由公式及题设条件得又 2设，求（1） 、 、中至少有一个发生的概率；（2） 、 、都不发生的概率。解（1）由已知，且有，所以由概率的单调性知再由概率的加法公式，得 、 、中至少有一个发生的概率为（2）因为“ 、 、都不发生”的对立事件为“ 、 、中至少有一个发生”，所以得 P（ 、 、都不发生）=1-0.625=0.375。3设 ， ， ，求) ， ， ) 解 . 由 得则 4设 、 、是三个随机事件，且有 ， ， = 0.8 ，求 解 因则又由知，于是5某城市共有 、 、三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢阅读报，34%的人喜欢阅读报，20%的人喜欢阅读报，10%的人同时喜欢阅读报和报，6%的同时人喜欢阅读报和报，4%的人同时喜欢阅读报和报，1%的人 、 、三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读报；（4）只喜欢读一种报纸.解 设 、 、分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读报 、报、报由题设知 （1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率 (3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 (4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读报的概率故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率6设，则下列说法哪些是正确的？ （1）和不相容；（2）和相容；（3）是不可能事件；（4）不一定是不可能事件（5）或；（6）。解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为，所以（6）正确.习题1.31将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率解 设“3本外文书排在一起”。10本书总的排法有10！种；3本书排成一列共有3！种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8！种排法，所以，事件含有的样本点数为，故2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解 设“能打开门”。样本空间的样本点总数是，事件含有的样本点数为，则3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5 ，末位是3 ，中间号不是0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设“试拨一次即拨对”。由题意，样本空间的样本点总数为个，而正确的号码只有一个。因此4从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同解（1）设“取到3只同色球”。任取3只球的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则（2）设“取到的球颜色各不相同”。任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出1球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率解（1）设“取到3只同色球”。 样本空间的样本点总数是，取到3只红球的样本点数是，取到3只黄球的样本点数是，取到3只白球的样本点数是，则设“取到的球颜色各不相同”。 任取3只球的样本点总数是，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则 6一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为1,2,3,4的概率是多少?解 设=文集排列为1,2,3,4或4,3,2,1的次序，而一切可能的排列总数为有利于所讨论的事件的排序项序总数为k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1两种次序排列。则所求概率为=0.08337从5双不同的的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有两只配成一双的概率.解（1）设=“4只鞋中至少有两只配成一双，因为有利于事件A的取法总数为（即先从5双中任取一双，再在其余8只中任取2只的取法共有种。是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用中扣掉），所以有8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率解 设=“前两个邮筒内没有信”。因为每封信有4种投法，所以两封信共有种投法，而所包含的样本点数为，从而9一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率解 设=“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是12个月份中的一个月份，6位同学的生日可能有种不同分布方式，而事件的样本点数为，于是，所求概率为 10某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解 设x,y分别表示两船到达某地的时刻,用A表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间 事件 显然这是一个几何概型，故 习题1.4设，问 (1) 什么条件下可以取最大值，其值是多少？（）什么条件下可以取最小值，其值是多少？解（）因为.