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研 学 六年级下册教案 2017年2月 1、魅力抛物线相关的教材内容：教学形式：教师讲解,自主探索。设计目的：让学生初步认识抛物线，直观体会抛物线。使学生体会到数学就在生活中以及数学的趣味性。活动设计：开场：同学们，今天这一节课将由我和石老师一起带大家走进数学大讲堂：魅力抛物线。一、“愤怒的小鸟”游戏引出“抛物线”1、（出示图片：愤怒的小鸟图片）师：同学们知道是它是谁吗？（愤怒的小鸟），它现在已经风靡全球，它曾被纽约时报称为2010年“年度符号”。据中国青年报报道，在2011年全美州州长的聚会上，当总统奥巴马在主席台上充满激情地讲话时，南卡罗来纳州的女州长哈利却把注意力集中在这群小鸟上。瞧，她正拿着它的ipai在玩呢。今天这些受到大家欢迎的“小鸟”也来到了这里，谁会玩吗？谁愿意来试一试？（请三个小朋友分别来玩一玩） 2、 师：某某真厉害，一下子就救出了所有的小鸟，我们来看一下，这里的白色线是谁留下来的？（小鸟） 师：这白色的线就是小鸟刚刚飞过的痕迹，你能用手比划一下，小鸟刚刚是怎么飞行的吗？ （玩三次后，幻灯片出示三次小鸟的痕迹，用不同的颜色标记 在同一张幻灯片上）师：小鸟每次飞过的痕迹有什么特点？生：由下向上再下（弯的）师：像这样的曲线，其实就是数学中充满魅力的抛物线。（刚刚小鸟飞过的痕迹是抛物线的一部分，下面我们来看这一幅图，这就一条是较完整的抛物线。师：从古至今，人类一直对抛物线有着迷恋。抛物线在公元前200年前被古希腊数学家阿波罗尼奥斯（出示其画像）发现并命名。3、在以后的数学学习中我们会遇到开口朝不同方向的抛物线，今天我们只来了解开口向下的抛物线，同学一起开看一下这条抛物线，这里是抛物线最高点，我们称它为为抛物线的顶点，而这则是抛物线开口的大小。我们还会发现抛物线其实也是对称图形，谁能找到它的对称轴呢？（过顶点的竖着的直线） 二、“抛物线”的价值（人类对抛物线轨迹的预测）师：愤怒的小鸟就是简单的抛物线运动，因为人们可以在游戏中感受抛物线的乐趣，所以它才这么样红火。其实很早很早以前，人类的祖先在早期的狩猎中就开始利用抛物线，比如射箭，因为相比直线投射来说，抛物线投射通过对角度的调节，能够为攻击提供更多的灵活性和准确性。师：为了射中目标，我们要预测抛物线的轨迹。抛物线的轨迹与投射力度和角度有关，我们一起来看看。 先只改变力度，同学们看，先用小力度来投射 ；接下我把弹弓拉长，加大力度，仔细观察抛物线的轨迹有什么变化？为了更好的比较，老师把刚刚的图片截下来了。通过观察我们知道：力度越大，抛物线轨迹的开口越大，顶点的位置越高。只改变力度（玩游戏示范）力度越大，弹簧拉的越远力度：力度大，抛物线的开口越大，顶点的位置越高 角度一样时，第一用力小，让学生观察此时抛物线，（顶点的位置，抛物线开口大小） 第二次用力大，再让学生观察此时的顶点和抛物线开口大小小结：只改变力度时，抛物线轨迹的开口越大，顶点的位置越高师：如果我只改变角度，此时抛物线的轨迹又有什么变化呢？ 2）只改变角度角度：角度大，抛物线轨迹的开口越小，顶点的位置越高 （同上）小结：抛物线的轨迹会因为力度和角度改变，它的轨迹也会发生变化，正因如此三、“抛物线”在军事领域的应用师：抛物线不仅在游戏中被人们应用，“抛物线”在军事上也发挥着其魅力。手枪、狙击枪的子弹发射出去的过程是螺旋试前进，它们的原理就是抛物线原理。同时在任何情况下的火炮攻击，我们都可以简单的认为它是一个抛物线的投射问题。火炮攻击我们考虑是命中率，而对于命中最大的影响,就是这个抛物线投射在你身上的范围有多大.当然不同的火炮由于炮口的高低角度不同,那么他的抛物线会有一定的变化 。下面请看屏幕：这是两种地形对于抛物线的影响A是正常形态平地攻击模式，抛物线按常规计算即可。B是在反斜面攻击模式，这样增加了抛物线的角度以及火炮的射程而接下来看的是各种地形条件下被攻击者和火炮的射击问题A图是完美状态下的平地攻击,火炮和被攻击目标都处于平地，这样利用抛物线可以增加攻击的命中率.B图是被攻击目标在正斜面,火炮也在正斜面,此时抛物线比较平直，攻击的精准度非常高,特别是被攻击目标静止的情况下。C图，被攻击目标在反斜面，火炮在正斜面，由于抛物线很平直，攻击的角度很小，射击难度很大。不利于攻击D图，被攻击目标在正斜面，火炮在反斜面，抛物线角度高，命中率很高E图，被攻击目标和火炮都在反斜面，角度合适的话很容易攻击总结：抛物线在军事中充满着无限的魅力课后反思： 2、神奇的三角形相关的教材内容：认识三角形教学形式：谈话法，讲授法设计目的：让学生从“灵性”“ 神秘性”“稳定性”这三个方面了解三角形的神奇。激发学生的探索欲望，培养孩子钻研精神。活动设计：一、导入师：欢迎大家进入数学大讲堂，领略不一样的课堂！同学们看到这张图片联想到什么几何图形？生：三角形。师：那你知道有关三角形的哪些知识？生：二、新授 师：今天我们就来了解神奇的三角形（课件展示）早在19世纪中叶，德国著名数学家卡尔佛里德尼克高斯就建议把森林布置成一个个硕大的三角形，以吸引外星人来与地球相会、合作。这位数学家为何荐用三角形作为地球人与外星人的联系标志呢？