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第一部分 保分专题三 空间位置与空间计算A组小题提速练一、选择题1已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件答案：B2已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()A BC D解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确答案：B3.如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.答案：B4已知，表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：若b，a，则“ab”是“a”的充分不必要条件；若a，b，则“”是“a且b”的充要条件判断正确的是()A都是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D都是假命题解析：若b，a，ab，则由线面平行的判定定理可得a，反过来，若b，a，a，则a，b可能平行或异面，则b，a，“ab”是“a”的充分不必要条件，是真命题；若a，b，则由面面平行的性质可得a，b，反过来，若a，b，a，b，则，可能平行或相交，则a，b，则“”是“a，b”的充分不必要条件，是假命题，选项B正确答案：B5.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错故选B.答案：B6在下列四个正方体中，能得出异面直线ABCD的是()解析：对于A，作出过AB的平面ABE，如图，可得直线CD与平面ABE垂直，根据线面垂直的性质知，ABCD成立，故A正确；对于B，作出过AB的等边三角形ABE，如图，将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于60，故B不成立；对于C、D，将CD平移至经过点B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故C和D均不成立故选A.答案：A7(2018贵阳一中适应性考试)已知l为平面内的一条直线，表示两个不同的平面，则“ ”是“l ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若l为平面内的一条直线且l，则，反过来则不一定成立，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选B.答案：B8(2018广州模拟)用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，ac，则bc；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()ABC D解析：对于，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足ab，bc，但是ac，所以错误；对于，若ab，ac，则bc，满足平行线公理，所以正确；对于，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；对于，由垂直于同一平面的两条直线平行，知正确故选D.答案：D9.(2018菏泽模拟)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A异面B平行C相交D以上均有可能解析：在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.故选B.答案：B10.(2018贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心解析：由题意可知PA、PE、PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O为AEF的垂心故选A.答案：A11已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A0条B1条C2条 D无数条解析：如图所示，作平面KSHG平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D.答案：D12如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()ABM是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CDMB平面A1DE解析：取CD的中点F，连接MF，BF，AF(图略)，则MFDA1，BFDE，平面MBF平面A1DE，MB平面A1DE，故D正确A1DEMFB，MFA1D，FBDE，由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB，MB是定值，故A正确B是定点，BM是定值，M在以B为球心，MB为半径的球上，故B正确A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线，不可能与DE垂直，不存在某个位置，使DEA1C.故选C.答案：C二、填空题13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(把你认为正确结论的序号都填上)解析：AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60.答案：14如图是一个正方体的平面展开图在这个正方体中，BM与ED是异面直线；CN与BE平行；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然正确；对于，连接AN，易得ANBM，ANC60，所以CN与BM成60角，所以正确；对于，易知DM平面BCN，所以DMBN正确答案：15.如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确命题的序号是_解析：PAO所在的平面，AB是O的直径，CBPA，CBAC，又PAACA，CB平面PAC.又AF平面PAC，CBAF.又F是点A在PC上的射影，AFPC，又PCBCC，PC，BC平面PBC，AF平面PBC，故正确又E为A在PB上的射影，AEPB，PB平面AEF，故正确而AF平面PCB，AE不可能垂直于平面PBC.故错答案：16如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为_解析：如图所示，延长DA至E，使AEDA，连接PE，BE.ABCBAD90，BC2AD，DEBC，DEBC.四边形CBED为平行四边形，CDBE.PBE就是异面直线CD与PB所成的角在PAE中，AEPA，PAE120，由余弦定理，得PE AE.在ABE中，AEAB，BAE90，BEAE.PAB是等边三角形，PBABAE，PB2BE2AE22AE23AE2PE2，PBE90.答案：90B组大题规范练1(2018临沂模拟)如图，在矩形ABCD中，AB，BC4，E是边AD上一点，且AE3，把ABE沿BE翻折，使得点A到A满足平面ABE与平面BCDE垂直(如图)(1)若点P在棱AC上，且CP3PA，求证：DP平面ABE；(2)求二面角BAED的余弦值的大小解析：(1)证明：过P作PQBC交AB于点Q.