线性代数模拟题.doc

线性代数模拟题A一单选题. 1.下列（ A ）是4级偶排列（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 23412. 如果，那么（ B ）（A） 8； (B) ； (C) 24； (D) 3. 设与均为矩阵，满足，则必有（ C ）（A）或； （B）；（C）或； （D）4. 设为阶方阵，而是的伴随矩阵，又为常数，且，则必有等于（ B ）（A）； （B）； （C）； （D）5.向量组线性相关的充要条件是（ C ）（A）中有一零向量(B) 中任意两个向量的分量成比例(C) 中有一个向量是其余向量的线性组合(D) 中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（ B ）(A) ; (B) (C) ; (D) 7. 2是A的特征值，则（A2/3）1的一个特征值是（ B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=( B )(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若是（ A ），则必有（A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵10. 若为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确 （A）； (B) ； (C) ； (D) 二计算题或证明题1. 设矩阵 (1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P1AP为对角矩阵？(2)求出P及相应的对角矩阵。参考答案：2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/是A*的一个特征值。参考答案：3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案：. 当时有唯一解： 当时，有无穷多解： 当时，无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示参考答案：极大无关组为：，且，5. 若是对称矩阵，是反对称矩阵，试证：是对称矩阵参考答案：线性代数模拟题B一单选题. 1. 若是五阶行列式的一项，则、的值及该项符号为（ A ）（A），符号为负； (B) ，符号为正； (C) ，符号为负； (D) ，符号为正2. 下列行列式（ A ）的值必为零(A) 阶行列式中，零元素个数多于个；(B) 阶行列式中，零元素个数小于个；(C) 阶行列式中，零元素个数多于个； (D) 阶行列式中，零元素的个数小于个3. 设，均为阶方阵，若，则必有（ D ）（A）； (B)； (C)； (D)4. 设与均为矩阵，则必有（ C ）（A）；（B）；（C）；（D）5. 如果向量可由向量组线性表出，则（ D ）(A) 存在一组不全为零的数，使等式成立(B) 存在一组全为零的数，使等式成立(C) 对的线性表示式不唯一(D) 向量组线性相关6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ C ）(A)系数矩阵的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n阶矩阵A的一个特征值为，则(A1)2I必有特征值（ C ）(a)2+1 (b)2-1 (c)2 (d)-28. 已知与对角矩阵相似，则（ A ） (a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设，均为阶方阵，下面（ D ）不是运算律（A） ； （B）；（C）； （D）10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵(A)；（B）；（C）；（D）二计算题或证明题（1. 已知矩阵A，求A10。其中参考答案：2. 设A为可逆矩阵，是它的一个特征值，证明：0且-1是A-1的一个特征值。参考答案： 3. 当取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案： 当时有唯一解： 当时，有无穷多解： 当时，无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示参考答案： 极大无关组为：，且5. 若是对称矩阵，是正交矩阵，证明是对称矩阵参考答案： 线性代数模拟题C一单选题. 1. 设五阶行列式，依下列次序对进行变换后，其结果是（ C ）交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素（A）； (B)； (C)； (D)2. 如果方程组有非零解，则（ D ） （A）或；（B）或；（C）或；（D）或3. 设，为同阶矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（ A ）（A） ； (B) ； (C) ； (D) 4. 设，为同阶矩阵，且可逆，下式（ A ）必成立（A）若，则； (B) 若，则； (C) 若，则； (D) 若，则5. 若向量组的秩为，则（ D ）（A）必定rs(B)向量组中任意小于个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意个向量线性无关(D)向量组中任意个向量必定线性相关6. 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .7. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（ B ） (a)I-AI-B (b)A与B有相同的特征值和特征向量 (c)A与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A与kI-B相似（k是常数）8. 当（ C ）时，A为正交矩阵，其中 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量组线性无关，则向量组（ C ）(A) 线性无关;(B) 线性无关;(C) 线性无关;(D) 线性无关.10. 当（ B ）时，有（A）；（B）；（C）；（D）二计算题或证明题1. 设AB,试证明(1)AmBm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A1B1参考答案： 2. 如n阶矩阵A满足A2=A，证明：A的特征值只能为0或-1。参考答案： 3. 当、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解 参考答案： 当a=0, b = 2时有解4. 判断向量能否被线性表出，若能写出它的一种表示法，参考答案： 不能被线性表示。5. 若方阵可逆，则的伴随矩阵也可逆，并求出的逆矩阵参考答案：证明，离散数学试卷 （参考答案）一、 选择题1、设，下列选项正确的是：（3）（1） （2） （3） （4）2、对任意集合，下述论断正确的是：（1）（1）若，则 （2）若，则（3）若，则 （4）若，则3、假设上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（1）（2）（3）（4）4、非空集合上的空关系不具备下列哪个性质：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性5、假设，令：，则不同的函数个数为：（2）（1）2+3个 （2）个 （3）个 （4）个6、假设，下列哪个关系是到的函数：（3）（1）（2）（3）（4）7、一个无向简单图有条边，个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1） （2） （3） （4）8、一个图是欧拉图是指：（1）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。9、下面哪一种图不一定是树：（3）（1）无回路的连通图 （2）有个顶点条边的连通图（3）每一对顶点之间都有通路 （4）连通但删去一条边则不连通的图.10、完全叉树中有片叶，个分支点，则有它们之间的关系表达式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空题1、假设， （1）1，2，3，5；（2）1，3，5，7，11，13，17，19；（3）7，11，13，19；（4）；2、假设上的关系，则：（1）,；（2）,；（3）；3、设无向图有12条边，有3个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则中至少有 11 个顶点。4、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则有9片叶。5、假设：我有时间，：我去图书馆。（1）命题“如果我有时间，我就去图书馆”符号化为 ；三、假设、是任意两个集合，证明：。证明：对 则 或者 由幂集定义可知：或者 所以 因此 故 四、假设是自然数集合，定义上的二元关系。证明：是一个等价关系，并求出关系所确定的等价类。证明：（1）对，则是偶数，所以是自反的； 对，假设，则是偶数，而也是偶数 所以，故是对称的； 对，假设， 则有，是偶数； 若是偶数，由于是偶数，所以也是偶数，则是偶数 若是奇数，由于是偶数，所以是奇数，又因为是偶数，所以是奇数，因此是偶数所以 是传递的。综上 是等价关系。（2）当是偶数时， 当是奇数时，五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）（2）（3）解：（1）没有最大元和最小元；极大元是24,36。 （2）最大元和极大元是45，最小元和极小元是1。 （3）最大元和极大元时16，最小元和极小元是2。 六、令V = a, b, c, d, e, E = aa, ab, ab, ba, cd, ca, dd, de，A = , , , 做出图G = 和D = 的图示。解：离散数学模拟卷2参考答案一、选择题1、请指出下列选项中哪一个是错误的：（2）（1） （2） （3） （4）2、对任意集合，下述论断正确的是：（1）（1）若，则 （2）若，则（3）若，则 （4）若，则3、假设上的关系，那么，是：（4）（1）反自反的 （2）反对称的 （3） 可传递的 （4）不可传递的4、非空集合上的空关系不具备下列哪个性质：（1）（1）自反性 （2）反自反性 （3） 对称性 （4）传递性5、若是满射函数，则复合函数必是：（3）（1）双射函数 （2）单射函数 （3）满射函数 （4）不单射也不满射6、假设，下列哪个关系是到的函数：（3）（1）（2）（3）（4）7、一个无向简单图有条边，个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1） （2） （3） （4）8、一个图是哈密顿图是指：（3）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。