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考点规范练10函数与方程基础巩固组1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:x1234567f(x)239-711-5-12-26则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A.5个B.4个C.3个D.2个答案C解析由题意知f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,因此函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点.故函数f(x)在区间1,6上至少有3个零点.2.(2017江西赣中南五校联考)函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,0)答案D解析由于f(-1)=-230,f(-1)f(0)0.则f(x)在(-1,0)内有零点.3.设f(x)=1-(x-a)(x-b)(ab),m,n为y=f(x)的两个零点,且mn,则a,b,m,n的大小关系是()A.amnbB.mabnC.abmnD.mnab答案B解析由题意得,a,b是函数g(x)=(x-a)(x-b)的两根,而m,n相当于y=g(x)与y=1的两交点的横坐标,二次函数g(x)=(x-a)(x-b)开口向上,故a,b,m,n的大小关系是mabn,故选B.4.函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案C解析因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,所以0a3.5.若函数f(x)=1-|x-1|,x(-,2),12f(x-2),x2,+),则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为()A.4B.5C.6D.7答案C解析函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数等于函数y=f(x)与函数y=1x的图象交点的个数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示,由图可知函数y=f(x)与函数y=1x的图象共有6个交点.故函数F(x)=xf(x)-1的零点个数为6.6.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有负根,则m的取值范围是.答案4,+)解析方程x2+(m+2)x+m+5=0只有负根,所以=(m+2)2-4(m+5)0,-(m+2)0,解得m4.7.设函数f(x)=2x(x0),log2x(x0),函数y=ff(x)-1的零点个数为.答案2解析由y=1,得x=0或x=2,因此f(x)=0或f(x)=2,从而x=1或x=4,即零点只有两个.8.已知函数f(x)=2x-a,x0,2x-1,x0(aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是.答案(0,1解析因为当x0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=12.所以要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-,0上有唯一实数解.又当x(-,0时,2x(0,1,且y=2x在(-,0上单调递增,故所求a的取值范围是(0,1.能力提升组9.(2018浙江嘉兴高三模拟)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)()A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1答案D解析f(x)=x2+bx+c,f(m-1)+f(m+1)=(m-1)2+b(m-1)+c+(m+1)2+b(m+1)+c=2m2+2bm+2c+2=2+2(m2+bm+c)=2+2f(m),f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,f(m)0,f(m-1)+f(m+1)2,即f(m-1)和f(m+1)至少有一个小于1,故选D.10.已知函数f(x)=|x|x+2-kx2(xR)有四个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.k0B.k1C.0k1答案D解析因为x=0是函数f(x)的零点,则函数f(x)=|x|x+2-kx2(kR)有四个不同的零点,等价于方程k=1|x|(x+2)有三个不同的根,即方程1k=|x|(x+2)有三个不同的根.记函数g(x)=|x|(x+2)=x2+2x(x0),-x2-2x(x0).作图(略)由题意y=1k与y=g(x)有三个不同的交点,由知01k1,故选D.11.(2018浙江丽水高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(mR)恰有4个零点,则m的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.-1,0D.(-1,0答案A解析已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,可以画出图象如图所示,函数g(x)=f(x)-m(mR)恰有4个零点等价于y=m与y=f(x)有四个交点,显然m(-1,0).故选A.12.若关于x的方程x|x-a|=a有三个不相同的实根,则实数a的取值范围为()A.(0,4)B.(-4,0)C.(-,-4)(4,+)D.(-4,0)(0,4)答案C解析因为本题是选择题,答案又都是范围,所以可采用特殊值代入法.取a=2时,关于x的方程x|x-a|=a转化为x|x-2|=2,即为当x2时,就转化为x(x-2)=2x=1+3或x=1-3(舍),有一根1+3.当x2时,就转化为x(x-2)=-2x不存在,无根.所以a=2时有1个根不成立.排除答案A,D.同理可代入a=-2解得方程的根有1个,不成立.排除答案B.故选C.13.设x表示不大于x的最大整数,则函数y=lg x-1-2lg x+1的零点之积为()A.10B.1010C.-10D.0答案B解析令t=lgx,函数y=lgx-1-2lgx+1即转化为y=t-1-2t+1的零点问题,也即方程t-1=2t-1的解的个数问题,作出图象如下:易知t1=0,t2=-12,所以函数y=lgx-1-2lgx+1的零点分别为x=1或1010,所以函数y=lgx-1-2lgx+1的零点之积为1010.14.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,则方程|f(x)-g(x)|=2的实根个数为.答案4解析当f(x)=g(x)+2时,则y=g(x)+2=2,01,在同一直角坐标系中画出函数y=f(x)=|lnx|,y=g(x)+2=2,01的图象如右图,则两图象有3个交点,即方程有3个实数根;当f(x)=g(x)-2时,则y=g(x)-2=-2,01,在同一直角坐标系中画出函数y=f(x)=|lnx|,y=g(x)+2=-2,01的图象如下图,则两图象有1个交点,即方程有1个实数根.所以方程共有4个实数根.15.设f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在区间1,2上有零点,求m的取值范围.解令F(x)=0,即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0,则m=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22x-12x+1=log21-22x+1.1x2,32x+15.2522x+123.131-22x+135.log213log21-22x+1log235,即log213mlog235.16.已知函数f(x)=x2-(a+1)x-4(a+5),g(x)=ax2-x+5,其中aR.(1)若函数f(x),g(x)存在相同的零点,求a的值;(2)若存在两个正整数m,n,当x0(m,n)时,有f(x0)0与g(x0)0同时成立,求n的最大值及n取最大值时a的取值范围.解(1)f(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)x-(a+5),f(x)=0的两根为x1=-4,x2=a+5.由g(-4)=16a+9=0,得a=-916;由g(a+5)=a(a+5)2-1=0,解得a=0或a=-4或a=-6.经检验上述a的值均符合题意,a的值为-6,-4,-916,0.(2)令f(x)0,m,n均为正整数,-4x0,即a-5.记集合N=(0,a+5).令g(x)0,设ax2-x+50的解集为M,则由题意得区间(m,n)(MN).当a0,只能g(a+5)=a(a+5)2-1-4或a-5,-4a0,此时na+55.m,nZ,mn4.当且仅当-4a0,4a+50时,因为g(0)=50,g(a+5)=a(a+5)2-10,故只能012a0,无解.综上可知,n的最大整数值为4,此时a的取值范围为-1,-29.
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