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第七章作业评分要求：1. 合计100分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置.1 设R=|x,yN且x+3y=12.【本题合计10分】(1) 求R的集合表达式(列元素法);(2) 求domR, ranR;(3) 求RR;(4) 求R2,3,4,6;(5) 求R3;解(1) R=,【2分】(2) domR=0,3,6,9,12, ranR=0,1,2,3,4【2分】(3) RR=, 【2分】(4) R2,3,4,6=, 【2分】(5) R3=3【2分】2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明:(1)R(FG)=RFRG(2)R(FG)RFRG(3)R(FG)=(RF)G.【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明(1),R(FG) t (xRtt(FG)y)复合定义 t(xRt(tFytGy)定义 t(xRttFy)(xRttGy)对分配律 t(xRttFy)t(xRttGy)对分配律 x(RF)yx(RG)y复合定义 x(RFRG)y定义得证(2),x(R(FG)y t(xRtt(FG)y)复合定义 t(xRt(tFytGy)定义 t(xRttFy)(xRttGy) 幂等律, 交换律, 结合律 t(xRttFy)t(xRttGy)补充的量词推理定律 x(RF)yx(RG)y复合定义 x(RFRG)y定义得证(3),R(FG) s (R(FG)定义 s (Rt (FG)定义 st(RFG)辖域扩张公式 ts(RF)G)存在量词交换 t(s(RF)G)辖域收缩公式 t(RF)G)复合定义 (RF)G复合定义得证3 设F=|xy+20xy20是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.【本题合计10分：每种性质2分-答对得1分，正确说明理由得1分】解 F=|xy+20xy20=|2xy2自反性: xR, F显然.对称性: ,F2xy22yx2F.不具有反自反性: 反例 F不具有反对称性: 反例 ,F, 显然23不具有传递性: 反例 ,F, 但不属于F.4 设A=a,b,c, R=,(1) 给出R的关系矩阵;(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分-答对性质得1分，说明理由得1分】解 (1)R的关系矩阵M(R)为011000000(2)不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1是反自反的: M(R)的主对角线全为0不具有对称性: M(R)不是对称的是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1是传递的: M(R2)如下000000000显然满足: 如果M(R2)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为15 设A, RAA, 证明(1) r(R)=RIA(2) s(R)=RR-1【本题合计12分，每小题6分-证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】证明(1) 只要证明r(R)RIA和RIAr(R)即可先证r(R)RIA: IARIA RIA自反 (自反性的充要条件) r(R)RIA (自反闭包的最小性)再证RIAr(R):Rr(R)IAr(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件) RIAr(R)得证(2) 只要证明s(R)RR-1及RR-1s(R)即可先证s(R)RR-1:(RR-1)-1=RR-1 (理由如下: ,(RR-1)-1 RR-1 (逆运算定义) RR-1 (定义) R-1R (逆运算定义) RR-1 (定义, 交换律)所以 (RR-1)-1=RR-1 ) RR-1是对称的 (对称性的充要条件) s(R)RR-1 (对称闭包的最小性)再证RR-1s(R):Rs(R) (闭包定义) R-1s(R) (后者理由如下:,R-1 R (逆运算定义) s(R) s(R) (s(R)是对称的)所以 R-1s(R) ) RR-1s(R)得证6 设A=a,b,c,d, R=, 用Warshall算法求t(R).【本题合计8分】解 依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】W0=M(R)=0001101010010010【1分】W1=0001101110010010【1分】W2=0001101110010010【1分】W3=0001101110011011【1分】W4=1011101110111011【1分】即t(R)=,.【1分】7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明RR-1是A上的等价关系.【本题合计10分】证明自反性: xA, xRxxR-1x x(RR-1)x【3分】对称性: x,yA, x(RR-1)y xRyxR-1y yR-1xyRx y(RR-1)x【3分】传递性: x,y,zA, x(RR-1)yy(RR-1)z xRyxR-1yyRzyR-1z (xRyyRz)(xR-1yyR-1z) xRzxR-1z x(RR-1)z【4分】得证.8 设A=1,2,3,4, 在AA上定义二元关系R,AA, Ru+y=v+x(1)证明R是AA上的等价关系;(2)确定由R引起的对AA的划分.【本题合计10分】解(1)自反性: AA, R显然成立.【2分】对称性: ,AA,Rx+v=y+uu+y=v+xR【2分】传递性: ,AA,RRx+v=y+uu+t=v+sx+t=y+sR【2分】因此R是AA上的等价关系.(2)根据R的定义, Rx+v=y+uxy=uv, 因此R=|AAuv=xy,【2分】 所以R引起的划分如下: ,【2分】9 设R, S是A=1,2,3,4上的等价关系, 其关系矩阵分别为 【本题合计5分】, . 求包含R与S的最小的等价关系.分析: 设包含R与S的最小等价关系为T，则RT, ST, 所以RS T. 而T是等价关系，根据等价关系的定义，T应该具有自反性、对称性和传递性。由于R与S是等价关系，具有上述三个性质，由第四节关系运算与关系性质的关系知，RS具有自反性、对称性，但不一定有传递性。为此，需要使RS有传递性。又题目要求T是包含RS的最小等价关系，所以，T应是包含RS且具有传递性的最小关系，从而由传递闭包的定义，T应是RS的传递闭包，即T=t(RS)。如此，只需求出MT=Mt(RS)即可。求解过程：，所以（指对应元素逻辑或），【2分】故由Warshall算法，。【3分】10 设R是集合A上的等价关系, |A|=n, |R|=r, |A/R|=t, 证明: rtn2. 【本题合计5分】证 设A/R=B1,B2,Bt, |B1|=x1, |B2|=x2, |Bt|=xt, 显然有1 xin, xiN, 1it.由于A/R是A的划分, 因此 x1+x2+xt = n, (1). 【1分】根据Bi是等价类, 对任意s,tBi, 有R, 从而x12+x22+xt2 = r, (2) 【2分】根据算术-均方根均值不等式有代入(1)(2)可得 rt n2 , 得证. 【2分】
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