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数学分析(三)参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。1. 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解： ，因此二重极限为.(4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。 (9分)2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解： 对两方程分别关于求偏导: ， (4分)。解此方程组并整理得. (9分)3. 取为新自变量及为新函数，变换方程。设 （假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。 (4分)代人原方程，并将变换为。整理得： 。 (9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解： 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: ,约束条件: 。 (3分) 构造Lagrange函数：。令 (6分) 解得，故有 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 (9分)5. 设,计算.解：由含参积分的求导公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 (3分)则 (6分) . (9分)7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为，其中且 。 (3分)积分方向向下，取负号，因此， (6分) (9分) 二. 证明题（共3题，共28分）。9.（9分） 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当时，当，从而函数在原点处连续。 (3分)可偏导性：， ，即函数在原点处可偏导。 (5分)可微性： 不存在，从而函数在原点处不可微。 (9分)10.（9分） （9分） 设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单减函数。试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得 ， 。现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得， 。同理，则必存在使得， 。取，则在邻域内同时成立 ， 。 (3分)于是，对邻域内的任意一点，都成立 ， 。 固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得0。 而关于严格单减，从而使0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。(6分)（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线， 。由上述证明知 ， 。由的连续性，必存在的邻域使得 ， ， 。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且， 。于是在内存在唯一的一个零点使，即 对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。 (9分)11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：作变量替换，则。 (3分)不论正整数多么大，当时，恒有。 (5分)因此， (7分) ，当时。因此原积分在上非一致收敛。 (10分)注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零。事实上，取 相应地取，则，并非趋于零。 数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设求；2、求3、设求在点处的值；4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；5、求函数在点处的梯度；6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；7、计算积分：；8、计算积分：；二、 (10分)求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。三、 （10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求四、 （10分）计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .五、 （10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。六、 （10分）计算，其中是半球面。七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设求；解：；。2、求；解：3、设求在点处的值；解：。4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；解：在原方程的两边求微分，可得将代入上式，化简后得到5、求函数在点处的梯度；解：。6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；解：记在点（1，2，0）处的法向量为：则切平面方程为：即法线方程为：，即。7、计算积分：；解：而在上连续，且在1，2上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：八、 求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x,y,z），则长方体的体积为：拉格朗日函数为 由 解得：根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求解：十、 计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .解：。十一、 计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。解：由格林公式：所以十二、 计算，其中是半球面。解：十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛。 数学分析3 模拟试题十四、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；2、，求；3、设，求；4、设是方程所确定的与的函数，求；5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。7、计算积分：;8、计算积分：；二、 (10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。三、（10分）已知，其中为球体：，求四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。五、（10分）计算，其中为圆周，取逆时针方向。六、（10分）计算，其中为锥面被拄面所割下部分。七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；解：。2、，求；解：。3、设，求；解：。4、设是方程所确定的与的函数，求；解：方程两边求微分，得。5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；解：方向即向量的方向，因此x轴到方向的转角。故所求方向导数为：。6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为又因该平面与平面平行，则有 ，即。7、计算积分：;解：而在上连续，且在2，3上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得：三、 原点到曲线的最大距离和最小距离。解：设P（x,y,z）为曲线上任意点，则目标函数为，约束条件为，建立拉格朗日函数：由 得驻点：和，根据实际情况必有最大值和最小值，。四、 已知，其中为球体：，求解：用球坐标计算，得故。四、计算，其中D是由圆周所围成的区域。解：由对称性知：故五、计算，其中为圆周，取逆时针方向。解：由格林公式：所以 。六、计算，其中为锥面被拄面所割下部分。解：在xoy面上的投影为八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：当时，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛。
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