如图所示因为CP3PA，所以，因为BC4，所以PQ1，因为DEBC，DE1，所以DE綊PQ，所以四边形QEDP为平行四边形，所以DPEQ.因为DP平面ABE，EQ平面ABE，所以DP平面ABE.(2)如图，过A作AFBE于点F，因为平面ABE平面BCDE.所以AF平面BCDE.因为BAE90，AB，AE3，所以AEB30，AF，EF，过F作FGDE交DE的延长线于点G，则FG，EG.如图，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(4，0)，C(0，0)，A，F，则，(1,0,0)设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则即可取n(1，0)设平面ADE的法向量m(x1，y1，z1)，则即可取m(0,2，)所以cosm，n.因为二面角BAED为钝角，所以二面角BAED的余弦值的大小为.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解析：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为底面ABCD是正方形，所以OEAD.以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z.于是n(1,1，)又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA的大小为60.(3)由题意知M，C(2,4,0)，则.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.3.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求证：AD平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值解析：(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.(2)由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP(0)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1)设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得取y1，则n1(，1，)n2(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，cos .0，当时，cos 有最大值，的最小值为60.4.在三棱锥PABC中，PAPBPC2，BC1，AC，ACBC.(1)求点B到平面PAC的距离(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值解析：(1)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，取AB的中点D，连接PD，DC，因为ACB为直角三角形且AC，BC1，所以AB2，故DC1，所以PAB为正三角形，所以PDAB且PD，在PDC中，PC2，PD，DC1，所以PC2PD2DC2，所以PDDC，又ABDCD，所以PD平面ABC.则A(，0,0)，B(0,1,0)，D，P，C(0,0,0)，(，0,0)，(0,1,0)，设平面PAC的法向量n(x，y，z)，则取y2，得n(0,2，1)，所以点B到平面PAC的距离d.(2)，(0，1,0)，设异面直线PA与BC所成角为，cos .所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为. (二)A组小题提速练一、选择题1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A6B3C2 D3解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以几何体的体积VSh33.答案：B2某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为()A9224 B8224C9214 D8214解析：依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是5、4、4，圆柱的底面半径是2，高是5，因此该几何体的表面积等于3(45)2(44)22(22)59214，故选C.答案：C3如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21C23 D32解析：由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是11，故选A.答案：A4已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256解析：如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为AOB90，所以SOABR2，要使VOABCSOABh最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VOABC)maxR2RR336，此时R6，所以球O的表面积为S球4R2144.故选C.答案：C5在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.答案：B6已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B.C. D.解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，所以SA；同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB(图略)，因为SACSBC，所以BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因为ASC30，所以ADSA，则ABD的面积为1 ，则三棱锥的体积为2.答案：A7四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于()A. B.C16 D.解析：依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的底面边长为a、高为h，则有hR，即h的最大值是R，又AC2R，则四棱锥SABCD的体积VSABCD2R2h.因此，当四棱锥SABCD的体积最大，即hR时，其表面积等于(R)24R 88，解得R2，因此球O的体积等于，选A.答案：A8已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为()A4 B8C12 D16解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VPABC2VOABC2SABCd12d，解得d，又R2d2()21，所以球O的表面积等于4R24，选A.