9、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度的顶点数为：（2）（1）5 （2）7 （3）8 （4）910、完全叉树中有片叶，个分支点，则有关系式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空题1、假设，试求出： 的幂集,a,b,c,a,b,c；2、假设， （1）7,9,11,13,15,17,19；（2）；3、假设上的关系，则：（1）,；（2）,；（3）；4、假设，是到的函数，其中：（a）；（b），；（c），；则：（1）g 是满射；（2）g 是双射；5、设无向图有36条边，有6个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则中至少有33个顶点。6、假设：今天天气好，：我就去锻炼身体。（1）命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体”符号化为 PQ ；三、假设、是任意两个集合，证明：。证明：对，则且 所以 并且 由交集的定义，则 所以 因此 反之，假设 则 所以 并且 所以 且 由交集定义，则 故 综上 四、证明定义在实数集合上的关系是一个等价关系。证明：对，则是整数，所以是自反的； 对，并且设，则是整数 而也是整数，所以，是对称的； 对，并且设， 则 ，是整数； 而 也是整数 所以 因此 是传递的 综上，是等价关系。五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）（2）（3）解：（1）无最大元，极大元为：24，36；无最小元，极小元为：2，3； （2）最大元和极大元为：30；最小元和极小元为：1 （3）无最大元，极大元为：6，9；最小元和极小元为：1 六、设无向图G中有9个顶点，每个顶点的度数不是5就是6，试证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。解：假设图G中最多有4个6度顶点，并且最多有有5个5度顶点 则度为奇数的顶点只能为偶数个，所以5度顶点应该为4个，而6度顶点最多也为4个，所以与命题条件有9个顶点产生矛盾；因此G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。离散数学模拟3参考答案一、选择题1、假设，下列选项错误的是：（2）（1） （2） （3） （4）2、对任意集合，下述论断正确的是：（1）（1）若，则 （2）若，则（3）若，则 （4）若，则3、假设上的关系如下，具有传递性的关系是：（4）（1）（2）（3）（4）4、假设和是集合上的任意关系，则下列命题为真的是：（1）（1）若和是自反的，则也是自反的；（2）若和是反自反的，则也是反自反的；（3）若和是对称的，则也是对称的；（4）若和是传递的，则也是传递的。5、若是满射函数，则复合函数必是：（3）（1）双射函数 （2）单射函数 （3）满射函数 （4）不单射也不满射6、假设，令：，则不同的函数个数为：（2）（1）2+3个 （2）个 （3）个 4）个7、一个无向简单图有条边，个顶点，则图中顶点的总度数为：（3）（1） （2） （3） （4）8、一个图是半欧拉图是指：（2）（1）图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次；（2）图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次；（3）图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次；（4）图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。9、下面哪一种图不一定是树：（3）（1）无回路的连通图 （2）有个顶点条边的连通图（3）每一对顶点之间都有通路 （4）连通但删去一条边则不连通的图.10、完全叉树中有片叶，个分支点，则它们之间的关系表达式是：（2）（1） （2） （3） （4）二、填空题1、假设， （1）5，7；（2）5；2、假设上的关系，则：（1）；（2）；（3）；3、假设，是到的函数，其中：（a）；（b）；（c）。则：（1）_g_是满射；（2）_g_是双射；4、设无向图有24条边，有4个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则中至少有22个顶点。5、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则有 7 片叶。6、假设：我有时间，：我去体育馆。（1）命题“如果我有时间，我就去体育馆”符号化为 ；三、假设、是非空集合，并且。证明：。 证明：对任意的，有，所以 因为，所以 所以 ，因此 故 同理可证 综上 。四、假设R,S是集合A上的等价关系，证明RS也是集合A上的等价关系。证明：对任意的，因为R,S是集合A上的等价关系，所以是自反、对称、传递的。 故有 ，所以，是自反的； 对任意的，并且假设，有 所以 ，因此，是对称的； 对任意的，并且假设，有，并且所以有 因此，是传递的。综上是集合A上的等价关系。五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集，画出Hasse图，并写出最大元，最小元，极大元，极小元。（1）（2）（3）解：（1）无最大元，有极大元是24、36，无最小元，有极小元2，3；（2）无最大元，有极大元30，42，70，有最小元和极小元2；（3）有最大元和极大元18，有最小元和极小元3六、假设图是个顶点条边的简单无向图，则。 证明：若图是连通图，由于图是简单图，所以边数不会超过完全图的边数， 因此 ； 若图是非连通图，则至少存在两个连通分支和 假设和的顶点数和边数分别为，和 则有 和 而 命题得证。