要使最大，则需最大，当时， 可以取最大值，此时； (2) 因为 所以时，取最小值，此时 2设箱中有5个零件，其中2个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 设表示第i次取到合格品，则所求概率为3由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件）的概率为 ,刮风（记为事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为求解 由题设知 ，则4某工厂生产的产品中36 为一等品，54 为二等品，10 为三等品从中任意取出1件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 设“取出的产品为一等品”，“取出的产品为二等品”，“取出的dz品为三等品”，则故所求概率为5 一批电子元件中，甲类的占80 ，乙类的占12 ，丙类的占8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9 、0.8和0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设“任取一个元件为甲类”，“任取一个元件为乙类”，“任取一个元件为丙类”，“达到指定要求”，则有 故由全概率公式，有 6某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱 甲厂每箱装100个，废品率为0.06 ，乙厂每箱装120个，废品率是0.05 ，求：（1）任取一箱，从中任取1个为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，则任取1个为废品的概率为多少？解 （1）设“任取一箱为甲厂的产品”，“任取一箱为乙厂的产品”， “任取一个产品为废品”，则构成完备事件组，由全概率公式，有 （2）甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06，故共有甲厂产品个，其中次品个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05，故共有乙厂产品个，其中次品个；两厂产品混到一起，共有产品3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的概率是7甲袋中有3只白球4只红球，乙袋中有5只白球2只红球从甲袋中任取2球投入乙袋，再从乙袋中任取2球求最后取出的2球全是白球的概率解 设表示“第一次取到只白球”，表示“第二次取到2只均为白球”，则 是的一个分割且，即 又故由全概率公式，可得 8设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收（1）求该箱产品通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率解（1）设表示“次品个数为”，表示“该箱产品通过验收”则由题意，有 由全概率公式，得 于是该箱通过验收的概率为(2) 所求概率为习题1.51. 设，证明 、相互独立的充分必要条件是 证明 充分性因为P(AB) P(|) = 1即 故有 即相互独立必要性 因为相互独立，则有从而即 2. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4 、0.5 、0.7 ，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2 ；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6 ；若三门炮射中，飞机坠毁的概率为0.8 ；无人射中，飞机不会坠毁求飞机坠毁的概率解 设“飞机坠毁”，“门炮弹射中飞机”显然，构成完备事件组三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得 再由题意知 由全概率公式，得 3. 假设每名射手命中目标的概率都是0.3 问须多少名射手同时射击，方能以0.99以上的概率击中目标？解 设有n名射手同时射击，则目标被击中的概率为由题意，求n，使 即 可得 4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重大质量问题，商家保证免费予以更换已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率为0.005 ，试计算该商家每月销售的200台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数不超过1的概率解 根据题意，这是一个的200重的伯努利试验问题，所求概率为 5. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 ，其余的需重新调试 经重新调试的产品中有80 经检验合格，而20 会被判定为不合格产品而不能出厂现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：（1） 全部仪器都能出厂；（2） 恰有10台不合格.解 设“仪器需要重新调试”，那么“仪器能直接出厂”； 又设“仪器能出厂”，则“仪器经调试后能出厂”，且易知 .于是 考察200台仪器，相当于的200重伯努利试验，则（1）（2）.6. 某厂的产品，80 按甲工艺加工，20 按乙工艺加工， 两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9 现从该厂的产品中放回地取5件来检验，求其中最多只有一件次品的概率解 设“产品是按甲工艺加工的”，那么“产品是按乙工艺加工的”；又设“取出一件产品为次品”，则 由全概率公式，得 现从该厂的产品中放回地取5件来检验，相当于的200重伯努利试验，则所求概率为 综合练习一一 填空题1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为（ ）. 2.三事件至多发生两个可表示为（）.3.