（课件展示）原来三角形在宇宙理论上具有三角形的“交际功能”“花样百翻”的数学定理和哲学道理。其他星球的天文学家看到地球上的“”形符号会很快明白：地球人具有高智商的文明不但会进行先进的耕作，懂得勾股定理，而且希望同外星人联系、合作。（课件展示）师：正因为三角形有这种灵性，所以在国际上，把“”视为警告性标志，然而，捷克人认为红三角形是有毒的标记；土耳其人却把绿三角表示为“免费样品”；在我国瓷器商品中，“”形符号为三等品。（课件展示）师：三角形不但具有灵性，还具有神秘性，我们主要从两个方面来介绍：自然界中的神秘三角（课件展示）在自然界中，三角形更有其非凡神奇的魅力。我国有美丽富饶的珠三角地区、长江三角区；国外有大西洋百慕大、太平洋魔海龙；火星上有金字塔物体等，都充满着无穷的“大三角”奥秘。特别是百慕大三角是指北起百慕大群岛，南到波多黎各，西迈阿密，一片三角形海域，面积约一百多万平方公里。由于这一片海面失踪事件叠起，世人便称它为“地球的黑洞”、“魔鬼三角”。 百慕大被誉为“死神的居住地”。 早在1840年，一艘名叫“洛查理”的法国货船航行到百慕大海面时，人们就发现船上食物新鲜如初，货物整齐无损，而船员却全部神秘地失踪了。在百慕大出现过这样的怪事，一艘前苏联潜水艇一分钟前在百慕大海域水下航行，可一分钟后浮上水面时竟在印度洋上。在几乎跨越半个地球的航行中，潜艇中九十三名船员全部都骤然衰老了五至二十年。人体中的神秘三角“致命三角”又鼻根与口角两侧连线构成，该区域血管丰富，口、鼻、眼等感染都能扩散到这里，而这里有不少血管通向颅内，一旦损伤或感染，就会把细菌或毒素传入血液回流到脑部，引起头痛、脑膜炎甚至死亡。“治疗手麻”的三角区，“平行不举”按揉的肩三角，“调血止痒“按的膝三角。稳固性:美国发明家富勒称三角形是“宇宙本源的未来形体”。他上幼儿园时，眼睛远视，又是斗鸡眼。这位发明家回忆道：“老师给了我们一些牙签，搭了长方形建筑。我视力不好，看不到结构的形态细节，只好又推又拉偶尔发现三角形可以搭建一种最稳固的房舍。老师们看后，吃惊得很。”若干年后，富勒根据三角形是自然界最稳固形态的信念，发展了短程圆顶，现在这种结构已成了他的商标。用富勒的短程学所造的美国宏伟建筑，是1967年为世界博览会而建的美国馆。那是一座有无数三角多体形支架拼合而成的大圆球，直径76米，高达10层楼房。师：现在老师让你们直观的感受一下三角形的稳定性。（看视频）看完后你们有什么感受？在生活中有什么物体利用了三角形的稳定性？欣赏我们身边的三角形。（课件展示）3 小结 神圣几何学是宇宙赋予人类的智慧，而神圣几何学的源码是神秘而灵性的三角形。课后反思与建议：3、河内塔问题教学形式：讲授法、实践活动式、归纳式设计目的：河内塔问题作为数学活动课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解自然界、了解科学、了解数学与生活的联系，培养学生勇于探索的精神，和猜想验证求实的科学态度。让学生经历发现、验证、探索等学习过程，激发学生探索河内塔问题的兴趣。活动设计：开场语：欢迎大家来到数学大讲堂！遨游数学王国，探寻数学秘密！一、故事引入河内塔的起源源自古印度神庙中的一个传说。传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。这就是著名的河内塔问题。那么，众僧们要移动多少次呢？不妨我们假设一下：(1)如果号棒上只有1个金片。把金片移到号棒上只需要移1次；（板书：金片的片数 移动的次数） 1 1(2)如果号棒上有2个金片，最少移动几次？应该怎样移？同桌商量，怎样移？找生边演示边说明。（先把小金片移到号棒上，再把大金片移到号棒上，再把小金片移到号棒上，总共需要移3次）板书：2 3(3)如果号棒上有3个金片。应该怎样移？移动几次？今天我们就一起来研究这个“河内塔问题”板书：河内塔问题二、 游戏探究出示“河内塔问题”1、河内有号、号、号三个柱子，你能借助号柱把号柱上的珠子移到号柱而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？ 移动规则如下： （1）每次只能移动一个珠子； （2）大珠子不能放到小珠子上面。2、让生读题，理解题意。3、小组讨论：大、中、小三个珠子如何移？最少要移动多少次？4、小组合作开始做“河内塔”游戏5、各小组展示成果。找出用时最短且移动次数最少的组为优胜组。6、教师展示移动过程，并用图解说明。（1）河内塔问题，三个珠子的移动图解：三个珠子的移动只有两种移动方法：如果第一次移动时，把最小红珠子放到号杆上是优选法。如下：（一）原题图：（二）移动第一次： （三）移动第二次：（四）移动第三次： （五）移动第四次：（六）移动第五次： （七）移动第六次：（八）移动第七次： 7、延伸：如果号杆上有4个珠子呢？请大家再试试怎样移动次数最少？8、小组再次合作，哪个组先完成且移动次数最少的为优胜组。