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第四章1.试求边长为（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长（包括外推距离）的长方体裸堆， 。（1）求达到临界时所必须的；（2）如果功率为，求中子通量密度分布。 解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为： 边界条件： （以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法： 将方程化为： 设： 想考虑X方向，利用通解： 代入边界条件： 同理可得： 其中是待定常数。 其几何曲率：（1）应用修正单群理论，临界条件变为：其中：（2）只须求出通量表达式中的常系数 2.设一重水铀反应堆的堆芯。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。 解：对于单群理论： 在临界条件下： （或用） 对于单群修正理论： 在临界条件下： （注意：这时能用，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。）4. 设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k=1.19，L2=6.610-4米2，=0.5010-2米2。（a）试求该装置的有效增殖系数k；（b）当该装置恰好达临界时，水位高度H等于多少？（c）设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为r=0.07米，H=0.1米。试求反应堆的初始反应性以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。5.一个球壳形反应堆，内半径为,外半径为，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为： 解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程： 边界条件：i. ii. （如果不包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内方程通解： 由条件i可得： 由条件ii可得： 由此可见，证毕。7.一由纯金属组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：。 解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为R处： 方程1 方程2 边界条件：i. ii. iii. iv. 令（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程1通解： 由条件i可知，所以： 球域内方程2通解： 由条件iv可知,所以： 由条件ii可得： 由条件iii可得： 所以（由题目已知参数） 即： 代入数据：8.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率 其中：是的第一个零点，即。 证明：（1）书上图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲率与材料曲率相等）： 边界条件（不考虑外推距离）：i. II. III. (注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理： 如果都是区间上的连续函数，则对于任一及任意的方程： 存在唯一解 定义于区间上，且满足初值条件 而此扩散方程并非线性微分方程。） 对于表达式： 不难证明其满足上述全部三个边界条件。（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件： 可推得： 所以： 所以：再有：所以方程为：可知该表达式为方程的解。证毕。 （也可如此推出解的形式：分离变量： 方程变形： 设：（为任意实数），； 变量替换： 此为阶方程，通解为 由边界条件i可得,n须取使的值，在其中，我们只去基波，即，相应的： 相应的： 由边界条件ii可得： 对于z有： 由边界条件ii可得， 所以: 10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求： （1）使临界体积为最小的的值； （2）最小临界体积V与的关系。 解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率： 可得，在临界条件下： 临界体积： 其取最小值时: ,即： 所以： （2）由上可得临界最小体积： 由于临界条件下：，所以：11.设有意纯组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数： 计算其临界半径与临界质量。 解：由已知条件可得： 设临界半径为，则临界条件：，可得： 对于这一实际问题，需要考虑外推距离： 所以实际临界体积为： 临界质量：12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数: （1）半径为的球形堆，反射层节省为； （2）半径为，高度为的圆柱形堆，反射层节省分别为和； （3）边长为的长方形堆，反射层节省分别为。 解：可利用裸堆的结论，球： 圆柱： 立方体： 详细推导：据97页4-1裸堆的通解形式可得： 球： 圆柱： 立方体： 16.设有如图4-9所示的 一维无限平板反应堆。中间区域（）的，厚度为已知，两侧区域（）的，试用单群理论导出确定临界尺寸的公式及临界时中子通量密度的分布。说明尺寸对临界尺寸有无影响及其理由。 解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩散方程（由于几何上的对称性，对于本体只需考虑一侧，如X为正一侧）： 方程1 方程2 边界条件：i. ii. 由表3-1查得方程1的通解： 其中第二项明显有悖于对称性条件，故，同理有： （由于本体是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再对其进行区别，统一用表示）有条件ii可得：整个系统的临界条件为：=中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）=1即： （注意，此处的泄露仅仅是区外表面上的泄露，区之间的净流动时通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）可见，临界尺寸a与b负相关，从物理上的理解：由于区增值性质弱于区，故存在由区向区的净流动，相当于区的泄露。区尺寸越小，则这一泄露越弱，此时的临界尺a最小。但不要认为ab之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a+b相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际对于任意n平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。由条件i可得：中子通量密度分布为：，其中由临界时的功率条件确定。17. 设有高度为（端部无反射层）径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区，要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。试求： （1）中心区的应等于多少？ （2）临界判别式及中子通量密度分布。 解：自己设定材料有关参数，以几何中心为原点建立坐标系： 方程1 方程2 由于区进行了通量展平，即为常数，易知，而必须大于1. 边界条件： i. ; ii. iii. iv.
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