现代控制理论习题解答(第五章).doc

第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在上。题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：系统能控，可以设计状态反馈阵。设状态反馈阵为状态反馈控制规律为：求希望特征多项式：求加入反馈后的系统特征多项式：依据极点配置的定义求反馈矩阵：方法二：方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：求系统希望特征多项式：求状态反馈矩阵：3-5-2 已知系统的传递函数为试设计一个状态反馈矩阵，使闭环系统的极点在-2，。【解】：依据系统传递函数写出能控标准型求系统希望特征多项式：求状态反馈矩阵：。3-5-3 已知系统的传递函数为，试问是否可以通过状态反馈，将传递函数变为和，若有可能，分别求出状态反馈阵K，并画出结构图。【解】：系统传递函数无零极点对消，所以系统既能控又能观。可以通过状态反馈进行极点的任意配置。另有状态反馈不改变系统的零点。(1)由闭环传递函数得希望极点为-2，-2，-3。受控对象传递函数：受控对象状态空间表达式的能控标准型：希望特征多项式为：状态反馈矩阵：。结构图如图题3-5-3图1所示：题3-5-3图1（2）由闭传递函数得希望极点为-1，1，-3。希望特征多项式为：状态反馈矩阵：。结构图如图题3-5-3图2所示： 题3-5-3图23-5-4 已知系统状态空间表达式为，试判断系统的能控性和能观性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反馈是否可以使闭环系统稳定。【解】：判系统的能控性和能观性：系统不能控不能观。按能控性进行结构分解：取分解后的状态空间表达式为：因为不能控分量对应的特征值为-1，因此对系统的稳定性无影响，所以可以通过状态反馈的方法，对能控子空间进行极点的任意配置（左半平面），从而使系统稳定。3-5-5 已知系统的传递函数为，设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点配置在-2，-2，和-1处，并说明所得的闭环系统是否能观。【解】：被控对象状态空间表达式的能控标准型：因为系统的传递函数可写成：所以能控标准型为：闭环后的希望特征多项式为：状态反馈系数阵：。闭环传递函数为：系统闭环传递函数出现零极点对消现象，又有原受控对象本身能控，且状态反馈不改变系统的能控性，所以该闭环系统不能观。3-5-6 已知系统状态方程为，试判断系统是否可以通过状态反馈分别配置以下两组特征值：（1）-2，-2，-1；（2）-2，-2，-3。若能配置，求出反馈阵。【解】：判系统的能控性：系统不能控.按能控性分解：取不能控子空间的特征值为-1。（1）对能控子空间进行极点配置，极点位置在-2，-2：所以原系统的状态反馈阵为：（2）因为状态反馈不能改变不能控部分的极点，而不能控部分的极点为-1，所以不能通过状态反馈将极点配置在-2，-2，-3。3-5-7 已知系统状态空间表达式为，试设计一个状态观测器，使状态观测器的极点为-r，-2r，(r0)。【解】：方法一：判能观性。系统能观，可以构造状态观测器。确定观测器的希望特征多项式：确定观测矩阵，观测器的特征多项式为：方法二：方法三：被控对象特征多项式：确定观测器的希望特征多项式：对应于能观标准型的观测器矩阵：对应于原系统的观测器矩阵：3-5-8已知系统的状态空间表达式为（1）设计一个全维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4，-5处。（2）设计一个降维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4处。（3）画出其结构图。【解】：（1）方法一：确定能观性：系统能观，可设计观测器。求希望特征多项式：求观测器特征多项式：计算观测器系数矩阵：令得方法二：结构图如图题3-5-8图1所示：题3-5-8图1(2)确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则n-m= 2。分解输出系数矩阵c，获得线性变换矩阵T，对原状态空间表达式进行线性变换，使各输出变量y变成各状态变量的单值函数：计算线性变换后降维观测器的反馈矩阵（一个输出两个状态）求降维状态观测器的状态方程（状态变量z）求降维状态观测器的输出方程（系统针对于线性变换后的状态信号）求对应于原系统的降维状态观测器的状态信号：绘制模拟结构图依据受控对象，降维观测器的状态方程，以及原系统的降维观测器的输出方程:结构图如图题3-5-8图2所示：题3-5-8图23-5-9已知系统的传递函数为，(1)确定一个状态反馈矩阵，使闭环系统的极点为-3和；(2)确定一个全维状态观测器，并使观测器的极点全部为-5；(3)确定一个降维状态观测器，并使观测器的极点在-5处；(4)分别画出闭环系统的结构图。(5)求出闭环传递函数。【解】：(1)系统的传递函数可写成：能控标准型为：希望特征多项式：反馈矩阵：（2）确定能观性：系统能观。求观测器的希望特征多项式：求观测器特征多项式：计算观测器系数矩阵：令得（3）m=1，n=3，则n-m= 2。，则输出本身为状态变量的单值函数，无须进行线性变换。对受控对象状态空间表达式直接分块求状态观测器的反馈矩阵（一个输出两个状态）降维观测器的状态方程z降维观测器的输出方程（5）闭环传递函数为：（4）题（2）的结构图如图题3-5-9图1所示：题（3）的结构图如图题3-5-9图2所示：题3-5-9图1题3-5-9图23-5-10 设系统的状态空间表达式为，现引入状态反馈构成闭环系统，为x的估值。(1)写出该系统状态变量的全维渐近观测器的状态方程；(2)写出带状态反馈全维观测器的闭环系统的状态方程，并画出包括状态反馈及全维观测器的闭环系统的结构图。【解】：（1）（2）闭环系统结构图如图题3-5-10图所示：题3-5-10图3-5-11 已知系统的状态空间表达式为，(1)画出系统结构图；(2)求系统传递函数；(3)判定系统的能控性和能观性(4)求系统的状态转移矩阵；(5)当时，系统的输出；(6)设计全维状态观测器，将观测器的极点配置在处；(7)在（6）的基础上，设计状态反馈矩阵，使系统的闭环极点配置在处。(8)画出系统总体结构图。【解】：(1)系统结构图如图题3-5-11图1所示：题3-5-11图1(2)(3)传递函数无零极点对消，则既能控又能观。或：系统既能控又能观。(4)(5)（6）观测器的希望特征多项式：观测器矩阵为，观测器的特征多项式：（7）希望特征多项式：状态反馈后的特征多项式：（8）全维观测器的状态空间表达式为：系统总体结构图如图题3-5-11图2所示：题3-5-11图2