若事件互斥，则（ 0.4. ）.4. 已知两个事件满足条件且，则 ( ).5.设为二随机事件，则（ 0.6 ）.6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为（ ）.7. 已知两个随机事件满足条件，则 ( 0.4 ).8.设5产品中有2件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为（ ）.9.设某系统由元件和两个并联的元件串联而成，若损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则系统正常工作的的概率为（ 0.089. ）.10.将一只骰子连续掷3次，则至少有一次出现3点的概率为（ ） .二 选择题1.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ (d) ） .(a) 样本空间 (b) 必然事件 (c) 不可能事件 (d) 随机事件2设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（ (d) ）。(a) (b) 与 相容(c)与互不相容 (d) 3设当同时发生时，事件C必发生。，则（ (b) ）. (a) (b) (c) (d) 4设，则( (d) ). 5设为三个随机事件, 且, 则（ (a) ） 6设对于事件有,， ,则至少发生一个的概率为 ( (d) )7设为两个随机事件，且，则有（ (c) ）(a) (b) (c) (d) 8事件相互独立，且（ (b) ）。9设两个相互独立的事件都不发生的概率为, 发生B不发生的概率与发生不发生的概率相等，则 ( (c) ) 10若则（ (a) ）.三 解答题1判断关于事件的结论是否成立,为什么?解 利用事件运算的分配律，有 显然，一般不等于A,故结论不一定成立，,只有时，结论成立.2设6位同学每位都等可能地进入十间教室中任何一间自习，求下列事件的概率：（1） 某指定教室有2位同学；（2） 6位同学所在的教室各不相同；（3） 只有2位同学在同一教室；（4） 至少有2位同学在同一教室解 因为对教室中的人数没有限制，所以每位同学都有10种选择，6位同学共有种选法，即样本点总数为（1）设“某指定教室有2位同学”，则包含的样本点数为，故 （2）设“6位同学所在的教室各不相同”， 则包含的样本点数为，故 （3）设“只有2位同学在同一教室”，则包含的样本点数为，故（4）设“至少有2位同学在同一教室”，则“6个同学均在不同的教室”，故3（1）从7副同型号的手套中任意取出4只，求恰有一双配套的概率；（2）若是7副不同型号的手套，上述事件的概率为何？解（1）设=“从7副同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”，则样本空间的样本点总数为 ，事件包含的样本点数为，于是（2）设“ 从7副不同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”， 则样本空间的样本点总数为，事件包含的样本点数为，于是 4甲、乙、丙三个车间生产同种产品，次品率分别为0.05 、0.08 、0.1 从三个车间各取1件产品检查，求下列事件的概率：（1） 恰有2件次品； （2） 至少有1件次品解设 =“从甲车间取出的是次品”，“从乙车间取出的是次品”，“从丙厂取出的是次品”. （1）设 D=“恰有2件次品”，则 ，于是（2）设“至少有1件次品”，则 5 在0，1区间内任取两个数，求两数乘积小于的概率。解 设任取得两个数为x，y，用A表示两数的乘积小于这一事件，样本空间 事件 显然利用几何概型的计算公式有， 6甲、乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5 ，问谁先投中的概率较大，为多少？解 设表示“甲第次投中”，表示“乙第次投中”事件“甲先投中”可表示为 则甲先投中的概率为 即甲先投中的概率较大，概率为0.57。7某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。（2）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 解 （1）设“被保险的人一年出事故”，“被保险的人是谨慎的”，“被保险的人是一般的，“被保险的人是冒失的”显然，构成完备事件组三类人一年内是否出事故，相互独立， (2) 8设某车间共有5台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均每小时约有6分钟使用电力。假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻，（1）至少有三台车床被使用的概率（2）至多有有三台车床被使用的概率（3）至少有一台车床被使用的概率。解 设A表示” 车床被使用 ” 即使用电力事件.有 9某种疾病在牲畜中传染的概率为0.25.设对20头牲畜注射某种血清后，其中仍有一头受到感染，试问这种血清是否有效？ 解 若这种血清无效,则因每头牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染两种结果,且牲畜间是相互独立的,故此试验相当于20重贝努利试验,n=20,p=0.25,故知20头牲畜中出现至多一头受感染的概率为 因为这个概率很小，一般在一次试验中不易发生，故根据小概率推断原理，知此种血清是有效的。10某自动化机器发生故障的概率为0.2.如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每8台机器配备一个维修工人。试求： (1) 维修工人无故障可修的概率； （2）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障待修的概率。如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出来故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于3%。