高考数学一轮复习 必考部分 第七篇 立体几何 第4节 垂直关系课件 文 北师大版.ppt

第4节垂直关系 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 若一条直线a垂直于平面 内的无数条直线 则a 吗 提示 当这无数条直线相互平行时 a与 不一定垂直 2 若 则 内的任意直线都与 垂直吗 提示 不一定 平面 内只有垂直于交线的直线才与 垂直 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 任何 两条相交直线 平行 a b 2 二面角 平面与平面垂直 1 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 这条直线叫作二面角的 两个半平面叫作二面角的 如图 记作 二面角 l 或二面角 AB 棱 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 2 平面与平面的垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 面 直二面角 垂线 垂直 夯基自测 1 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 平行四边形的两边 A B C D 解析 中的两条直线一定相交 所以这条直线必和两图形所在平面垂直 而 中的两条直线可能平行 该直线和两图形所在平面不一定垂直 A 2 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B 垂直于同一平面的两条直线平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 平行于同一直线的两个平面平行 B 解析 选项A中两直线的射影也可能是两个点 选项A不正确 选项C D中两个平面也可能相交 即选项C D均不正确 由线面垂直的性质定理知选项B正确 3 已知直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 异面 D 以上都有可能 解析 因为b 则b一定平行于平面 内的某一条直线c 又a 所以a c 又b c 所以a b B 4 已知 l a l 则 A a B a C a D 以上都有可能 D 5 PA垂直于正方形ABCD所在平面 连接PB PC PD AC BD 则下列垂直关系正确的序号有 平面PAB 平面PBC 平面PAB 平面PAD 平面PAB 平面PCD 平面PAB 平面PAC 解析 易证BC 平面PAB 则平面PAB 平面PBC 又AD BC 故AD 平面PAB 则平面PAD 平面PAB 答案 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一直线与平面垂直的判定和性质 高频考点 考查角度1 利用定理进行逻辑推理证明 高考扫描 2011高考新课标全国卷 2014高考新课标全国卷 例1 如图 已知PA 平面ABCD 且四边形ABCD为矩形 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 转化为证线面垂直 找其它棱的中点 与直线MN做平面是关键 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 证明 2 因为PA 平面ABCD 所以PA AD 又 PDA 45 所以 PAD为等腰直角三角形 又E为PD的中点 所以AE PD 又由 1 知CD AE 所以AE 平面PCD 又AE MN 所以MN 平面PCD 判定定理证明 反思归纳 1 证明线面垂直的方法 直线和平面垂直的判定定理 充分利用条件寻找平面内的两条相交直线和已知直线垂直 常用结论 a 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 b 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则与另一个也垂直 2 直线与平面垂直的性质 已知线面垂直 则直线与平面内任意直线都垂直 勾股定理的逆定理 2 求点D到面AEC的距离 转换三棱锥底面与高的位置 反思归纳 计算证明的关键是利用几何体中的相关数据得到两直线的垂直关系 常与解三角形的应用相关 验证的主要依据就是勾股定理 平面与平面垂直的判定和性质 高频考点 高考扫描 2015高考新课标全国卷 2012高考新课标全国卷 2010高考新课标全国卷 例3 2015河南 河北 山西三省一模 如图 三棱柱ABC A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形 侧面BB1C1C为菱形 CBB1 60 AB B1C 1 求证 平面AA1B1B 平面BB1C1C 1 证明 由侧面AA1B1B为正方形 知AB BB1 又因为AB B1C BB1 B1C B1 所以AB 平面BB1C1C 又因为AB平面AA1B1B 所以平面AA1B1B 平面BB1C1C 判定定理 2 若AB 2 求三棱柱ABC A1B1C1的体积 以侧面为底分解成几个棱锥求解简便 反思归纳 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 作两平面构成二面角的平面角 计算其为90 2 三种垂直关系的转化 3 面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 1 证明 因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 又因为A1O 平面ABCD 所以A1O BD 因为AC A1O O 所以BD 平面A1AC 所以BD A1C 由已知AA1 2 AC 2 又AO OC A1O AC 所以A1C A1A 2 所以A1A2 A1C2 AC2 所以A1C A1A 因为B1B A1A 所以A1C B1B 因为BD B1B B 所以A1C 平面BB1D1D 2 求三棱锥A C1CD的体积 考点三垂直关系中的探究性问题 例4 2015河南郑州二模 如图 已知三棱柱ABC A B C 侧棱垂直于底面 AB AC BAC 90 点M N分别为A B和B C 的中点 1 证明 MN 平面AA C C 转化为面面平行 2 设AB AA 当 为何值时 CN 平面A MN 试证明你的结论 反思归纳 处理空间中垂直关系的探索性问题 一般应先根据条件猜测点或直线的位置 然后再给出证明 存在性问题可利用垂直关系和几何体中的数据构造方程 然后转化为方程解的存在性进行判断 即时训练 棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱C1D1的中点 F为棱BC的中点 1 求证 AE DA1 1 证明 连接AD1 BC1 由正方体的性质可知DA1 AD1 DA1 AB 所以DA1 平面ABC1D1 所以DA1 AE 2 求在线段AA1上是否存在点G 使AE 面DFG 试证明你的结论 2 解 存在点G 当点G为A1点 AE 平面DFG 证明如下 由 1 知DA1 AE 取CD的中点H 连AH EH 由DF AH DF EH AH EH H 得DF 平面AHE 所以DF AE 又因为DF A1D D 所以AE 平面DFA1 即AE 平面DFG 考点四折叠问题中的垂直关系 例5 如图1 在Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图2 1 求证 DE 平面A1CB 折叠后DE与CB平行吗 2 求证 A1F BE 2 证明 由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 又A1D DE D 所以DE 平面A1DC 所以DE A1F 又A1F CD CD DE D 所以A1F 平面BEDC 所以A1F BE 转化为线面垂直 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 3 解 分别取A1C A1B的中点P Q 连接PQ DP QE 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰 DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 又DE DP D 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 反思归纳 证明折叠问题中的平行与垂直 关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变 一般地 折叠前位于 折痕 同侧的点 线间的位置和数量关系折叠后不变 而折叠前位于 折痕 两侧的点 线间的位置关系折叠后会发生变化 对于不变的关系应在平面图形中处理 而对于变化的关系则要在立体图形中解决 即时训练 等边三角形ABC的边长为2 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC的中点 如图 1 现将 ABC沿CD翻成直二面角A CD B 如图 2 在图 2 中 1 求证 AB 平面DEF 1 证明 如题图 2 所示 在 ABC中 因为E F分别是AC BC的中点 所以EF AB 又AB 平面DEF EF 平面DEF 所以AB 平面DEF 2 求多面体D ABFE的体积 备选例题 例题 如图所示 在边长为4的菱形ABCD中 DAB 60 点E F分别在边CD CB上 点E与点C D不重合 EF AC于点O 沿EF将 CEF翻折到 PEF的位置 使平面PEF 平面ABFED 1 求证 BD 平面POA 2 当PB取得最小值时 求四棱锥P BFED的体积 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 立体几何的综合问题 答题模板 第一步 找 即由平面图形的性质构造线线垂直关系 第二步 化 即根据空间垂直关系的判定和性质将已知条件转化为线面垂直 面面垂直 第三步 证 即根据所证问题确定推理的依据和方向 证明相关结论 第四步 构 即根据已知数据和条件建立方程或关系式 进而求得立体几何的数字度量 第五步 算 即根据所求确定公式代入求值