梯形典型例题.doc

典型例题例1：已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_思路分析本题是几何中的计算问题通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长解：如图4-50，梯形ABCD中，ADBC，BDBC设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，（熟记梯形面积公式）解得x+y=8，z=8，过D作DEAC交BC的延长线于E四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）DE=AC，AD=CE（将“上底+下底”转化到一条线段上）在RtDBE中，DBE=90，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得，AC=DE，点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”例2：如图4-51，已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE思路分析这是一个直角梯形，通过作CFAB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的证明：如图4-52，连结AC，过C作CFAB于F在CFB和AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）（构造三角形证明三角形全等）CFBAEB（AAS）CF=AED=90，CFAB且ABCD，AD=CF，AD=AE在RtADC和RtAEC中，RtADCRtAEC（HL）CD=CE点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的例3：如图4-53，梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC求证：AC=CE思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法证法一：四边形ABCD是等腰梯形，ADC=BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等）又ABDC，BCD=CBE，（两直线平行，内错角相等）ADC=CBE，在ADC和CBE中，ADCCBE （SAS）AC=CE证法二：如图4-54，连结BD，DCBE，DC=BE，四边形DCEB是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DB=CE又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，（等腰梯形对角线相等）AC=CE证法三：如图4-55，作CFAE于F，DMAE于M在AMD和BFC中，AMDBFC （AAS）AM=BF又ABDC，MDFC，DC=MF又DC=BE，AM+MF=BF+BE，F为AE的中点，CF是AE的垂直平分线，AC=CE证法四：如图4-54，连结BDDCBE，DC=BE，四边形DCEB是平行四边形，DBA=E，（两直线平行，同位角相等）又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，在ABC和BAD中，ABCBAD （SSS）CAB=DBA，CAB=E，AC=CE（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的铝板，第一块长500mm，宽300mm（如图4-57（1），第二块长600mm，宽250mm（如图4-57（2），可供选用（1）为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是_（2）从图4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得第一块铝板面积为：，而零件甲、乙的面积分别为，剩余的边角料的面积是；（2）如图4-58所示正确画出图形（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展）习题精选一、选择题1下列命题中，真命题有( )有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形( )(A)只能作1个 (B)能作2个(C)能作无数个 (D)不能作3在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，E是CD中点，则( )(A)AE=BE (B)AEBE(C)AEBE (D)AE、BE大小不确定4等腰梯形的两底长分别为a、b，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是( )(A)(B) (ab)(c) (D)ab5有两个角相等的梯形是( )A等腰梯形B直角梯形C一般梯形D等腰梯形或直角梯形6已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30，那么另一腰的长为( )A2.5cm B5cm C10cm D15cm7如图4-59，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对（平移对角线BD即可）8如图4-60，ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是( )A130 B140 C150 D160二、填空题9在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AD=a，BC=b，则D=_，CD=_10直角梯形一底与一腰的夹角为30，并且这腰长为6厘米，则另一腰长为_11已知梯形ABCD中，ADBC，ACBC，ACBD于O，AC=8，BD=6，则梯形ABCD的面积为_12已知梯形上、下底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰a的范围是 _，若a为奇数，则此梯形为_梯形13梯形不在同一底上的两组角的比值分别为36和42，则四个角的度数分别为_14等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是_15已知梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，若B=30，AD= 2cm，BC= 6cm，那么梯形的周长为_16已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长的取值范围是_17已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为，则它的对角线长为_cm三、解答题18梯形ABCD中，ADBC，BDDC，若AB=AD=DC，梯形ABCD的周长为10，求梯形ABCD的面积19已知梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=90，E为AD中点，F是BC中点求证：20如图4-61，已知等腰梯形ABCD，ADBC，E为梯形内一点且EA=ED求证：EB=EC21如图4-62，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AEBD求证：BEDBCD22如图4-63，梯形ABCD中，B+C=90，E、F分别为上、下底的中点求证：参考答案：一、1B； 2D； 3A； 4A5D； 6B； 7C； 8C； 二、9100，b-a； 103；1124； 125a9，等腰梯形；1360，60，120，1201460； 15；161x7； 1717；三、18AD=AB=DC 1=2， ADBC， C=2+3，1=3 2=3， C=23 BDDC， 3=30， 设CD=x，则x+x+x+2x=10， x=2在RtBCD中，BD=作DEBC，垂足为E则 ， ， 19过E作EM/AB，EN/CD交BC分别于M、N，则得、，有AE=BM，EN=CD，B=EMC，C=ENB，又B+C=90，则EMC+ENB=90，有MEN=90。又BF=CF，AE=DE，有MF=NF。MN=BC-BM-CN=BC-AE-DE=BC-AD，。20四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，BAD=CDA，EA=ED，EAD=EDA，BAD-EAD=CDA-EDA，即BAE=CDE在BAE和CDE中，BAECDE（SAS）EB=EC21四边形ABDE是等腰梯形，BDE=ABD，AB=DE，又AB=DC，DE=DC，四边形ABCD是矩形，ABD=BDC，BDE=BDC在BED和BCD中BEDBCD22如图，过点E作EG/AB交BC于G，作EH/CD交BC于H，则B=EGC，C=EHB又B+C=90，EGC+EHB=90，GEH=90AD/BC，四边形ABGE和四边形EHCD都是平行四边形AE=BG，ED=HC，又AE=ED，BF=FC，BG+HC=AD，GF=FH，BC-AD=GH，E、F分是上、下底的中点，GH=FH又GEH为直角，EF是直角三角形斜边的中线，（直角三角形的性质）习题精选1一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的2倍，梯形的周长为25，那么它的对角线的长为( )A5 B5C5D3答案：C说明：设该等腰梯形的上底为x，则由题意可知腰也为x，且下底为2x，所以由该梯形的周长为25，可得x+2x+2x = 25，x = 5，如图，则CE = DF，且CE+DF = DCAB = 5，知CE =，因此，C = 60；不难得出1 =2 =3 =ADC =C = 30，所以DBBC，DB = 5，答案为C2如图，线段AC、BD相交于点O，欲使四边形ABCD为等腰梯形，应满足的条件是( )AAO = CO，BO = DOBAO = CO，BO = DO，AOB = 90CAO = DO，BO = CO，ADBCDAO = DO，AOD = 90答案：C说明：由选项A可得四边形为平行四边形；由选项B可得四边形为矩形；则选项C，AO = DO，BO = CO可得AC = BD，由于AOD = 1802DAO，COB = 1802BCO，得出DAO =BCO，因此，AD/BC，又ADBC，所以四边形ABCD为梯形，且对角线AC = BD，即四边形ABCD为等腰梯形，选项C正确；由选项D中的条件无法得出两条对角线相等，所以答案为C3如图，梯形ABCD中，AB/CD，若AD = a，CD = b，AB = a+b，则下列等式一定成立的是( )AA =BBBC = aCBC = bDD = 2B答案：D说明：过点C作CE/AD，则CE = AD = a，AE = CD = b，所以BE = ABAE = a，得出CE = BE，则B =ECB；因此，有D =AEC =B+ECB = 2B成立，答案为D填空题：1如图，直角梯形ABCD中，AD/BC，CD = 8，ADC = 120，则AB的长为_答案：4说明：过点D作DEBC于点E，则AB = DE，由已知ADC = 120，知C = 60，所以RtDEC中，DC = 2EC，得EC = 4，则AB = DE = 42等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是135，则等腰梯形的面积为_答案：4cm2说明：如图，等腰梯形ABCD，AB = 3，CD = 5，ABC = 135，则BCD = 45，过B作BEDC，则BEC为等腰直角三角形，BE = EC，同样过A作AFDC，则有AF = FD，而FD+EC = CDAB = 53 = 2，AF = BE，所以AF = 1，因此，该梯形的面积为(3+5)12 = 4cm2解答题：1如图，AB/CD，AECD，AE = 12，BD = 15，AC = 20，求梯形ABCD的面积分析：过点A作BD的平行线交CD的延长线于点F，得到AFDB，则AB = FD，AF = BD，利用勾股定理分别求出EF、EC的长解：过点A作AF/BD交CD的延长线于点FAB/CD，四边形AFDB是平行四边形AB = FD，AF = BD = 15AECD，AC = 20，AE = 12EF = 9，EC = 16FC = EF+EC = 25S梯形ABCD =(AB+CD)AE =(FD+CD)AE =FCAES梯形ABCD =2512 = 1502如图，在ABC中，ACB = 90，延长BC到点D，使CD =BC，点E、F分别为边AB、AC的中点；求证：四边形EFDB是等腰梯形分析：利用“两腰相等的梯形是等腰梯形”进行证明证明：连结ECE、F分别为AB、AC的中点，EF/BC，EF =BC四边形EFDB是梯形ACB = 90，EC = EB =ABCD =BC，EF =BC，EF/CD且EF = CD四边形EFDC是平行四边形EC = FD，EB = FD四边形EFDB是等腰梯形121 梯形选择题1下列说法正确的是（ ）A梯形的两条对角线相等B有两个内角相等的梯形是等腰梯形C有两条边相等的梯形是等腰梯形D一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形2四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）A任意四边形 B任意梯形 C等腰梯形 D直角梯形3直角梯形的一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（ ）A2：1 B3：1 C4：1 D5：14等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（ ）A50，50，130，130 B60，60，120，120C45，45，135，135 D70，70，110，1105在周长为40cm的梯形中，交BC于E，cm，则的周长为（ ）A40cm B30cm C20cm D15cm6顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形7梯形的上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长为（ ）A31cm B25cm C19cm D28cm8等腰梯形中，与BD相交于点O，图中全等三角形有（ ）A2对 B4对 C1对 D3对9直角梯形中，则和分别是（ ）A30，150 B45，135 C120，60 D150，3010等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（ ）A 60 B120 C135 D150参考答案：1D2D提示：设四个角分别为由四边形的内角和为360知四个角分别是90，90，45，135，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两个角是903D提示：应用直角三角形中，如果一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是304B提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质5B提示：的周长等于梯形周长减去106C提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等7A提示：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍8D提示：与与与全等9D提示：运用直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半10B提示：平移一腰后可得等边三角形121 梯形 填空题1梯形上底长为5cm，过上底的一端点引一腰的平行线与下底相交，若所得三角形的周长为20cm，则梯形的周长为_cm2等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底的一个底角为_3等腰梯形的一个锐角等于60，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是_4一个梯形的面积是24，它的上、下底的长分别是5和7，则梯形的高是_5如图，在梯形中，则6如图，等腰梯形中，若梯形的周长是30cm，则7若等腰梯形的周长是30cm，平分，则8梯形中，则AB的长是_参考答案：130245374456066 60768121 梯形 解答题1如图，梯形中，延长AB到E，使试说明2如图，等腰梯形中，为对角线，延长BC到E，使，连结DE，试判断与相等吗？3如图，等腰梯形中，的平分线恰为BD，已知梯形的周长为50cm，求梯形各边的长4如图，在梯形中，是CD和AB的中点，那么吗？说明你的理由5如图，等腰梯形中，平移腰AB到DE，再将翻折，得到，则6根据下图，填写下表：梯形个数123456周 长5811147在如图所示的梯形中，和BD相交于点O，试说明8如图所示，要剪切如图（1）（长度单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长500mm，宽300mm，如图（2）所示；第二种长600mm，宽250mm，如图（3）所示（1）填空：为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是_mm（2）画图：从图（2）或图（3）中选出所要用的铝板，在图上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来9现有一块梯形土地，想从中修一条笔直小路将这块梯形土地分成面积相等的两部分，你能做到吗？请设计方案参考答案：1由，可得，所以2相等因为是等腰梯形，所以又因为四边形是平行四边形，所以，所以34相等，因此D与C关于MN对称，同理A与B关于MN对称，则AD与BC是轴对称线段，故536 提示：，所以67作高AH，因为，所以，所以，所以8（1）应选用第一种铝板，并且这块铝板最多能剪甲、乙两种零件各2个，即共计4个，剩余的边角料面积为：（2）如图所示9此题的解法是借用了我们熟悉的三角形和平行四边形的等面积法，因此解决此问题的关键是如何将梯形与三角形或平行四边形进行类比，或者如何将梯形变成为等面积的三角形和平行四边形有两种解题方案可供选择（1）将梯形与三角形（或平行四边形）进行类比，可得如下分法：取梯形的上、下底的中点即为所求如图（1）（2）将梯形问题转化为三角形（或平行四边形）的问题，也就是如何将一个梯形转化为一个面积相等的三角形或平行四边形图（2）是将梯形变形为与它面积相等的三角形：取AD的中点E，连结CE并延长交BA的延长线于F，取FB的中点G，连结CG，则CG即为所求图（3）是将梯形变形为与它面积相等的平行四边形：取AD的中点E，过E作，分别交（或它们的延长线）于，在中，过中点O作直线MN使它与线段同时相交即可，直线MN即为所求