解 （1）由已知条件知，每台机器发生故障是相互独立的，故维修工人无故障可修的事件，即为8台机器均不发生故障的事件，故所求概率为（2）因为工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出了故障待修的事件的逆事件为8台机器中至多有一台发生故障，故所求机器待修的概率为又按四台机器配备维修工人时，若配备一个工人，则当机器发生故障，又不能及时维修（发生故障的机器多于1台）的概率为若四台机器配备2人时，则当机器发生故障又不能及时维修的概率为故四台机器至少应配备2个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于3%。11*巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少（r=1,2,3，N）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又是多少？解 设选取甲盒火柴为“成功”，选取一盒火柴为“失败“，于是相继选取甲盒”成功“与”失败“的概率均为12，且为独立试验序列（1）当在某一时刻首次发现甲盒中无火柴，意味着取到甲盒N+1次，取到乙盒N-r次。且最后一次取到甲盒，前N+N-r=2N- r次中恰有N次取到甲盒，故其概率为再由对称性可知，他首次发现乙盒中无火柴而甲盒中恰剩r根事件的概率亦为故所求概率为（2）同理，第 一次用完一盒火柴（不是发现空）而另一盒恰有r根事件的概率为事实上，第一次用完一盒火柴（不是发现空）而另一盒恰有r根意味着取到甲盒N次，取到乙盒N-r，且最后 一次取到甲盒，前N-1+N-r=2N- r-1次中恰有N-1次取到甲。习 题2.11 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例 解 用表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，；用表示某人掷一枚骰子出现的点数，的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例 解 用表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），的全部可能取值为区间 （0，+） （0，+）3 设随机变量的分布函数为= 确定常数的值，计算. 解 由可得.4试讨论：、取何值时函数 是分布函数解 由分布函数的性质，有，可得 于是习 题2.21设10个零件中有3个不合格 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数的概率分布解 由题意知，的取值可以是0,1,2,3.而取各个值的概率为 因此的概率分布为2从分别标有号码1 ，2 ， ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布解 设X为余下的卡片的最大号码 ，则X的可能取值为5、6、7，且即所求分布为 3某人有n把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布解 设此人将门打开所需的试开次数为，则的取值为，事件，且， ， 故所需试开次数的分布为4随机变量只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求的概率分布解 设，则由题意有 解之得 设三个概率的公差为，则，即的概率分布为，5设随机变量的全部可能取值为1 ，2 ， ，n ，且 与成正比，求的概率分布解 由题意，得其中是大于0的待定系数由，有 即，解之得. 把代入，可得到的概率分布为6一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布解 设汽车未遇红灯通过的路口数为，则的可能值为0，1，2，3以表示事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”，则相互独立，且 对，有所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为 7将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止求掷骰子次数的概率分布解 设掷骰子次数为，则可能取值为1，2，3，4，且；所以掷骰子次数的概率分布为8设的概率分布为01230.20.30.10.4试求（1）的分布函数并作出其图形；（2） 计算 ， ， 解（1）由公式，得（2） 9设随机变量的分布函数为试求（1） 求的概率分布；（2） 计算 ， ， ，解(1)对于离散型随机变量，有，因此，随机变量的概率分布为 (2) 由分布函数计算概率，得； ； 10已知随机变量服从01分布，并且=0.2，求的概率分布 解 只取0与1两个值，=0.2, 11已知= ，n=1,2,3,求的值 解 因为 有 解此方程，得.12商店里有5名售货员独立地售货已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率 解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为, 设在同一时刻需用台秤的人数为, 则, 所以 (2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为 13保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人3种方案中得胜人数多的一方为胜利问：对甲队来说，哪种方案有利？ 解 设以上三种方案中第i种方案甲队得胜人数为则上述3种方案中，甲队胜利的概率为 （1）（2）（3）因此第一种方案对甲队最为有利这和我们的直觉是一致的。 