资源描述
第二节导数与函数的单调性A组基础题组1.函数f(x)=ex-ex,xR的单调递增区间是()A.(0, +)B.(-,0)C.(-,1)D.(1,+)答案D由题意知f (x)=ex-e,令f (x)0,解得x1,故选D.2.设f (x)是函数f(x)的导函数,y=f (x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()答案C由f (x)的图象知,当x(-,0)时, f (x)0, f(x)为增函数,当x(0,2)时, f (x)0, f(x)为增函数.故选C.3.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f (x)是f(x)的导函数,则函数y=f (x)的图象大致是()答案A令g(x)=f (x)=2x-2sin x,则g(x)=2-2cos x,易知g(x)0,所以函数f (x)在R上单调递增.4.f(x)=x2-aln x在(1,+)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.a1B.a1C.a2,a2.故选D.5.对于实数集R上的可导函数f(x),若(x2-3x+2)f (x)0恒成立,则在区间1,2上必有()A.f(1)f(x)f(2)B.f(x)f(1)C.f(x)f(2)D.f(x)f(1)或f(x)f(2)答案A由(x2-3x+2)f (x)0知,当x2-3x+20,即1x0,所以f(x)是区间1,2上的单调递增函数,所以在区间1,2上必有f(1)f(x)f(2).6.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.答案(-,2ln 2-2解析f(x)=x2-ex-ax,f (x)=2x-ex-a,函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,f (x)=2x-ex-a0,即a2x-ex有解,令g(x)=2x-ex,则g(x)=2-ex,令g(x)=0,解得x=ln 2,则当x0,g(x)单调递增,当xln 2时,g(x)0),设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f (x)0恒成立或 f (x)0恒成立,即aex-x0恒成立或aex-x0恒成立,等价于axex恒成立或axex恒成立.令g(x)=xex(x0),则g(x)=1-xex,由g(x)0得0x1,所以g(x)在(0,1)上单调递增;由g(x)1,所以g(x)在(1,+)上单调递减.因为g(1)=,且x0时,g(x)0,所以g(x)0,1e.所以B=aa0或a1e,所以A=a0a0,得x0,所以f(x)的单调增区间为(0,+).(2)f (x)=(x-a+1)ex.令f (x)=0,得x=a-1.所以当a-11,即a2时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递增;当a-12,即a3时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递减;当1a-12,即2a0, f(x)单调递增.综上,无论a为何值,当x1,2时, f(x)的最大值都为f(1)或f(2).f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当a2e2-ee2-e=2e-1e-1时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(1)=(1-a)e.当a2e2-ee2-e=2e-1e-1时, f(1)-f(2)x22-2x2-1,求a的取值范围.解析(1)f (x)=-(x-a)sin x.因为x(0,),所以sin x0.令f (x)=0,得x=a.当a0时, f (x)0, f(x)在(0,)上单调递增;当0a时, f (x), f(x)随x的变化情况如下表:x(0,a)a(a,)f (x)+0-f(x)极大值所以f(x)的单调递增区间是(0,a),单调递减区间是(a,).综上所述,当a0时, f(x)在(0,)上单调递减;当a时, f(x)在(0,)上单调递增;当0ax22-2x2-1,所以f(0)-2,f()-2,即-a-2,-(-a)-2,所以-2a2,即a的取值范围是-2,2.B组提升题组10.(2017北京海淀二模)已知函数f(x)= x3+x2-2x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当0a时,求函数f(x)在区间-a,a上的最大值.解析(1)由f(x)= x3+x2-2x+1得f (x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),令f (x)=0,得x1=-2,x2=1,所以f (x), f(x)随x的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-2),(1,+),单调递减区间为(-2,1).(2)由f(x)= x3+x2-2x+1,可得f(-2)=133.当-a-2,即2a时,由(1)可得f(x)在-a,-2)和(1,a上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以,函数f(x)在区间-a,a上的最大值为maxf(-2), f(a),又由(1)可知f(a)f52=133,所以maxf(-2), f(a)=f(-2)=133.当-a-2,a1,即01,即10,或由(1)可知f(-a)f(-1)=196, f(a)f(2)=,所以f(-a)f(a)所以maxf(-a), f(a)=f(-a)=-a33+a22+2a+1.综上,当2a时,函数f(x)在区间-a,a上的最大值为133;当0a2时,函数f(x)在区间-a,a上的最大值为f(-a)=-a33+a22+2a+1.11.(2018北京朝阳高三期中,18)已知函数f(x)=(x2-ax+a)e-x,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f (x),其中f (x)为函数f(x)的导函数,判断g(x)在定义域内是不是单调函数,并说明理由.解析(1)函数f(x)的定义域为x|xR.f (x)=-(x-2)(x-a)e-x.当a2时,令f (x)0,解得x2,此时f(x)为减函数;令f (x)0,解得ax2时,令f (x)0,解得xa,此时函数f(x)为减函数;令f (x)0,解得2xa,此时函数f(x)为增函数.综上,当a2时,f(x)的单调递减区间为(-,2),(a,+);单调递增区间为(2,a).(2)g(x)在定义域内不是单调函数,理由如下:g(x)=f (x)=x2-(a+4)x+3a+2e-x.记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2,则函数h(x)的图象为开口向上的抛物线.方程h(x)=0的判别式=a2-4a+8=(a-2)2+40恒成立,所以h(x)有正有负,从而g(x)有正有负.故g(x)在定义域内不是单调函数.
展开阅读全文