9、河内塔问题，四个珠子的移动图解： 四个珠子：开始第一个珠子要放在号杆上：（一）原题图：（二）第一次移动： （三）第二次移动：（四）第三次移动：（五）第四次移动：（六）第五次移动：（七）第六次移动：（八）第七次移动： （九）第八次移动：（十）第九次移动： （十一）第十次移动： （十二）第十一次移动： （十三）第十二次移动： （十四）第十三次移动： （十五）第十四次移动： （十六）第十五次移动： 三、探究规律：师生共同总结河内塔问题移动次数最少的规律珠子的个数个 最少移动的次数次1个珠子 12 33 31374 717155 15115316 3113163 这时引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，31,63猜想和探究其中隐藏的规律。学生发现数列1，3，7，15，31,63的规律是：后一项总是比前一项的2倍多1。 如果有n个珠子，一共需要（-1）次。四、提炼结论 那么，64个金环，众僧们要移动多少次呢？师引导生根据上述规律进行计算。算一会儿后，师公布答案：众僧要移动18446744073709551615次。让生试读此数，感受大数的读法。 假如僧侣们每秒钟移动一次金片，夜以继日废寝忘食地照这样干下去，需要干多少年？可以要求学生只列出算式。师提示：一年有多少秒？（ 606024365）秒，需要多少年？18446744073709511615 (606024365)年。最后，老师宣布答案：大约需要5846亿年！根据科学家的研究，太阳的寿命最多还有100150亿年，5846亿年远远大于这个数，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。我们也不必担心世界末日会到来了。可见印度传说仅仅是一个传说而已。 五、拓展应用 将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成(+1)段. 六、结束寄语 汉诺塔问题在数学界有很高的研究价值，而且至今还在被一些数学家们所研究，也是我们所喜欢玩的一种益智游戏，它可以帮助开发智力，激发我们的思维。 课后反思与建议： 4、奇妙的数字宝塔教学形式：教师讲解、欣赏,学生参与.设计目的：会合理的使用计算器进行计算,通过计算发现规律,并利用规律解决问题.培养思维的灵活性，与他人合作的态度，拓展数学知识面，培养了学生的自主探究精神，同时也激发了学生学习数学的兴趣。活动设计：一、引入师：数学大讲堂不一样的课堂。同学们我们先来听首歌金铃塔。“金铃塔，塔金铃，一层宝塔六只角，六只角上挂金玲金铃宝塔一层又一层。”这是文学艺术园地里的宝塔。再来看看这组图片。在祖国各地，形体各异、姿态万千的宝塔多得难以胜计，著名的就有上海的龙华塔、西安的大（小）雁塔、云南大丽的“三塔”、杭州的雷锋塔、苏州的虎丘塔它们是我国历代劳动人民智慧和勤劳的结晶，这些建筑都是是我国古代文明的瑰宝。数学里面也存在着奇妙的数字宝塔，想不想看一看？出示杨辉三角 今天的大讲堂老师要带领大家去探寻奇妙的数字宝塔中的秘密。首先让我们一起来观察观察欣赏欣赏这个有名的杨辉三角吧。二|、杨辉三角了解杨辉三角的渊源师：其实早在我国古代数学世界里还出现了数学宝塔：杨辉三角。杨辉是南宋末年数学家，这个数表是杨辉收录在他的著作详解九章算法里才流传下来的。据他的著作记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现。因此，后人把杨辉三角又称为贾宪三角；在欧洲，这个数表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表，发表则在1665年。这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年。由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。说到此，同学们你们一定开始为我们中国而骄傲的吧？那么杨辉三角到底有什么奇妙之处呢？探究杨辉三角。（出示课件，教师讲解）师：下面就让我们来领略下杨辉三角的神秘之处：两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。奇妙、有序、对称。了解其它的数字宝塔（出示课件，讲解）当然在数学园地里，还有许多宝塔。建筑它们的不是砖石木料，而是一些数字和数学符号。欣赏、研究这类宝塔，倒也是一件赏心悦目的趣事。（1）“n位1的平方宝塔”这里左边的一座宝塔，是由九个乘式筑起来的，每个因数全是由若干个1组成的；同一层的两个因数有同样多的1，每层的因数都比它上边一层的因数多一个1。这座宝塔给人一种稳重庄严的平衡美。 右边这座宝塔的构造特点是比较明显的，也是饶有趣味的。不管你横着、竖着还是斜着去欣赏去分析，都可以感受到一种美的愉悦。 看到这里，细心的小读者可能发现了这两座宝塔之间的关系。如果你没有注意到的话，请把左边宝塔的乘积计算出来，一定会恍然大悟：这两个宝塔的每一层都可以用等号连接，合并成一个更雄伟的宝塔“n位1的平方宝塔”。(2 )用数筑的宝塔的确有动人的魅力，因此引起了许多数学家的重视。在国外，法国趣味数学大师路加就收集和研究了大量的例子.下面列举一些例子，供大家鉴赏。