14有某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 解 设该商店每月销售这种商品数为X，月底进货为a件，则为了时不脱销，故有 由于上式即为查表可知 于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件（假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月不会脱销。15一本300页的书中共有240个印刷错误若每个印刷错误等可能地出现在任意1页中，求此书首页有印刷错误的概率解 根据题意，可将问题看作是一个240重伯努利试验，每一个错误以概率出现在指定的一页上，以概率不出现在这一页上以表示出现在首页上的错误数，则，而所求概率为16设某高速公路上每天发生交通事故的次数服从参数为 = 2的泊松分布已知今天上午该公路上发生了一起交通事故，求今天该公路上至少发生三起交通事故的概率解 设每天发生交通事故的次数为，由题知服从参数为的泊松分布，即已知今天上午该公路上发生了一起交通事故，则今天至少发生一次交通事故，其概率为该公路上每天至少发生三起交通事故的概率为 所以所求概率为17某传呼台有客户3000已知每个客户在任意时刻打传呼的概率为千分之二，问传呼台至少应安排多少名传呼员才能以不低于0.9的概率保证客户打入电话时立刻有人接？解 设在任意时刻打传呼的客户数为，由题意可知，又设安排名传呼员，则由题意有由泊松定理，近似服从的泊松分布，即 查的泊松分布表，可得18某公司采购人员在购买一种电脑用芯片时被告知：此种芯片的合格率为0.98 ，为了以不低于0.95的概率保证至少买到80只合格的芯片，该采购员应购买多少只芯片？解 设该采购员应购买只芯片，则其中的不合格芯片数为，由题意可知，且由泊松定理近似服从参数为的泊松分布，其中（这里n显然不会太大）. 于是有查表得，所以该采购员应购买84只芯片习题2.31已知函数其 , 问是否为密度函数，为什么？解 显然又 所以是密度函数.2 设随机变量 试确定常数的值，如果 =0.5,求的值解 解方程 得 解关于b的方程： 得 3某种电子元件的寿命是随机变量，概率密度为 3个这种元件串联在一个线路中计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率解 由已条件知，串联线路正常工作当且仅当3个元件都能正常工作。而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则故4设随机变量的密度为试求（1） 常数；（2）的分布函数解 (1) 由密度函数的性质，有 (2)由，有 于是，X的分布函数为.5已知连续随机变量的密度为（1） 求的分布函数；（2） 计算 , 解 (1)由分布函数的定义，有 6设连续型随机变量的分布函数为试确定、并求 解因X为连续型随机变量，故其分布函数在上连续，从而解得 于是 习题2.41设随机变量在2，5上服从均匀分布现对进行3次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率解 因为随机变量X服从均匀分布，故其密度函数为 易得 设A表示“对进行3次独立观测，至少有两次的观测值大于3的”事件，则2设随机变量服从 0 ，5 上的均匀分布，求关于x的二次方程 = 0有实数根的概率解 的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 即 解得或由假设，在区间上服从均匀分布，其概率密度为 故所求概率为 3设 ，求：（1） 的分布函数；（2） ；（3） 常数 ，使= 解 由题知，即的概率密度为 （1）由定义 当时， 当时， 所以，的分布函数为 (2) (3) 由题知，则4某种电脑显示器的使用寿命（单位：千小时）服从参数为 的指数分布生产厂家承诺：购买者使用1年内显示器损坏将免费予以更换（1） 假设用户一般每年使用电脑2000小时，求厂家须免费为其更换显示器的概率；（2） 显示器至少可以使用10000小时的概率为何？（3） 已知某台显示器已经使用10000小时，求其至少还能再用10000小时的概率解因为服从参数为的指数分布，所以的密度函数为 (1) (2) (3) 5设 ，求：（1） ， ， ；（2） 常数 ，使= 0.8944 解(1) 因为故有 (2)由 得即 于是 6某种电池的使用寿命（单位：小时）是一个随机变量， （1） 求其寿命在250小时以上的概率；（2） 求一允许限x ，使落入区间（300 x ，300 x）内的概率不小于0.9 解(1) 由，可得 (2) 由题意，知 即 查表得则，即7某高校一年级学生的数学成绩X近似地服从正态分布 ，其中90分以上的占学生总数的4 求：（1） 数学不及格的学生的百分比；（2） 数学成绩在65 80分之间的学生的百分比解 先求方差. 因为90分以上的占学生总数的4%, 所以有 即 从而 查表可知，则于是.(1) 数学不及格的学生的百分比为(2) 数学成绩在分之间的学生的百分比为习题2.51设的分布列为2101求及的概率分布解 将函数值相同的概率相加，得随机变量的概率分布为 随机变量的概率分布为 2设 ，求 的概率密度解因为，所以的密度函数为由于函数单增且其反函数故Y = 的概率密度函数为3设 = ，求的密度解 函数单增且其反函数，故Y = ln X的密度函数为4设服从 的指数分布，证明 在区间 0 ，1 上服从均匀分布证 由定义知，的分布函数为 当时，当时，当时， 由服从的指数分布，故因而所以随机变量的分布函数为 即证得在区间上服从均匀分布5随机变量服从0, 上的均匀分布，, 求的概率密度.解 由于在上单调，于是在上， 又随机变量服从0, 上的均匀分布，因此综合练习二一、 填空题1.设随机变量的概率分布为， 则（ 6 ）. 2. 一批零件的次品率为0.01, 连取三次, 每次一件(有放回), 则取到的次品次数服从的概率分布为（ ）.3. 设随机变量XB(2, p), YB(3, p), 若P(X 1) =, 则P(Y 1) = ( ). 4.设，且，则（ ）.5.设随机变量的密度函数为，则（ 100 ）.6.设随机变量的分布函数为，则（ ）.7.设随机变量的分布列为 ， 则的分布函数为（ ）.8.已知随机变量的密度函数为，则（ ）.9.设连续随机变量的密度函数为，则的密度函数为（ ）.10.