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1.4几何中的最值问题 典例有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a2x，高为x，V(x)(a2x)2x,0x.即V(x)4x34ax2a2x,0x.实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点为此，先求V(x)的极值点在开区间内，V(x)12x28axa2.令V(x)0，得12x28axa20.解得x1a，x2a(舍去)x1a在区间内，x1可能是极值点且当0x0；当x1x时，V(x)0.因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以xa是V(x)的最大值点即当截下的小正方形边长为a时，容积最大1利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论2几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验活学活用1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0得S6r2，h2r，因为V(r)只有一个极值点，故当h2r时圆柱的容积量大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.答案：2将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解：设弯成圆的一段长为x(0x100)，另一段长为100x，记正方形与圆的面积之和为S，则S22(0x100)，则S(100x)令S0，则x.由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x cm时，面积之和最小故当截得弯成圆的一段长为 cm时，两种图形面积之和最小用料、费用最少问题典例某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解 (1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答活学活用某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度为y2x(x0)，y2，令y0，x0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.利润最大问题典例某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数 活学活用工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0cc时，p，yx3x0；当0xc时，p，yx3x.日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数，且0cc时，日盈利额为0.当0xc时，y，y，令y0，得x3或x9(舍去)，当0c0，y在区间(0，c上单调递增，y最大值f(c).当3c0，在(3，c)上，y0，y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y最大值f(3).综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大4设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B2C. D.V解析：选C设底面边长为x，则高为h，S表3x2x2x2，S表x，令S表0，得x.经检验知，当x时，S表取得最小值5内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R解析：选C设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR. 当0h0；当h2R时，V0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值答案：259为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元10某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1p)因为次品率p，当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0得x16或x32(舍去)当0x16时，T0；当x16时，T0；所以当x16时，T最大即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利层级二应试能力达标1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：选Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)，当0x9时，y0；当x9时，y0. 所以当x9时，y取得最大值2若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S2r1t2r124r1.S4. 令(r2rr)0得r1r.此时S4r4rr2r2.3某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200x)件，要使利润最大每件定价为()A80元 B85元C90元 D95元解析：选B设每件商品定价x元，依题意可得利润为Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2x170，令2x1700，解得x85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大4内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.和R B.R和RC.R和R D以上都不对解析：选B设矩形的宽为x，则长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0x0，当RxR时，l0，所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.5某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所以当x2时，V最大答案：27某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(收益销售额投入)解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0，当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大8统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，22.5，a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0,80)时，h(x)0，故当x(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x(80,120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为a200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米 (时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以正弦曲线ysin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.B0，)C. D.解析：选Aycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是.2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个 B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点3函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.4函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.5.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.6定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)18(本小题满分15分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x2时，S(x)0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以当x2时，函数S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6万元所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元19(本小题满分15分)已知函数f(x)ax22ln(1x)(a为常数)(1)若f(x)在x1处有极值，求a的值并判断x1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在3，2上是增函数，求a的取值范围解：(1)f(x)2ax，x(，1)，f(1)2a10，所以a.f(x)x.x0，x20，因此，当x0，当1x1时f(x)0，x1是f(x)的极大值点(2)由题意f(x)0在x3，2上恒成立，即2ax0在x3，2上恒成立a在x3，2上恒成立，x2x2 12，6，min，a.即a的取值范围为.20(本小题满分15分)已知函数f(x)x(t0)和点P(1,0)，过点P作曲线yf(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)(1)求证：x1，x2为关于x的方程x22txt0的两根；(2)设|MN|g(t)，求函数g(t)的表达式；(3)在(2)的条件下，若在区间2,16内总存在m1个实数a1，a2，am1(可以相同)，使得不等式g(a1)g(a2)g(am)g(am1)成立，求m的最大值解：(1)证明：由题意可知：y1x1，y2x2f(x)1，切线PM的方程为：y(xx1)，又切线PM过点P(1,0)，0(1x1)，即x2tx1t0，同理，由切线PN也过点P(1,0)，得x2tx2t0.由，可得x1，x2是方程x22txt0(*)的两根(2)由(*)知|MN|，g(t)(t0)(3)易知g(t)在区间2,16上为增函数，g(2)g(ai)g(16)(i1,2，m1)，则mg(2)g(a1)g(a2)g(am)g(am1)g(16)即mg(2)g(16)，即m，所以m ，由于m为正整数，所以m6.又当m6时，存在a1a2a62，a716满足条件，所以m的最大值为6.
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