18+1=9128+2=981238+3=98712348+4=9876123458+5=987651234568+6=98765412345678+7=9876543123456788+8=98765432 你发现了吗？等式左边的加数很奇妙：既是左边乘式中被乘数的位数，也是等式右边答案的位数。如果要你接着再写一组,你会吗?试试看.19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=1111111234569+7=111111112345679+8=11111111123456789+9=1111111111234567899+10=1111111111 请你仔细看看，说一说你有什么发现？可发现等式左边的加数，刚好是左边乘式中两个因数位数之和，也是等式右边1的个数。09+8=899+7=88989+6=8889879+5=888898769+4=88888987659+3=8888889876549+2=888888898765439+1=88888888987654329+0=888888888上边这个数宝塔，与前面两个十分相似。它的每一层数据是怎么变化的？请你找出它的规律，领略一下它的美妙之处，好么？前面的数宝塔都是上尖下大的，颇似常见的“塔”。下边的这座数宝塔，倒是座数据排列特点鲜明的难得一见的方形宝塔了。1234567899=111111110112345678918=222222220212345678927=333333330312345678936=444444440412345678945=555555550512345678954=666666660612345678963=777777770712345678972=888888880812345678981=9999999909如果把这个方形宝塔的被乘数中的8去掉，成“12345679”，是为“缺8数”，倒是个构筑方形宝塔的“能手”呢。请看：123456799=1111111111234567918=2222222221234567927=3333333331234567936=4444444441234567945=5555555551234567954=6666666661234567963=7777777771234567972=8888888881234567981=999999999此塔特点与上边的宝塔极其相似乃尔，倒似一双孪生姐妹，一对并蒂莲。1234567910=1234567901234567919=2345679011234567928=3456790121234567937=4567901231234567946=5679012341234567955=6790123451234567964=7901234561234567973=9012345671234567982=1012345678如果把此塔的最后一层乘积的第一个数字，加到个位上去，于是可见：从上至下的九个乘积，全是由“1、2、3、4、5、6、7、9、0”组成的，不过起始的数字不同（循环一周）罢了。以上数宝塔都只有九层，这是因为受到十进制计数法的限制（逢十进位），不可能再筑下去了。然而，更多的数宝塔是可以无限制地筑下去的。例如用“缺8数”构筑的另一座方形宝塔：123456793=037037037123456796=074074074123456799=1111111111234567912=1481481481234567915=1851851851234567918=2222222221234567921=2592592591234567924=2962962961234567927=3333333331234567930=3703703701234567933=4074074071234567936=4444444441234567939=4814814811234567942=518518518容易看到，这个方形宝塔中的乘数都是3的倍数，右边的乘积规律十分显著，都是1个三位数重复写三次得到的十二位数（即是三位数的三次复写数）；当乘数又是9的倍数时，乘积可以看作是由同一数字组成的三位数的三次复写数。这样的规律一直保持到宝塔的第二十七层；之后，规律有所变化。例如：第二十八层1234567984=1037037036第三十四层12345679102=1259259258第一层12345679300=3703703700第一八层12345679324=3999999996 小结：短短的几十分钟里，我们一起欣赏了形体各异、千姿百态的数字宝塔，数字宝塔中不仅是乘法关系，加法也可以来插上一手，有些宝塔可以一直造下去，让它直插云霄，无边无际，高于天齐。同学们，在未来的学习生活钟，你是不是也能发现一个这样神奇的数字宝塔呢，老师期待着。课后反思:5、角谷静夫猜想教学形式：讲述设计目的： 1.了解什么是“角谷静夫猜想”。 2.知道数学家们论证“角谷静夫猜想”的方法。 3.激发孩子们的探索欲望。一.介绍导入师：同学们看到这个课题，你想知道什么？生：什么是角谷猜想？ 这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的。