数学分析1期末考试讲解.doc

数学分析题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列满足且，则为【 】A、0 B、1 C、 D、22、已知 则是的【 】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知，则在处【 】A、左可导 B、右可导 C、可微 D、不连续4、若存在，下列说法一定正确的是【 】A、在的任一邻域内有界B、在的某一邻域内无界C、在的某一邻域内有界D、在的任一邻域内无界5、若在处连续，并且，则【 】A、且存在 B、且存在C、且存在D、且存在6、若在点处存在左、右导数，则在点处必然【 】A、可导B、不可导C、连续D、不连续7、下列叙述错误的是【 】A、若在点可导，则在点可微；B、若在点可导，则在点连续；C、若在点可导，则；D、设在点可导，则是极值点当仅当.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 二、填空题（每小题3分，共21分）1、 2、曲线上平行于直线的切线的方程为 3、设，则 4、曲线的斜渐近线为 5、函数的极小值点 _ _6、已知当时与等价，则 7、 参考答案：1. ；2. ；3. 5；4. ；5. 4；6. 1；7. 三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算.1、计算解：设，由于， ， ，（4分）由夹逼性，即原极限为1。（6分）2. 求极限 3. 已知任意次可微，求的二阶微分.3. 已知任意次可微，求的.解：令，则， （2分）所以， （6分）4. 求方程所确定的函数的导数.4.求方程所确定的函数的导数.5. 设，求.解：对等式两端取对数，（1分）再对上式两端分别求导， （4分） （5分）所以，6. 求由方程所确定的函数的微分.解：在方程两端对求导，得. （3分）解此方程，得。 （4分） 所以，。 （6分）四、综合题（3小题，共29分）1. 叙述证明题（4小题，共14分）（1）叙述（有限）的定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3分）（3）叙述在区间内一致连续的定义；（3分）（4）证明在上一致连续。（5分）解：（1）（有限）的定义：对任意给定的，存在正整数，当时，有。 （3分）（2）数列的柯西（Cauchy）收敛原理：数列收敛的充要条件是是一个基本数列。（3分）（3）在区间内一致连续的定义：若在区间内满足对任意的，存在，使得对内任意两点与，当时，总有，则称在区间内一致连续。 （3分）（4）证明：对任意，由于故对任意的，取，则对内任意两点与，当时，总有，即在上一致连续。 （5分）2. 证明：当时，.（7分）证明：（1）证明. 根据Lagrange中值定理，（2分）由于，所以。 （3分）（2）证明. 令，则，（2分）当时，严格单调递减，由，知，从而。 （4分）3. 设在区间可导，且，证明：（1）存在使得；（5分）（2）在内至少有两个零点。（3分）证明：（1）由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有；由，存在，使当时，有，此时，。在中去一点，有。（3分）于是，。由在可导，在连续，由中间值定理，存在，使得。（5分）（2）由罗尔（Rolle）定理，在内至少存在一点使得，在内至少存在一点使得。故在内至少有两个零点。（8分）