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11.3二项分布与正态分布挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个相互独立事件的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题2012天津,16两个相互独立事件的概率的求法互斥事件的概率公式、期望2.正态分布及其应用利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2017课标,19正态分布的应用数学期望分析解读1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件概率的求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率为近几年高考的热点.本节在高考中难度为易或中等.破考点【考点集训】考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.随机变量B(n,p),且E=300,D=200,则np等于()A.3200B.2700C.1350D.1200答案B2.(2014课标,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A3.某篮球队甲、乙两名球员在一个赛季中前10场比赛中投篮命中情况统计如下表注:表中分数nN,N表示投篮次数,n表示命中次数,假设各场比赛相互独立.场次球员12345678910甲513412143059141910161223486131019乙1326918914816615101472191610221220根据统计表的信息:(1)从上述比赛中等可能随机选择一场,分别求甲、乙球员在该场比赛中投篮命中率大于50%的概率;(2)试估计甲、乙两名球员在第11场比赛中恰有一人的命中率大于50%的概率;(3)在接下来的3场比赛中,用X表示这3场比赛中乙球员的命中率大于50%的场数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.解析(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的场次有5场,所以在随机选择的一场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的概率是12.在10场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的场次有4场,所以在随机选择的一场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的概率是25.(2)设在一场比赛中,甲、乙两名球员恰有一人命中率大于50%为事件A,甲球员的命中率大于50%且乙球员的命中率不大于50%为事件B1,乙球员的命中率大于50%且甲球员的命中率不大于50%为事件B2,则P(A)=P(B1)+P(B2)=1235+1225=12.(3)X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C30250353=27125;P(X=1)=C31251352=54125;P(X=2)=C32252351=36125;P(X=3)=C33253=8125.X的分布列如下表:X0123P2712554125361258125所以EX=325=65.思路分析(1)利用原始数据找到符合要求的场次,从而求出概率;(2)把“恰有一人命中率大于50%”分解为互斥事件的和,求概率;(3)利用(1)中的概率,结合3次独立重复试验和二项分布求分布列和数学期望.考点二正态分布及其应用4.已知随机变量服从正态分布N(0,2).若P(2)=0.023,则P(-22)=()A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977答案C5.设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案C炼技法【方法集训】方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(2017课标,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.962.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案13方法2正态分布及其应用方法3.某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即XN(100,a2)(a0),试卷满分为150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110,则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为()A.400B.500C.600D.800答案A4.高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布N(105,102),已知P(95105)=0.3413,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为()A.0.1587B.0.3413C.0.1826D.0.5000答案A过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组(2012天津,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|X-Y|,求随机变量的分布列与数学期望E.解析依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=C4i13i234-i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=C42132232=827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=C4313323+C44134=19.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(=0)=P(A2)=827,P(=2)=P(A1)+P(A3)=4081,P(=4)=P(A0)+P(A4)=1781.所以的分布列是024P82740811781随机变量的数学期望E=0827+24081+41781=14881.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2018课标,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2.(2015课标,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A考点二正态分布及其应用1.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B2.(2015湖北,4,5分)设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案C3.(2015湖南,7,5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附:若XN(,2),则P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772答案CC组教师专用题组(2017课标,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.9974.0.9974160.9592,0.0080.09.解析本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0026,故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.0080.09.方法总结统计与概率的综合应用.(1)正态分布:若变量X服从正态分布N(,2),其中为样本的均值,正态分布曲线的对称轴为x=;为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.(2)二项分布:若变量XB(n,p),则X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).【三年模拟】解答题(共60分)1.(2018天津河北二模,16)某地拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个问题中,甲公司可正确回答其中的4道题,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23,且甲、乙两家公司是否答对相互独立,互不影响.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题的概率;(2)设X为乙公司正确回答的题数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由题意可知甲公司至少能答对1题.甲、乙公司各答对1题的概率为C41C22C63C3113223=245,甲公司答对2题,乙公司全答错的概率为C42C21C63133=145,甲、乙两家公司共答对2道题的概率为245+145=115.(2)X的可能取值为0,1,2,3,且XB3,23,P(X=0)=133=127,P(X=1)=C3113223=29,P(X=2)=C3223213=49,P(X=3)=233=827.X的分布列为X0123P1272949827EX=129+249+3827=2.或EX=323=22.(2018天津南开三模,16)某综艺节目中,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为13,且三人投票互不影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.(1)求某节目获一等奖的概率;(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望.解析(1)设“某节目的投票结果获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖”票或3张“获奖”票,某节目获一等奖的概率P(A)=C3213223+C33133=727.(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3,且XB3,23.P(X=0)=C30133=127,P(X=1)=C3123132=29,P(X=2)=C3223213=49,P(X=3)=C33233=827,X的分布列为X0123P1272949827EX=129+249+3827=2.或EX=323=23.(2019届天津一中1月月考,16)甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球,并且每个口袋内的6个球均有1个红球,2个黑球,3个无色透明的球,现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.(1)求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率;(2)求摸出的3个球中含有有色球数的概率分布列和数学期望.解析由于各个口袋中球的情况一样,而且从每一个口袋中摸出红球、黑球、无色球的概率分别为16,13,12,所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得(1)P=A33161312=16.(2)的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(=0)=123=18,P(=1)=C3116+13122=38,P(=2)=C3216+13212=38,P(=3)=C3316+133=18.所以的分布列为0123P18383818E=018+138+238+318=32.4.(2019届天津耀华中学第一次月考,16)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).解析用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13232+2313232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分布列为X2345P59291081881EX=259+329+41081+5881=22481.
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