资源描述
第20讲数列的综合应用1.(2018江苏淮阴中学高三阶段考试)正项等比数列an中,a1=12,a3+a5=10,则log2a1+log2a2+log2a10=.2.(2018江苏常州模拟)各项均为正数的等比数列an中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为.3.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知ABC的三边长成公比为2的等比数列,则ABC最大角的余弦值为.4.(2017江苏盐城模拟)已知数列an满足an=2an-1-2,n=2k+1,an-1+1,n=2k(kN*),若a1=1,则S20=.5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)设Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m=.6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设数列an共有4项,满足a1a2a3a40,若对任意的i,j(1ij4,且i,jN*),ai-aj仍是数列an中的某一项.现有下列命题:数列an一定是等差数列;存在1ik)恒成立,则称数列an是“R(k)数列”.(1)已知an=2n-1,n为奇数,2n,n为偶数,判断数列an是不是“R(2)数列”,并说明理由;(2)已知数列bn是“R(3)数列”,且存在整数p(p1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:bn是等差数列.答案精解精析1.答案35解析设正项等比数列an的公比为q,q0,则a3+a5=12q2+12q4=10,q=2,an=122n-1=2n-2,log2an=n-2,则log2a1+log2a2+log2a10=-1+0+1+8=1072=35.2.答案3解析a2a3a4=a2+a3+a4,a33=a3q+a3+a3q,a32=1q+q+13,a30,则a33,当且仅当q=1时取等号,则a3的最小值为3.3.答案-24解析设三角形的三边长为a2,a,2a,则最大角的余弦值为a22+a2-2a22a22=-24.4.答案2056解析a1=1,a2=2,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,奇数项是等比数列,偶数项比前面相邻的奇数项多1,则S20=2S奇+10=1-2101-22+10=2056.5.答案8解析设等比数列an的公比为q,由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,则(a1+a2+a3)(2+q3)=2(a1+a2+a3)(1+q3+q6),a1+a2+a30,则2+q3=2+2q3+2q6,q3=-12,则a2+a5=a2+a2q3=12a2=2am=2a2qm-2,14=-12m-23,m-23=2,m=8.6.答案解析根据题意:对任意i,j(1ij4),有ai-aj仍是该数列的某一项,令i=j,则0为数列的某一项,即a4=0,则a3-a4=a3an,a30.必有a2-a3=a3,即a2=2a3,而a1-a2=a2或a3,若a1-a2=a2,则a1=4a3,a1-a3=3a3,而3a3a2,a3,a4,舍去;若a1-a2=a3an,此时a1=3a3,可得数列an为3a3,2a3,a3,0(a30).据此分析选项:易得正确.7.解析(1)当n为奇数时,an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=30,所以an+1an.an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;当n为偶数时,an+1-an=2(n+1)-1-2n=10,所以an+1an.an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.所以,数列an是“R(2)数列”.(2)证明:由题意可得bn-3+bn+3=2bn,则数列b1,b4,b7,是等差数列,设其公差为d1,数列b2,b5,b8,是等差数列,设其公差为d2,数列b3,b6,b9,是等差数列,设其公差为d3.因为bnbn+1,所以b3n+1b3n+2b3n+4,所以b1+nd1b2+nd2b1+(n+1)d1,所以n(d2-d1)b1-b2,n(d2-d1)b1-b2+d1.若d2-d1b1-b2d2-d1时,不成立;若d2-d10,则nb1-b2+d1d2-d1时,不成立;若d2-d1=0,则和都成立,所以d1=d2.同理得:d1=d3,所以d1=d2=d3,记d1=d2=d3=d.设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=,则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-b3p+1+(n-p-1)d=b3p-1-b3p+1+d=d-.同理可得:b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-,所以bn+1-bn=d-,所以bn是等差数列.
展开阅读全文