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第19练圆锥曲线热点问题明晰考情1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度考点一直线与圆锥曲线方法技巧对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成xmyb(斜率不为0)的形式(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.1已知F是椭圆1的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)两点(1)若x1x23，求弦AB的长；(2)O为坐标原点，AOB，满足3tan4，求直线l的方程解(1)由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，联立得(3k21)x212k2x12k260，0显然成立x1x23，3，k21，则x1x2，|AB|x1x2|.(2)3tan4，|sin，SAOB，即2|y1y2|，由题意知，l的斜率不为0，故设直线l的方程为xmy2，联立得(m23)y24my20，0显然成立y1y2，y1y2，(y1y2)24y1y2，即m43m20，m0或m，直线l的方程为x2或xy20.2设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y，得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7或m1(舍)所以直线AB的方程为xy70.3设椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程解(1)设点F的坐标为(c，0)，依题意，得，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点P，故点Q.将xmy1与x21联立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由点B异于点A，可得点B，由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0，令y0，解得x，故点D.所以|AD|1.又因为APD的面积为，故，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m.所以直线AP的方程为3xy30或3xy30.考点二圆锥曲线中的范围、最值问题方法技巧求圆锥曲线中范围、最值的主要方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围4已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，椭圆E的方程为1，A(2,0)由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意知t3，k0，A(，0)，设M(x1，y1)，将直线AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()，得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得kb0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为2yx40.6(2016浙江)如图所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2，2t)，t0，t1，B(xB，yB)AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40，0显然成立故2tyB4，yB，B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y.N.设M(m，0)，由A，M，N三点共线得，于是m2，m2.经检验知，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)考点三圆锥曲线中的证明问题方法技巧圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向7(2018全国) 设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1,0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为yx或yx.即xy20或xy20.(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.将yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，由题意知0恒成立，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0，从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB.8已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P作PMy轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ONEN.(1)解由题设知焦距为2，所以c. 又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得1，因为a2b2c2，解得a2，b1, 故所求椭圆C的方程是y21. (2)证明设P(x0，y0)，x00，则M(0，y0)，N.因为点P在椭圆C上，所以y1.即x44y. 又B2(0,1)，所以直线B2N的方程为y1x.令y1，得x，所以D.又B1(0，1)，E为线段B1D的中点，所以E. 所以，.因为y0(y01)yy01y01y01y00，所以，即ONEN.9已知抛物线C：y22px过点P(1,1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点(1)解由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p，所以抛物线C的方程为y2x，抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.(4k4)216k216k232k1616k232k160，所以kb0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，O为坐标原点，求OCD的面积解(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以.因为椭圆的离心率为，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知F(1,0)，则直线CD的方程为yk(x1)联立消去y得(23k2)x26k2x3k260.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k.从而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|.而原点O到直线CD的距离d，所以OCD的面积S|CD|d.3(2018金华浦江适应性考试)如图，设椭圆C：1(ab0)，左、右焦点为F1，F2，上顶点为D，离心率为，且2.(1)求椭圆C的方程；(2)设E是x轴正半轴上的一点，过点E任作直线l与C相交于A，B两点，如果是定值，试确定点E的位置，并求SDAESDBE的最大值解(1)由题意知，D(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，由e，得.由2，得c2b22，又a2b2c2，a，b，c2.椭圆C的方程为1.(2)当l的斜率不为0时，设AB的方程为xtym，由消去x，得(t23)y22tmym260，4t2m24(m26)(t23)4(6t2183m2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2，y1y2，m，它满足0，E(，0)，为定值2.当E为(，0)，l：y0时，满足2，此时SDAESDBE()().当l的斜率不为0时，y1y2，y1y2，由D到AB的距离d，|AE|y1|，|BE|y2|，得SDAESDBEd|AE|.令ut，则t，则SDAESDBE，当且仅当，即u3，t时，等号成立故(SDAESDBE)max.4(2017浙江)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x.所以直线AP斜率的取值范围为(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3，令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.
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