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南京大学数学分析，高等代数考研真题南京大学2002年数学分析考研试题一 求下列极限。（1）；（2）设，（i）在上的最大值；（ii）设，求。二 设，试证明在内有无穷多个零点。三 设在的某个邻域内连续，且， （1）求； （2）求；（3）证明在点处取得最小值。四 设在的某个邻域内具有二阶连续导数，且，试证明： （1）； （2）级数绝对收敛。五 计算下列积分 （1）求； （2），其中是圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。六 设，在内可导，不恒等于常数，且，试证明：在内至少存在一点，使。七 在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面,第一象限的点,问取何值时，所做的功最大，并求的最大值。八 （1）证明：，； （2）求。南京大学2002年数学分析考研试题解答一 （1）解 . （2）解 （i）,当时，在上单增，当时，在上单减，所以在处达到最大值，；（ii）当时， 单调递增有上界，设，则有，；当时，；当时，二 证明 因为，显然在上连续，由连续函数的介值定理知，存在使得 ，即得在上有无穷多个零点。三 解 （1），因为，所以，于是；（3）由知，存在，当时，即知中在处取得极小值。四 、证明 （1）由，知，由知.（2），已知收敛，其中，于是收敛，结论得证。五 （1）解 ,所以 .（2）解 曲面，事物交线为，其中是区域的边界时，利用高斯公式， . 当是的边界时，利用高斯公式 .六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意，都有，在上单调递减，由于不恒等于常数，所以不恒等于零，存在一点，使得，存在，使得，因为，所以，这与矛盾，从而假设不成立，原结论得证。证法2 由于在上连续，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在内达到。若在处达到最大值，存在使得，从而有；若在处达到最小值，存在使得，从而有；结论得证。七 解 设，则有，所以是有势场，由于时，等号成立当且仅当，所以时，达到最大值，且的最大值为。八 证明 （1）由于当时，有，对任意，取，所以有；（2）取，有，收敛，对任意，在上一致收敛于，故由函数列积分的黎曼控制收敛定理， 。南京大学2003年数学分析考研试题一 求下列极限（1）设，求；（2）设，求。（3）。二 过点作抛物线的切线，求 （1）切线方程； （2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积； （3）该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。三 对任一，求在中的最大值，并证明该最大值对任一，均小于。四 设在上有连续导数，且，（为常数），试证：在内仅有一个零点。五 计算下列积分 （1）设，求和； （2），其中为上半球面，的外侧。六 设，在上黎曼可积， （1）求，并讨论在上的一致收敛性； （2）求，（要说明理由）七 设的收敛半径为，令，试证明：在上一致收敛于，其中为任一有穷闭区间。南京大学2003年数学分析考研试题解答一 （1）解 设，则有，由此知，； （2）解 由归纳法，易知，由此知，单调递增有界，设，则有 ，故。（3） ，故。3 解 （1），设切点为，设切点的切线方程为。将，代入，所求切线方程为，即。（2）解。（3）， 。三 解 ，当时，当时，于是在处达到最大值，。容易证明在上单调递减， 故有.四 证明 对任意，,当充分大时，有，又，由连续函数的介值定理，存在，由，在上严格单调递增，所以在内仅有一个零点。五 （1）解 ，显然，.（2）解 ， .六、解 ，由于极限函数在上不连续，所以在上不一致收敛；但对任何在上一致收敛于0；且，根据控制收敛定理，对于在上黎曼可积， 有 。七、 证明 由条件知在上连续，在任意有限区间上是一致收敛的，对任意有限区间，在上一致收敛于，在上一致有界，再由在上一致连续，于是有在上一致收敛于.
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