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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件的判定充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件pq且qpA是B的真子集集合与充要条件的关系p是q的必要不充分条件p q且qpB是A的真子集p是q的充要条件pqABp是q的既不充分也不必要条件p q且qpA，B互不包含否命题对题设和结论都进行否定在判断充分、必要条件的时候，一定要从p能否推出q，q能否推出p两方面去判断：对于qp，要能够证明，而对于p q，只需举一反例即可小可以推大，大不可以推小，如x2(小范围)x1(大范围)，x1(大范围) x2(小范围)熟记常用结论1充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”)2利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得：(1)pq等价于綈q綈p；(2)qp等价于綈p綈q.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)“x22x80”是命题()(2)一个命题非真即假()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()答案：(1)(2)(3)二、选填题1已知命题p：若xa2b2，则x2ab，则下列说法正确的是()A命题p的逆命题是“若xa2b2，则x2ab”B命题p的逆命题是“若x2ab，则xa2b2”C命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”D命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”解析：选C命题p的逆命题是“若x2ab，则xa2b2”，故A、B都错误；命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”，故C正确，D错误2“sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为cos 2cos2sin20，所以sin cos ，所以“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条件故选A.3原命题“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0B1C2 D4解析：选C当c0时，ac2bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题综上所述，真命题有2个4(2019青岛模拟)命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为_答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数5“x(x1)0”是“x1”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：x(x1)0x0或x1，即x(x1)0不一定有x1成立；但x1能推出x(x1)0成立故“x(x1)0”是“x1”的必要不充分条件答案：必要不充分考点一基础自学过关 命题及其关系题组练透1命题“若x2y20(x，yR)，则xy0”的逆否命题是()A若xy0(x，yR)，则x2y20B若xy0(x，yR)，则x2y20C若x0且y0(x，yR)，则x2y20D若x0或y0(x，yR)，则x2y20解析：选Dx2y20的否定为x2y20；xy0的否定为x0或y0.故“若x2y20(x，yR)，则xy0”的逆否命题为“若x0或y0(x，yR)，则x2y20”2有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为()ABC D解析：选D“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；若m1，则44m0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；由ABB，得BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题故选D.3给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3 B2C1 D0解析：选C易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个名师微点1由原命题写出其他3种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题提醒(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提2判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假考点二师生共研过关 充分条件、必要条件的判定典例精析(1)(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2018北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(3)“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)由，得0x1，则0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，当x0时，即“x31” / “”所以“”是“x31”的充分而不必要条件(2)a，b，c，d是非零实数，若a0，d0，b0，c0，且adbc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a2，d3，b2，c3)若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知adbc.所以“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件(3)f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，当a0时，f(x)sin x，f(x)sin(x)sin xf(x)，故f(x)为奇函数；反之，当f(x)sin xa为奇函数时，f(x)f(x)0，又f(x)f(x)sin(x)asin xa2a，故a0，所以“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的充要条件，故选C.答案(1)A(2)B(3)C解题技法充分、必要条件的判断3种方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假过关训练1(2018衡阳模拟)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若yf(x)为奇函数，则y|f(x)|的图象关于y轴对称，反过来不成立，因为当yf(x)为偶函数时，y|f(x)|的图象也关于y轴对称故选B.2(2018北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由|a3b|3ab|，得(a3b)2(3ab)2，即a29b26ab9a2b26ab.又a，b均为单位向量，所以a2b21，所以ab0，能推出ab.由ab得|a3b|，|3ab|，能推出|a3b|3ab|，所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件3设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Dab不能推出a2b2，例如a1，b2；a2b2也不能推出ab，例如a2，b1.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件考点三师生共研过关 充分条件、必要条件的探求与应用典例精析(1)命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa9 Ba9Ca10 Da10(2)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_解析(1)命题“x1,3，x2a0”“x1,3，x2a”9a.则a10是命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件(2)由x28x200，得2x10，Px|2x10xP是xS的必要条件，则SP，解得0m3，故0m3时，xP是xS的必要条件答案(1)C(2)0,31(变条件)本例(2)中条件“若xP是xS的必要条件”变为“綈P是綈S的必要不充分条件”，其他条件不变求实数m的取值范围解：由例题知Px|2x10綈P是綈S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，则m的取值范围是9，)2(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由解：由例题知Px|2x10若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在解题技法根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象过关训练1使a0，b0成立的一个必要不充分条件是()Aab0 Bab0Cab1 D.1解析：选A因为a0，b0ab0，反之不成立，而由a0，b0不能推出ab0，ab1，1，故选A.2已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3解析：选A由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a1.故选A. 一、题点全面练1命题“若ab，则acbc”的否命题是()A若ab，则acbcB若acbc，则abC若acbc，则ab D若ab，则acbc解析：选A“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，所以原命题的否命题是“若ab，则acbc”，故选A.2命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1 B若，则tan 1C若tan 1，则 D若tan 1，则解析：选C以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”3有下列几个命题：“若ab，则”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是()ABC D解析：选C原命题的否命题为“若ab，则”，假命题；原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，真命题；原命题为真命题，故逆否命题为真命题所以真命题的序号是.4设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由ABA可得AB，由AB可得ABA.所以“ABA”是“AB”的充要条件故选C.5(2019西城区模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a(bc)0”是“bc”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由bc，得bc0，得a(bc)0；反之不成立故“a(bc)0”是“bc”的必要不充分条件6(2019抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分故选C.7(2019湘东五校联考)“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()Am B0m1Cm0 Dm1解析：选C若不等式x2xm0在R上恒成立，则(1)24m0，解得m，因此当不等式x2xm0在R上恒成立时，必有m0，但当m0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m0.8(2019安阳模拟)设p：f(x)ex2x2mx1在0，)上单调递增，q：m50，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A函数f(x)在0，)上单调递增，只需f(x)ex4xm0在0，)上恒成立，又因为f(x)ex4xm在0，)上单调递增，所以f(0)1m0，即m1，故p是q的充分不必要条件二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知，是两个不同的平面，直线l，则“”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A，是两个不同的平面，直线l，则“”“l”，反之不成立，是两个不同的平面，直线l，则“”是“l”的充分不必要条件故选A.2(2019太原模拟)“m2”是“函数y|cos mx|(mR)的最小正周期为”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当函数y|cos mx|(mR)的最小正周期为时，m2，“m2”是“函数y|cos mx|(mR)的最小正周期为”的充分不必要条件3“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练学会更学通4逻辑推理若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D都不对解析：选C根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题故选C.5逻辑推理若a，b都是正整数，则abab成立的充要条件是()Aab1 Ba，b至少有一个为1Cab2 Da1且b1解析：选Babab，(a1)(b1)1.a，bN*，(a1)(b1)N，(a1)(b1)0，a1或b1.故选B.6数学运算圆x2y21与直线ykx3有公共点的充分不必要条件是()Ak2或k2 Bk2Ck2 Dk2或k2解析：选B若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kxy30的距离d1，即3，k219，即k28，k2或k2，圆x2y21与直线ykx3有公共点的充分不必要条件是k2，故选B.7数学运算方程x22xa10有一正一负两实根的充要条件是()Aa0 Ba1C1a0 Da1解析：选B方程x22xa10有一正一负两实根，解得a1.故选B.8数学抽象能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_解析：设f(x)sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数由正弦函数图象的对称性知，当x(0,2时，f(x)f(0)sin 00，故f(x)sin x满足条件f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，但f(x)在0,2上不一直都是增函数答案：f(x)sin x(答案不唯一)
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