函数的连续性的例题与习题(一).doc

函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。要提醒的是，例题里有不少是函数连续性（一）（二）中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设满足，且在连续。证明：在任意点处连续。分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“在任意点处连续”，那么我们就先固定一个点，用函数连续的定义来证明在处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件，也就是，你的脑海里就要想到，如果设，那么就有 ；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：在连续！它意味着：。 证明的思路就此产生！证明：因为 ，取，则有 ，所以。 （#）对于固定的（任意的！），若取，有 ， （+）在（+）式两边取的极限，那么 ， （&）由已知条件：在连续，所以，代入（#）的结果，就有 ，但从（&）知，所以 。根据函数连续的定义E，在任意点处连续。你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。例1.2（例1.21（一）设常数，求的分段表达式，欲使连续，试确定的值。分析：首先要注意，函数不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。 中出现了几个幂函数 ，根据幂函数的性质，的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。（1）： 都趋于零（当时），所以 。（2）： 此时都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数： 。（3）： ；（4）： ， 极限不存在。 故得 。 欲使连续，即使在连续，等价于，故。例1.3 （例1.22（一）证明连续函数的局部保号性：设在处连续，且，那么存在，当时，。分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。证明：因为在处连续，所以对任给的，总存在，使得当时，恒有，也就是 。（+）若取 ，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ；若取，那么就有 。 （不过，此时的中的要变小）当然，你也可以取不同的，当然要变。如果我们只需要证实的值为正，那么取就已经够了。例1.4（例1.23（一） 设在区间上连续并大于零，证明在也连续。分析：我们需要证明的是：在上任取点，对任给的，存在一个，使当时，有。 直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）： 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在的一个邻域中有！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。证明：对任一，是的连续点。由局部保号性，存在的邻域，使得。所以在这个邻域中， ； 由在区间上的连续性知，对于任给，存在，使得当时，有 。 我们取，那么在这个更小的邻域中，（即）有 ，则有函数的连续的定义知， 是函数的连续点；又由的任意性，得在区间也连续。例1.5 确定之值，使函数在内连续。解：在和两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使在整个实数域中连续，只需确定在的连续性条件。 在有定义，所以我们只需考虑它在的极限。 ；由此得方程 ， 容易解得： ，而对参数，连续性条件对它没有任何限制，所以可取任何实数。例1.6 设，求之值，使在实数域上连续。解：两个函数的定义域不同，所以它们之和这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需要考虑3个区间： 。现在可以对2个分界点处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）： ， ， 故有方程 ， （1）又 ， ， 又有方程 ， （2）联立（1）（2），解得 。练习题1 设满足条件：，有，且在处连续。求证在整个实数域连续。练习题2 设，求之值，使在实数域上连续。二函数的间断点 这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。例2.1 考察函数 的间断点，判别其类型。解： 函数在有定义，但是 ，所以在的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。例2.2 考察函数 的间断点，判别其类型。解：函数在有定义，但不存在，这是因为时，不存在；又，这是因为在极限过程中是有界量，。 所以 是函数的第二类间断点。例2.3 求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。（1）； （2）。解：（1） 都是使函数没有定义的点，故是间断点。 由于 ，所以是函数的无穷间断点（第二类）。 又 ， 是个确定的值，极限存在，所以是可移去间断点，加以补充定义： 后函数在连续。但是要注意的是，仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在仍然间断。（2）显然，是使函数没有定义的点，所以是间断点。， 故 是无穷间断点（第二类）。， 故 是可去间断点（第一类），补充定义 后，函数在连续。，可见 也是可去间断点（第一类），补充定义 后，函数在连续。例2.4 讨论下列函数的间断点： （1） ； （2）。解：（1） 使函数无定义（对无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。 ， （因为 ） ， （因为） 左，右极限存在，却不相等，故是跳跃型间断点（第一类）。（2）处没有定义，故为间断点。 ， ，可见，处函数的左，右极限都存在，且相等，故是可去间断点（第一类）。例2.5 根据的不同数值，讨论在处的连续性，若间断，判别属于何种间断点： 。解： ， （请你讲出理由） ， 且 所以，当，且 时，在的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在连续； 当，且时，在间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点； 当时，在左连续，右间断，故属于第二类间断点。例2.6 （1998年考研题数二）求函数 在区间内的间断点，并判别其类型。解： 当时，使成为无穷大，没有定义，故是的间断点； 因为 ， 故 ； ， 故 ， 所以，在间断点，函数的极限存在，是第一类间断点。 又因当时，使得没有定义，从而函数在这些点没有定义，因此也是函数的间断点。 ， 故 ；， 故 所以，间断点属于第二类间断点。例2.7 （2001年考研题数二）求极限 ，记此极限为，求出的间断点，并指出其间断点的类型。分析：本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数。解： 至此，可以看出这是一个型的极限。这是我们已经很熟悉的问题了，做下去 。所以下面我们讨论函数 的间断点。 显然，使的点是使得没有定义的点，即是的间断点。 因为 ， ， 所以，是第一类间断点，而是第二类间断点。练习题3 设 在处连续，求参数之值。练习题4 设在上连续，且 ，则常数应满足（ ）：A； B. ; C. ; D. .练习题5 （1995年考研题数二） 设和在上有定义，为连续函数，且，有间断点，则（ ）：A 必定有间断点； B. 必定有间断点；B 必定有间断点； D. 必定有间断点。（请你举出例子来验证你的结论）练习题6 （1998年考研题数四）设函数，讨论的间断点，结论为（ ）A不存在间断点； B. 存在间断点； C. 存在间断点； D. 存在间断点