在西方它常被称为西拉古斯猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷的名字命名，被称作角谷猜想。今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3x+1问题”。生：到底是一个什么问题？任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1。依次循环下去就会得到一组数列。举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列：7221134175226134020105168421其中会有什么奥秘呢？二 实验发现问题师：同学们自由选一个数，按以上要求做一做，你发现了什么？请学们来讲一讲自己得来的数列。（指名让五个孩子来说）师：从刚才同学们的讲解中，你发现了什么？生：每一组数列最后都得“1”。师：到底是不是总会得到1？”这就是我们今天所说的角谷猜想。 角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑。这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。数学家们已经发表了不少篇严肃的关于3x+1问题的数论论文，对这个问题进行了各方面的探讨，在后面我会对这些进展作一些介绍。可是这个问题的本身始终没有被解决，的“小题”。这样的“小题”理解起来非常容易，却让无数数学家大跌眼镜，怎么冥思苦想也不得其解。3x+1问题大概就是其中最著名而又最简单的一个。它简单到大概任何一个会除2和会乘3的人（比如说，没文化但是经常买菜的老奶奶）都能理解它的意思，但是困难得让数学家至今也没有找到好好对付它的方法。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数。比如说我们先取5，首先我们得到3*5+1=16，然后是16/2=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在421这个循环中了。再举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列：7221134175226134020105168421这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在421这个循环中。随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到421这个循环中，或者说，你总会得到1。已经有人对所有小于100*250=112589990684262400的自然数进行验算，无一例外。那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来是个多么简单的问题啊！厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”让我们先来定义几个概念，然后再来介绍这些结论。从一个自然数开始，用上面这个变换，我们可以计算出一串自然数的序列。为了形象起见，我们把这串数列叫做以最初用来开始计算的那个自然数命名的“航班”。比如说，第6次航班就是63105168421我们把一个航班里的最大数字，叫做这个航班的“最大飞行高度”。比如说，第6次航班的最大飞行高度就是16。我们把航班在数字1“着陆”之前的数字个数（最初的数字包含在内，但1不包含在内），叫做这个航班的“航程”（特别定义第1次航班的航程为0）。第6次航班的航程就是8。如果真有自然数在此变换下永远达不到1，那么这个航班的航程就是无穷了。接下去的概念稍微有点复杂。我们把从起点开始（但不包括起点）连续的不小于起点的数字的个数，叫作“保持高度航程”。举一个例子来说明这个概念比较方便：第11次航班是1134175226134020105168421我们看到从起点开始，34，17，52，26，13，40，20都不小于起点11，共有7个数字，所以第11次航班的保持高度航程为7。后面的航程中虽然还有数字16大于起始点11，但是它不被算在保持高度航程里了。一个最简单的推论就是，偶数次航班的保持高度航程总是0，因为开始就除以2，跌到较低的高度去了。为什么我们对一个航班的保持高度航程感兴趣？因为如果所有航班的保持高度航程都是有限的话，3x+1问题就成立了。让我们假设已知所有航班的保持高度航程都是有限的，用数学归纳法来证明3x+1问题，也就是所有的航班都在1上“着陆”。我们已经知道第1到第5航班都是在1上着陆的，现在假设对于所有小于n的数字k，第k次航班都在1上着陆，我们来看看第n次航班的情况：由于按假设它的保持高度航程是有限的，所以它迟早会降落在一个比n小的数字上于是按归纳假设它就会降落在1上！