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第21练基本初等函数、函数的应用明晰考情1.命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.2.题目难度：中档偏难考点一幂、指数、对数的运算与大小比较方法技巧幂、指数、对数的大小比较方法(1)单调性法；(2)中间值法1(2018浙江省杭州市第二中学模拟)已知0ab(1a)bB(1a)b(1a)C(1a)a(1b)bD(1a)a(1b)b答案D解析因为0a1，所以01a1，所以y(1a)x是减函数，又因为0bb，b，所以(1a)(1a)b，(1a)b(1a)，所以A，B两项均错；又11a1b，所以(1a)a(1b)a(1a)b(1b)b，所以(1a)a(1b)b，故选D.2(2018金华浦江适应性考试)设正实数a，b满足6a2b，则( )A01B12C23D34答案C解析6a2b，aln6bln2，11log23，1log232，2b1且logablogba，则logab_，_.答案1解析logablogbalogablogab2或，因为ab1，所以logab1的实数x的取值范围是_答案解析m，所以log4mlog2；1，解得x的取值范围是.考点二基本初等函数的性质方法技巧(1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0)(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质5已知函数f(x)则f(2019)等于()A2018B2C2020D.答案D解析f(2019)f(2018)1f(0)2019f(1)2020212020.6函数y4cosxe|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是()答案A解析易知y4cosxe|x|为偶函数，排除B，D，又当x0时，y3，排除C，故选A.7已知函数f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为()A(32，) B32，)C(6，) D6，)答案C解析由图象可知b2,1a2，lg(a1)lg(b1)，则a，则a2b2b2(b1)3，由对勾函数的性质知，当b时，f(b)2(b1)3单调递增，b2，a2b2b6.8设函数f(x)则满足f(f(t)2f(t)的t的取值范围是_答案解析若f(t)1，显然成立，则有或解得t.若f(t)1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.综上，实数t的取值范围是.考点三函数与方程方法技巧(1)判断函数零点个数的主要方法：解方程f(x)0，直接求零点；利用零点存在性定理；数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解9已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3B3，1,1,3C2，1,3D2，1,3答案D解析当x0时，g(x)x24x3，由g(x)0，得x1或x3.当x0时，g(x)x24x3，由g(x)0，得x2(舍)或x2.所以g(x)的零点的集合为2，1,310设函数f(x)则方程16f(x)lg|x|0的实根个数为()A8B9C10D11答案C解析方程16f(x)lg|x|0的实根个数等价于函数f(x)与函数g(x)的交点的个数，在平面直角坐标系内画出函数f(x)及g(x)的图象由图易得两函数图象在(1,0)内有1个交点，在(1,10)内有9个交点，所以两函数图象共有10个交点，即方程16f(x)lg|x|0的实根的个数为10，故选C.11已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_答案0,1)(2，)解析画出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出当0k2时符合题设12已知函数f(x)若方程f(x)xa有2个不同的实根，则实数a的取值范围是_答案a|a1或0a1解析当直线yxa与曲线ylnx相切时，设切点为(t，lnt)，则切线斜率k(lnx)|xt1，所以t1，切点坐标为(1,0)，代入yxa，得a1.又当x0时，f(x)xa(x1)(xa)0，所以当a1时，lnxxa(x0)有1个实根，此时(x1)(xa)0(x0)有1个实根，满足题意；当a0)有2个实根，此时(x1)(xa)0(x0)有1个实根，不满足题意；当a1时，lnxxa(x0)无实根，此时要使(x1)(xa)0(x0)有2个实根，应有a0且a1，即a0且a1，综上得实数a的取值范围是a|a1或0a11若函数f(x)axkax (a0且a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)loga(xk)的大致图象是()答案B解析由题意得f(0)0，解得k1，a1，所以g(x)loga(x1)为(1，)上的增函数，且g(0)0，故选B.2如果函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A.B1C3D.或3答案D解析令axt(t0)，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)；当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a(负值舍去)综上知a3或a.3(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.4已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_答案2,0解析由y|f(x)|的图象知，当x0时，只有当a0时，才能满足|f(x)|ax.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax，得x22xax.当x0时，不等式为00成立当x0时，不等式等价于x2a.因为x22，所以a2.综上可知，a2,0解题秘籍(1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域(3)数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论1设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()AcabBacbCabcDcba答案A解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，根据幂函数yx0.1在区间(0，)上为增函数，得can1，且f(m)f(n)，则mf(m)的最小值为()A4B2C.D2答案D解析当1x1时，f(x)52x，f(0)5；当x1时，f(x)15，f(4)，1m0，b0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，b0，ct1)且t11，t21，当t11时，t1f(x)有一解；当t21时，t2f(x)有两解当a0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_答案解析画出函数y|f(x)|的图象如图，结合图象可知当直线y2x与函数yx23a相切时，由14(3a2)0，解得a，此时满足题设；由函数yf(x)是单调递减函数可知，03aloga(01)1，即a，所以当23a时，即a时，函数y|f(x)|与函数y2x恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，综上所求实数a的取值范围是a或a.
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