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4.5三角函数的图象和性质A组基础题组1.函数y=3-2sin2x的最小正周期为() A.2B.C.2D.4答案By=3-2sin2x=2+cos 2x,最小正周期T=,故选B.2.函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是() A.,1B.,2C.2,1D.2,2答案Af(x)=sin xcos x+32cos 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3,最小正周期和振幅分别是,1.故选A.3.(2019台州中学月考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是,且当x0,2时,f(x)=sin x,则f53的值为()A.-12B.12C.-32D.32答案Df(x)的最小正周期是,f53=f53-2=f-3,f(x)是偶函数,f-3=f3=sin3=32,f53=32,故选D.4.(2017浙江金华十校联考)设函数f(x)=sin(x+)( 0),则f(x)的奇偶性()A.与有关,且与有关B.与有关,但与无关C.与无关,且与无关D.与无关,但与有关答案D因为f(x)=sin xcos +cos xsin ,所以f(-x)=-sin xcos +cos xsin .若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,故cos xsin =0恒成立,所以sin =0,故=k,kZ;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,故sin xcos =0恒成立,所以cos =0,故=k+2,kZ.综上, f(x)的奇偶性仅与有关,故选D.5.(2017课标全国理,6,5分)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,单调递减答案Df(x)的最小正周期为2,易知A正确;f83=cos83+3=cos 3=-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cosx+3=-cosx+3,f6+=-cos6+3=-cos2=0,故C正确;由于f23=cos23+3=cos =-1,为f(x)的最小值,故f(x)在2,上不单调,故D错误.6.函数f(x)=sin2x-4+1的最小正周期为;单调递增区间是;对称轴方程为.答案;k-8,k+38(kZ);x=k2+38(kZ)解析根据函数性质知,最小正周期T=22=.令2k-22x-42k+2(kZ),解得k-8xk+38(kZ),所以单调递增区间是k-8,k+38(kZ).再令2x-4=k+2(kZ),解得x=k2+38(kZ),即对称轴方程为x=k2+38(kZ).7.(2018温州高中模拟)设=N*且15,则使函数y=sin x在区间4,3上不单调的的个数是.答案8解析当x4,3时,x4,3,由题意知4k+23,kZ,则4k+120)的最小正周期为1,则=,函数f(x)在区间-16,14上的值域为.答案;-2,3解析f(x)=2sin2x+23sin xsinx+2-1=3sin(2x)-cos(2x)=2sin2x-6,22=1=,f(x)=2sin2x-6,当x-16,14时,2x-6-2,3,2sin2x-6-2,3,f(x)=2sin2x-6在-16,14上的值域为-2,3.9.(2019杭州学军中学质检)已知f(x)=sin 2x-3cos 2x,若对任意实数x0,4,都有|f(x)|m,则实数m的取值范围是.答案3,+)解析因为f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,x0,4,所以2x-3-3,6,所以2sin2x-3(-3,1,所以|f(x)|=2sin2x-33,所以m3.10.已知0,函数f(x)=32cos(2x+)+sin2x.(1)若=6,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是32,求的值.解析(1)由题意得f(x)=14cos 2x-34sin 2x+12=12cos2x+3+12,由2k-2x+32k(kZ),得k-23xk-6(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间为k-23,k-6,kZ.(2)由题意f(x)=32cos-12cos 2x-32sin sin 2x+12,由于函数f(x)的最大值为32,即32cos-122+32sin2=1,从而cos =0,又00,|2的最小正周期为,且x=12为函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求和的值;(2)设函数g(x)=f(x)+fx-6,求g(x)的单调递减区间.解析(1)因为f(x)=sin(x+)0,|2的最小正周期为,所以=2,又2x+=k+2,kZ,所以f(x)的图象的对称轴为x=k2+4-2,kZ.由12=k2+4-2,得=k+3(kZ).又|2,则=3.(2)函数g(x)=f(x)+fx-6=sin2x+3+sin 2x=12sin 2x+32cos 2x+sin 2x=3sin2x+6.令2k+22x+62k+32,kZ,得k+6xk+23,kZ,所以g(x)的单调递减区间为k+6,k+23,kZ.B组提升题组1.(2018武汉武昌调研)若f(x)=cos 2x+acos2+x在区间6,2上是增函数,则实数a的取值范围是() A.-2,+)B.(-2,+)C.(-,-4)D.(-,-4答案Df(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t12,1,则g(t)=-2t2-at+1,t12,1,因为f(x)在6,2上单调递增,所以-a41,即a-4,故选D.2.已知0xy,2x2+y52,则下列结论错误的是() A.sin x2sin(2-y)C.sin(2-x2)sin yD.sin x2cos(y-1)答案C因为0xy,所以x2+xx2+y52,所以0x11-121.2.由2x2+y1,又y52,所以1y52,由x2+y52得0x252-y322,所以sin x2sin52-y,故A正确;由21.44x22-y-12-2,所以sin x2sin(2-y),故B正确;对于C,当2-x2=2,2y1+2时,显然不成立,故C不正确;由x2+y52得0x252-y2+1-y2,所以sin x20,|0,所以的最小值为1,因此,g(x)=fx-3-22=sin x-22在区间0,22的零点个数是8.4.(2017浙江镇海中学第一学期期中)已知f(x)=cos x(sin x-cos x)+cos22-x+1(0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=3,c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)f(x)=2sin 2x-cos2x+sin2x+1=2sin 2x-cos 2x+1,故f(x)=24+1sin(2x-)+1tan=2的最大值为3,所以24+1=2,又0,得=23.从而f(x)=3sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-6+1,令2x-6=k+2,kZ,得x=k2+3,kZ.故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3,kZ.(2)由f(C)=3,得sin2C-6=1,又0C,所以-62C-6116,故2C-6=2,即C=3.由12absin C=332,得ab=6.又c2=a2+b2-2abcos3=a2+b2-ab,即(a+b)2=25,所以a+b=5,故ABC的周长为5+7.
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