我们可以对开始的30班航班列出一个相关数据表来：航班航程保持高度航程最大飞行高度1 0 0 12 1 0 23 7 5 164 2 0 45 5 2 166 8 0 167 16 10 528 3 0 89 19 2 5210 6 0 1611 14 7 5212 9 0 1613 9 2 4014 17 0 5215 17 10 16016 4 0 1617 12 2 5218 20 0 5219 20 5 8820 7 0 2021 7 2 6422 15 0 5223 15 7 16024 10 0 2425 23 2 8826 10 0 4027 111 95 923228 18 0 5229 18 2 8830 18 0 160下面要说说几个记录。在上面我们已经说过，目前3x+1问题已经被检验到100*250=112589990684262400，都没有发现反例。三、理论结果只要稍微动一下脑筋，我们就知道3x+1问题和下面几个命题都是等价的：1)所有的航班的航程都有限；2)所有的航班的保持高度航程都有限；3)所有的航班中的偶变换的次数都有限；4)所有的航班中的奇变换的次数都有限；5)所有的航班的保持高度航程中偶变换的次数都有限；5)所有的航班的保持高度航程中奇变换的次数都有限。就算3x+1问题终于被解决了，看看所有这些变种，也够数学家们自娱自乐上几百年的了。教学反思：6、神奇的数字黑洞课题：神奇的数字黑洞适用年级：五年级设计者：五年级讲授者：周洲相关的教材内容：多位数的四则运算教学形式：谈话法，讲授法设计目的：“数字黑洞”作为数学游戏课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解自然界、了解科学、了解数学与生活的联系，培养学生勇于探索的精神，和猜想验证求实的科学态度。让学生经历发现、验证、探索数学黑洞等学习过程，体验并感受数字黑洞的魅力；认识各种数字黑洞，激发学生探索数学黑洞的兴趣。活动设计： 课前播放黑洞的形成视频。开场语：欢迎大家来到数学大讲堂！遨游数学王国，探寻数学秘密！一、情景创设，体验魔术师：今天周老师给大家带来了一个与数学有关的魔术，大家想参与吗？（想）这个魔术是魔术中最难的，叫做“读心术”！接下来需要大家和周老师默契配合，做到耳到、眼到、心到，我才能施展“读心术”。大家准备好了吗？师：请同桌两人为一个学习小组，每组想好一个3的倍数，知道什么样的数是3的倍数吗？（教师根据学生回答解释）（课件出示0之外的3的倍数。）3的倍数有无数个，请每两人的学习小组从中选一个3的倍数，不要告诉周老师，也不要告诉其他学习小组，将其写在本子上，写完了请举手示意。一会儿你们用想的那个3的倍数照屏幕上的方法进行计算，计算后不要告诉周老师和其他学习小组，举手示意，周老师就能用读心术猜出你最后的结果是多少。课件出示规则：先想一个3的倍数（0除外）；把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数;再把新数的每一个数位上的数字再立方、求和。不断重复步骤的做法。（课件出示：用“21”举例怎样求立方和，注意正确使用“=”）师：明白规则了吗？等下我要用“读心术”说出你们计算较快的一组孩子的最后结果。为了计算方便，我将09的立方结果展现在屏幕上。好，现在分组计算开始。（课件出示：规则和0至9的立方结果）学生独立按规则计算。老师请算得较快的一组中选一个孩子上台，老师握着孩子的手，看着这个孩子的眼晴，在一张纸片上写出猜的结果，倒扣在讲台上。请算得较快的那位学生说出刚才想的那个3的倍数，然后一起在黑板上演算，发现算到153之后，就一直重复着相同的结果153。师：算出的结果是153，下面是见证奇迹的时刻了，老师要请这个孩子来揭晓老师写的数字。（153）二、形成猜想、揭秘魔术1、形成猜想师：魔术最精彩的环节便是魔术揭秘了。谁能大胆猜猜，我的魔术是怎么变的？生：所有3的倍数这样计算后都是153。2、精心验证师：怎样能知道这个孩子的猜想对不对？换不同的3的倍数试试（课件“21”的例子，投影学生的例子），不同的3的倍数经过这样的运算结果都会等于153。3、揭示主题师：不同的3的倍数，只要经过这样的计算，结果一定有一个数153在等着它。最后一定会掉到这里来，不管3的倍数怎么换，谁也逃不掉。它让周老师想到了宇宙中的一个天体黑洞。（课件：黑洞图片）课前我们展现了一段有关黑洞的知识介绍。黑洞有很大的能量，什么东西都能吸进去，连光也会被吸进去。刚才我们计算得出的153就像黑洞一样，在数学上153被称为数字黑洞。板书课题：神奇的数字黑洞4、数字黑洞153的性质师：奇妙的是，数字黑洞153具有一些有趣的性质。153是117连续自然数的和，即：12317153。课件出示：153 = 1234567891011121314151617 师：153的魔力还远远不止这些。它可用另一种重要方式来表示：153=1（12）（12 3）（12 3 4）（123 45）。现代数学家会更简练地写出这一等式：153=1！+2！+3！+4！+5！如果一个数后面跟着一个感叹号，你就可以得到从1到该数本身所有整数的乘积，这种运算被称作求阶乘。课件出示：153 = 1（12）（12 3）（12 3 4）（123 45） 阶乘 153 = 1！2！3！4！5！ 