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考点规范练22平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案C解析由题图可知a-b=e1-3e2.故选C.2.在ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c答案A解析AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|答案C解析a|a|=b|b|a=|a|b|b|a与b共线且同向a=b且0.B,D选项中a和b可能反向.A选项中0.故选C.4.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如图所示,根据向量的运算法则,可得BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC,所以EB=34AB-14AC,故选A.5.(2017浙江嘉兴测试)设点M是线段AB的中点,点C在直线AB外,|AB|=6,|CA+CB|=|CA-CB|,则|CM|=()A.12B.6C.3D.32答案C解析|CA+CB|=2|CM|,|CA-CB|=|BA|,2|CM|=|BA|=6,|CM|=3,故选C.6.给出下列命题:若两个单位向量的起点相同,则终点也相同;若a与b同向,且|a|b|,则ab;,为实数,若a=b,则a与b共线;0a=0.其中错误命题的序号为.答案解析不正确.单位向量的起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上;不正确,两向量不能比较大小;不正确.当=0时,a与b可能不共线;正确.7.设点P是ABC所在平面内的一点,且BC+BA=2BP,则PC+PA=.答案0解析因为BC+BA=2BP,由平行四边形法则知,点P为AC的中点,故PC+PA=0.8.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1=,2=.答案-1623解析如图所示,DE=BE-BD=23BC-12BA=23(AC-AB)+12AB=-16AB+23AC.又DE=1AB+2AC,且AB与AC不共线,所以1=-16,2=23.能力提升组9.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=()A.14a+12bB.12a+14bC.23a+13bD.13a+23b答案C解析AC=a,BD=b,AD=AO+OD=12AC+12BD=12a+12b.E是OD的中点,|DE|EB|=13,|DF|=13|AB|,DF=13AB=13(OB-OA)=13-12BD-12AC=16AC-16BD=16a-16b,AF=AD+DF=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故选C.10.已知在ABC中,D是AB边上的一点,CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13bD.23a+23b答案A解析由题意知,CD是ACB的角平分线,故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故选A.11.(2017浙江温州八校检测)设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.由A,B,D三点共线,知AB,BD共线.设AB=BD,2a+pb=(2a-b),2=2,p=-,=1,p=-1.12.点D为ABC内一点,且DA+4DB+7DC=0,则SBCDSABC=()A.47B.13C.712D.112答案D解析如图所示,分别延长DB,DC至点B1,C1,使得DB1=4DB,DC1=7DC,则DA+DB1+DC1=0,则SDAB1=SDAC1=SDB1C1=S,SDAB=14S,SDAC=17S,SDBC=128S,SABC=14S+17S+128S=1228S,SBCDSABC=128S1228S=112,故选D.13.在RtABC中,C是直角,CA=4,CB=3,ABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若CP=xCD+yCE,则x+y的值可以是()A.1B.2C.4D.8答案B解析设圆心为O,半径为r,则ODAC,OEBC,3-r+4-r=5,解得r=1.连接DE,则当x+y=1时,P在线段DE上,排除A;在AC上取点M,在CB上取点N,使得CM=2CD,CN=2CE,连接MN,CP=x2CM+y2CN.则点P在线段MN上时,x2+y2=1,故x+y=2.同理,当x+y=4或x+y=8时,P点不在三角形内部,排除C,D.故选B.14.已知ABC和点M,满足MA+MB+MC=0,若存在实数m,使得AB+AC=mAM成立,则点M是ABC的,实数m=.答案重心3解析由MA+MB+MC=0知,点M为ABC的重心.设点D为底边BC的中点,则AM=23AD=2312(AB+AC)=13(AB+AC),所以有AB+AC=3AM,故m=3.15.(2017浙江湖州模拟)如图,在ABC中,AD=2DB,AE=12EC,BE与CD相交于点P,若AP=xAB+yAC(x,yR),则x=,y=.答案4717解析由题可知AP=AD+DP=AD+DC=AD+(BC-BD)=23AB+AC-AB-13BA=23(1-)AB+AC.又AP=AE+EP=AE+EB=AE+(CB-CE)=13AC+AB-AC-23CA=AB+13(1-)AC,所以可得23(1-)=,13(1-)=,解得=17,=47,故AP=47AB+17AC,所以x=47,y=17.16.在ABC中,点P满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若AM=mAB,AN=nAC(m0,n0),则m+2n的最小值为.答案3解析BP=2PC,AP-AB=2(AC-AP),AP=13AB+23AC=13mAM+23nAN,M,P,N三点共线,13m+23n=1,m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+23nm+mn53+232nmmn=53+43=3.当且仅当nm=mn时等号成立,即m=n=1,故m+2n的最小值为3.17.设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(1)证明AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,AB,BD共线.它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)解ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,k-=k-1=0.k2-1=0.k=1.18.已知O,A,B是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,nR).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.证明(1)若m+n=1,则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB),所以OP-OB=m(OA-OB),即BP=mBA,所以BP与BA共线.又因为BP与BA有公共点B,所以A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数,使BP=BA,所以OP-OB=(OA-OB).又OP=mOA+nOB.故有mOA+(n-1)OB=OA-OB,即(m-)OA+(n+-1)OB=0.因为O,A,B不共线,所以OA,OB不共线,所以m-=0,n+-1=0.所以m+n=1.
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