答案：A9已知RtABC，其三边长分别为a，b，c(abc)分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则它们的关系为()AS1S2S3，V1V2V3BS1S2S3，V1V2S2S3，V1V2V3DS1S2bc，可得S1S2S3，V1V2V3.答案：B10正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的半径为()A. B.C2 D.解析：球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O的直线上，也在平面ADO中AD的垂直平分线上，如图OEOD1，DEAD2，故所求外接球的半径r .答案：B11已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC，AC2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为()A. B8C. D.解析：ABBC，AC2，ABC是直角三角形，ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1平面ABC，点D是直线OO1与球上方的交点时体积最大设球的半径为R，则由体积公式有O1D2.在RtAOO1中，R21(2R)2，解得R，故球的表面积S，故选C.答案：C12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A. B.C. D.解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，则平面A1MN平面AEF，所以点P位于线段MN上在A1MN中，A1MA1N ，MN.当点P位于点M，N时，A1P最大，为；当点P位于MN的中点时，A1P最小，为，所以A1P.答案：B二、填空题13若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的正弦值为_解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，母线与轴所成角为，则S侧2r，S底r2，因为S侧3S底，所以r3r2，得3r，即8r2h2，所以tan ，sin .答案：14已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3.蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为_解析：将三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开如图所示，则有AA13，AA13.所以蚂蚁爬过的路程最短为AA1.答案：315如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1、D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_.解析：平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ，设PQABM，ABCD，APMDPQ.，即PQ2PM.又知APMADB，PMBD，又BDa，PQa.答案：a16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点若平面PAD平面ABCD，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，则四棱锥PABCD与三棱锥PQBM的体积之比是_解析：过点M作MHBC交PB于点H.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD，PQ平面ABCD.PAPDADAB2，BAD60，PQBQ.VPABCDPQS菱形ABCD22.又PQBC，BQAD，ADBC.BQBC，又QBQPQ，BC平面PQB，由MHBC，MH平面PQB，BC2，MH，VPQBMVMPQB，VPABCDVPQBM31.答案：31B组大题规范练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12，E为棱CC1的中点(1)求证：B1D1AE；(2)求证：AC平面B1DE.证明：(1)连接BD，则BDB1D1.四边形ABCD是正方形，ACBD.CE平面ABCD，CEBD.又ACCEC，BD平面ACE.AE平面ACE，BDAE，B1D1AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FCB1E，CF平面B1DE.E，F是CC1，BB1的中点，EF綊BC.又BC綊AD，EF綊AD，四边形ADEF是平行四边形，AFED.AF平面B1DE，ED平面B1DE，AF平面B1DE.AFCFF，平面ACF平面B1DE.又AC平面ACF，AC平面B1DE.2.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD1，点E，F分别为AB和PD的中点(1)求证：直线AF平面PEC；(2)求三棱锥PBEF的表面积解析：(1)证明：作FMCD交PC于M，连接ME.点F为PD的中点，FM綊CD，又AE綊CD，AE綊FM，四边形AEMF为平行四边形，AFEM，AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC.(2)连接ED，BD，可知EDAB，ABPE，ABFE，故SPEFPFED；SPBFPFBD1；SPBEPEBE；SBEFEFEB1.因此三棱锥PBEF的表面积SPBEFSPEFSPBFSPBESBEF.4如图，在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点(1)求证：EF平面C1CDD1；(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG平面A1BC1？若存在，求点G到平面C1DF的距离；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：取BC的中点M，连接EM，FM，E，F分别是AD，BC1的中点，EMDC，FMC1C，EM平面EFM，FM平面EFM，EMFMM，DC平面C1CDD1，C1C平面C1CDD1，DCC1CC，平面EFM平面C1CDD1，而EF平面EFM，EF平面C1CDD1.(2)取A1B的中点G，连接EG，EA1，EB，易知EA1EB，而G为中点，EGA1B.连接FG，则FGA1C1，正方体棱长为1，在A1BC1中，FGA1C1.在RtFME中，EF，在RtEAG中，EG，FG2EG2FE2，即EGFG，故EGA1C1，又A1B，A1C1平面A1BC1，A1BA1C1A1，EG平面A1BC1.点G到平面C1DF的距离就是点G到平面C1DB的距离GAC1D，GA平面C1DB，点G到平面C1DB的距离就是点A到平面C1DB的距离易知SBDC1，SABD，点C1到平面ABD的距离为1，设点G到平面C1DF的距离为d，由VC1ABDVABDC1得1SABDdSBDC1，即d，d，即点G到平面C1DF的距离为.
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