三、拓展研究1、师：数字黑洞除153外，还有很多。在本册数学书第31页就有另一个数字黑洞的介绍。（课件出示第31页“数字黑洞6174”介绍。）2、课件介绍同类的数字黑洞卡普雷卡尔黑洞（重排求差黑洞）：两位数有唯一的黑洞数9，三位数有唯一的黑洞数495，四位数有唯一的黑洞数6174，五位数有一组数字，所有的其他数字最后都要掉入这组数字里面，再也出不去。这组数是：61974-82962-75933-63954，再高位的数字也基本上是一组或几组数字的黑洞。师：重排求差黑洞是印度数学家卡普雷卡尔发现，因此用其名命名。数字黑洞以人物名对数字黑洞命名的还有很多，如西西弗斯串（数字黑洞123 ）3、其他类数字黑洞课件：西西弗斯串（数字黑洞123 ）4、师：数学是一门艺术，是一门美妙的学科，数学是美丽的，所以有人说：（课件出示）数学是上帝用来书写宇宙的文字。伽利略5、小结7、 奇妙的数字宝塔相关的教材内容：多位数的四则运算教学形式：讲授法，自主探索设计目的： “数字宝塔”作为数学游戏课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解数学与生活的联系，感受数学的奇妙，养成积极参与学习活动的好习惯，培养学生勇于探索的精神，和猜想验证求实的科学态度。让学生经历发现、验证、探索数字宝塔等学习过程，体验并感受数字宝塔的魅力；认识各种数字宝塔，激发学生探索数字宝塔的兴趣。活动设计：一、创设情境，激趣导入。通过谈话导入：同学们，知道吗？数学王国里充满了奥秘与神奇！传说数学王国里有一座山，山里有一座宝藏，等着人们去挖掘。不过，要想去挖掘宝藏，可得闯过四道关卡。每道关卡都有一组有趣的算式，如果你能找出算式中的规律，就表示你闯关成功！连闯四关，就有机会挖到宝藏。今天淘气和笑笑想去闯一闯，你们愿意与他们同行吗？那我们就一起出发吧！二、探索交流，发现规律。1、出示杨辉三角11112113311464115101051 .经常见过这种“数字宝塔”，最明显的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。殊不知，它就是我们经常听到的“杨辉三角”。共同探讨特征、规律 最明显的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 “杨辉三角”有着多种规律： 奇妙、有序、对称2、归纳简介杨辉是南宋末年数学家，这个数表是杨辉收录在他的著作详解九章算法里才流传下来的。据他的著作记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现。因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”；在欧洲，这个数表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal，1623年1662年），他们把这个表叫做“帕斯卡三角”，帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表，发表则在1665年。这就是说，就发现和应用这个三角形而言, 贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年。由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页。 “数字宝塔”形体各异、千姿百态.“数字宝塔”中不仅是“乘法”关系，“加法”也可以来插上一手，有些“宝塔”可以一直造下去，让它直插云霄，无边无际，高与天齐.3、“乘法”中的数字宝塔 11=11111=121111111=12321（1）仔细观察这三道算式的答案的规律，它们与算式的两个因数之间又有什么关系。小组讨论，交流汇报。反馈讨论的结果时，重点是让学生说一说写出结果的依据是什么，教师结合算式说明。 教师总结规律：通过观察积与乘数数中1的个数发现每一个乘数中数字1的个数有几个，积的排列次序就从1排到几，再倒回到1，所以每个积就像一座宝塔似的。（2）引导学生根据刚才发现的规律直接说出得数：11111111=？（3）请学生继续写出几个这样的算式。（4）依据规律直接填得数。11111111=12343211111111111=123454321111111111111=1234565432111111111111111=1234567654321学生自主探索：3 7 = 2133 67 = 2211333 667 = 2221113333 6667 = 2222111133333 66667 = 2222211111.4、“加法”中的数字宝塔3 7 = 1033 67 = 100333 667 = 10003333 6667 = 1000033333 66667 = 1000001 9 + 2 = 1112 9 + 3 = 111123 9 + 4 = 11111234 9 + 5 = 1111112345 9 + 6 = 111111三、归纳总结： 8、黄金分割相关的教材内容：教学完比例之后教学形式：教师讲解、欣赏设计目的：学生在学完比、比例之后，引入黄金分割的大讲堂，进一步加深了对比和比例的认识，熟练了比和比例的计算。