设，则（ ）二 、选择题1下列函数为某随机变量密度函数的是( ) (a) (b) (c) (d ) 2设随机变量的密度函数为且，是的分布函数，则对任意实数，有（ ）3设与分别为随机变量与的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ （a） ） (a) (b) (c) (d) 4设是连续型随机变量的分布函数，则（ (d) ）5 设随机变量X的概率密度函数为，则的分布函数为（ (c) ）6设一个零件的使用寿命X的密度函数为，则三个这样的零件中恰好有一个的使用寿命超过1000的概率为（ (b) ） .7设随机变量，其概率密度函数为，分布函数是，则正确的结论是（ (b) ）8下列函数中不是正态密度函数的为（ (b) ）9设随机变量的密度函数为, 则的密度函数为（ (c) ）(a) (b) (c) (d) 10若随机变量服从均匀分布，则的密度函数为（ (d) ） 三、解答题1如果, n=1,2.,问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么？解 因为由于级数收敛，若记，只要取则有且所以它可以成为离散型随机变量的分布。2一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布（不计其他因素停车）解 X可以取0，1，2，3，4. , 3一盒中有6个球，在这6个球上标注的数字分别为-3，-3,1,1,1,2，现从盒中任取一球，试取得的球上标注的数字的分布律及分布函数解 的全部可能取值为-3,1,2.则分布律为-3 1 2 故的分布函数为4据调查有同龄段的学生，他们完成一道作业的时间是一个随机变量，单位为小时它的密度函数为（1）确定常数；（2）写出的分布函数；（3）试求出在20分钟内完成一道作业的概率；（4）试求10分钟以上完成一道作业的概率解 (1) 由密度函数的性质，有 由，有 （2）X的分布函数为（3） P 20分钟内完成一道作业的= (4) P10分钟以上完成一道作业=5. 某工厂为了保证设备正常工作，需要配备一些维修工如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01，试在以下各种情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率（1）一名维修工负责20台设备（2）3名维修工负责90台设备（3）10名维修工负责500台设备 解 (1) 由题意,用X表示20台设备中同时发生故障的台数，则用参数的泊松分布作近似计算，得所求概率为 (2) 用Y表示90台设备中同时发生故障的台数，则用参数的泊松分布作近似计算，得所求概率为由这一结论说明，在这种情况下不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率显然高于（1）中，是（1）中的1.5倍。（3）用Z表示500台设备中同时发生故障的台数，则用参数的泊松分布作近似计算，得所求概率为 由这一结论说明，在这种情况下所求概率比与（2）中基本一致，而且10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率显然高于（2）中，是（2）中的1.67倍，是（1）中的2.5倍。6某汽车站为职工上班方便每日特地安排了两趟定员均为30人的早班车，分别于7：20和7：30准时开车已知汽车站周边每日有50名职工要赶这两班车上班，每名职工都独自赶往车站，且每人到达车站的时刻均匀分布于7：15 7：30之间试求：（1） 任何1名职工在7：15 7：20之间到达车站的概率；（2） 有职工在7：15 7：20之间到达车站但却须乘第二班车上班的概率 （只给出表达式，不必计算） 解(1) 因为每人到达车站的时刻均匀分布于7:157:30之间，所以任意一名职工在7:157:20之间到达车站的概率为 (2) 设在7:157:20之间到达车站的乘客人数为，根据题意，而所求概率为7 随机变量随机变量，若，计算的值，求 解 因，所以，查表得 解之得 查表得 0.32288某单位招聘员工，共有10000人报考。假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人。现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？解 用随机变量X表示考试成绩，则则有 ，整理后得解方程组得 设录用者中最低分数为a，则有，即，查表得a=78.7可见，被录用者中最低分为78.7。9设随机变量 ，求的密度函数解 因为， 所以的分布函数从而的密度函数为 10设,求的密度.解 由于在上满足，故时， 当时 所以当时，综上所述得于是Y = sin X 的密度函数为习题 3.11. 试给出二维随机变量的实例解 .参考教材2. 已知二维随机变量的联合分布函数为 （1）求关于和的边缘分布函数和 （2）求 解（1）关于的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为注意到所以 = 3二元函数 是否是某个二维随机变量的联合分布函数？说明理由 解 若二元函数为某二维随机变量的联合分布函数，则必须满足二维分布函数的所有性质。但若取 ，便可得到所以不是任何二维随机变量的联合分布函数 习题3.21盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数求的联合概率分布解 设和的可能取值分别为，则.因盒子里有3种球，在这3种球中任取4只，其中黑球和红球的个数之和 另一方面，因为白球只有2个，则在取的4只球中， 故 当时当或时于是有 012000102302将一颗骰子连掷两次，令为第一次掷出的点数，为两次掷出的最大点数，求的联合分布和边缘分布解 设第二次掷出的点数为，则的可能取值都为1，2，3，4，5，6，且有 依次可求得 , ， 即有 1 2 3 4 5 6 1 2 0 3 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0