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课时达标检测（三十二） 基本不等式小题对点练点点落实对点练(一)利用基本不等式求最值1(2018河北衡水中学调研)若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8B6 C4D2解析：选C由a0，b0，lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)222 4，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.2若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2B2,0C2，)D(，2解析：选D12x2y22，2xy，得xy2.3(2018江西九校联考)若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为()A1B1C1D解析：选A由(2xy1)2(5y2)(y2)，可得(2xy1)29y2(2y2)2，即(2xy1)2(2y2)29y2，得229，又22，当且仅当2x2时等号成立，所以218，得2x32，所以x，所以x的最大值为1.故选A.4(2018邯郸模拟)设x0，y0，且2，则当x取最小值时，x2_.解析：x0，y0，当x取最小值时，2取得最小值，2x2，又2，x2，22 16，x4，当且仅当，即x2y时取等号，当x取最小值时，x2y，x216，x216，x216412.答案：125(2018天津模拟)已知x，y为正实数，则的最小值为_解析：x，y为正实数，则11，令t，则t0，t1t2，当且仅当t时取等号的最小值为.答案：对点练(二)基本不等式的综合问题1(2018辽宁师大附中模拟)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为()A2B4 C8D16解析：选C当x2时，yloga111，函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点(2，1)，即A(2，1)点A在直线mxny10上，2mn10，即2mn1.m0，n0，22428，当且仅当m，n时取等号故选C.2(2018海淀期末)当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围为()A2,0)(0,4B4,0)(0,2C4,2D2,4解析：选D因为0m，所以2m(12m)2，当且仅当2m12m，即m时取等号，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以实数k的取值范围是2,4故选D.3(2018湘潭模拟)设a，bp，cxy，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是()A(1,3)B(1,2C.D解析：选A对任意的正实数x，y，由于a，当且仅当xy时等号成立，bp，cxy2，当且仅当xy时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，解得1p0，所以c0，则2 1，当且仅当ac2时等号成立，故选B.5(2018江西八校联考)已知点P(x，y)到点A(0,4)和到点B(2,0)的距离相等，则2x4y的最小值为_解析：由题意得，x2(y4)2(x2)2y2，整理得x2y3，2x4y224，当且仅当x2y时等号成立，故2x4y的最小值为4.答案：46(2018湖南长郡中学月考)设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S20174 034，则的最小值为_解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 0174 034，则a1a2 0174.由等差数列的性质得a9a2 0094，所以4，当且仅当a2 0093a9时等号成立答案：47.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_.解析：设横断面的高为h，由题意得ADBC2BCx，hx，9(ADBC)h(2BCx)x，故BC，由得2x6，yBC2x(2x6)，从而y2 6，当且仅当(2x6)，即x2时等号成立答案：2大题综合练迁移贯通1设a，bR，a2b22，求的最小值解：由题意知a2b22，a21b214，(a21b21)，当且仅当，即a2，b2时等号成立，的最小值为.2(2018河北唐山模拟)已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值(2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由解：(1)因为2，当且仅当xy1时，等号成立，所以的最小值为2.(2)不存在理由如下：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2.从而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y满足(x1)(y1)5.3某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x450，所以2x2 240，当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
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