学生通过经历动手操作，培养了学生的自主探究精神，同时也激发了学生学习数学的兴趣。 黄金分割在建筑、艺术、人体、医学等方面的实例，让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切关系，进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，注重体现数学的文化价值，让学生感受到数学与生活的密切联系，对后续课程的学习有着激励作用。 9、斐波那契数列相关的教材内容：教学形式：教师讲解,小组合作，自主探索。设计目的：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。活动设计：一、导入师：数学大讲堂,非同一般的数学课堂.今天的数学大课堂要从一个故事讲起:据说很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕：假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？二、初涉规律，引入新课,提出问题1、请学生读题，分析、理解题意。齐读，读懂了吗？有人能解释一下这个问题吗？ 重点理解：一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡；小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。不明白，没有关系，俗话说：书读百遍，其意自现，我们再读一遍。 （2）看来这个问题有点难，遇到难题怎么办？ 对啊，遇到难题我们也不能放弃，不能绕道，当然也不能硬拼。遇到难题老师就想起了一个人，他说过一句话对我们解决难题很有帮助！谁呢？ 老子，一个大思想家，一个大智者。他说过一句这样的话！ 天下难事必做于易！（板书）知道这句话得意思吗？ 对，就像你理解的这样，从容易的地方入手！ 2、合作探究 （1）那对这个问题，同学们认为，是地10,11,12个月容易一些呢？还是地1,2,3，4，5，6个月容易研究一些呢？化繁为简-发现规律-解决问题。这是我们数学中解决问题的一种重要的策略和方法。（2）那我们就从1 ，2 ，3 ，4 ，5，6个月开始，小组合作研究。你可以用文字描述每个月的兔子的状态，也可以画图，列表描述，也可以用字母来表示，也可以用数字等等都可以。然后解决这个问题！ （3）我们一起来看看大家的研究成果！ （4）我们一起来研究一下这个兔子的变化状况！用课件展示每个月兔子的状况！并请同学们解释每对兔子的来历！ 总结规律;本月兔子的总数= 本月小兔的对数+本月大兔的对数 上上个月的兔子总数+上个月的兔子总数提问:七月：不告诉我们小兔和大兔的对数，你能很快地说出来兔子的总对数？3.引导发现规律，完成剩下月份的推导师：我们一起回顾刚才的过程。将这种结果以表格形式列出：（课件出示）1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月11235813213455891444.请全班一起汇报表中数据。12个月以后会有144对兔子。这就是历史上著名的兔子数列。而我们刚才故事的主人公叫斐波那契,后来这个数列就已他的名字命名为“斐波那契数列”，什么样的数列叫“斐波那契兔子数列”？若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，而这个问题正是斐波那契发现的,所以人们以他的名字命名，也可以叫做“斐波那契兔子数列”，数列的中的数字就叫做斐波那契数.三、介入生活，拓展延伸（课件展示图片，）你知道吗？斐波那契数列在它诞生的近800年间，在自然界里很容易看到斐波那契神秘的身影。尤其是植物似乎对斐波纳契数着了迷。1，斐波那契数：花瓣 1片花瓣的马蹄莲，2片花瓣的鸭跖草，兰花的花瓣是3枚，苹果花瓣是5枚；格桑花的花瓣是8枚，雏菊有的是21瓣，还有的是34瓣、55枚或89枚，其它数目的花瓣的花则很少。而这些花瓣数目正好是“斐波那契数列”当中的“斐波那契数”， 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。这究竟是一种巧合，还是存在这某种必然？这些都有待于我们今后去思考、去探索3 海螺中的奥秘师：瞧！在自然界，有人发现：海螺中的螺纹的半径。就是一个“斐波那契数列。4大树的分叉 树木的生长，也跟他有着密切的联系。由于新生的枝条，往往需要一段“生长”的时间，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段时间，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“长粗”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“长粗的”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次