高数A下总复习同济六版.doc

高数A下总复习同济六版一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数1、 点向量；2、 点向量；3、 向量运算及其坐标形式：设，则；（为数）；，；以向量和为邻边的平行四边形面积公式：（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）；.（二）曲面、空间曲线及其方程1、 曲面及其方程，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图.(主要要求认识空间图形)2、 空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、 曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投便消去，其余类似4、 会作简单立体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程1）一般方程：，其中为其一法向量2）点法式方程：法向量，点，则 3）截距式方程：4）平面束方程：过直线的平面束方程为：过该直线的除第2个平面的所有平面.2、直线方程1）点向式方程：方向向量，点，则；2）参数式方程：（注：主要用于求交点坐标）； 3）一般式方程：3、面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角4、距离点到面的距离：点到线的距离：，其中为直线的方向向量，为直线上任意一点 或取直线参数方程以确定垂足坐标，利用两点距离公式可求主要题型（1）向量数量积的运算：主要利用定义式、交换律、结合律和分配律；（2）求解直线方程和平面方程：把握方向向量和法向量，或用平面束方程.二、多元函数的微分学及其应用(一) 极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：可用特殊方向法来证极限不存在连续性一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；有界闭区域上的连续函数必有最值.(二)偏导数注：重点掌握定义法求偏导1、 显函数：a定义：，定义类似；b求导法则：对求偏导，暂时视为常量；对求偏导，暂时视为常量c高阶偏导数：； 定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d复合函数的求导法则（链式法则）：若具有连续偏导数，而与都具有偏导数，则复合函数的偏导数为：；注意：解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；等都具有相同的中间变量.2、隐函数（要诀：两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量）1. 一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：三元方程可确定一个二元隐函数：2. 方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：四元方程组可确定两个二元隐函数：得（或）(三)全微分：可微函数的全微分为：.定义为：，其中掌握某点处全微分存在之证明：计算，证明是否趋近于0，其中为该点处的两个偏导数.(四)几何应用（重点把握切向量和法向量）1 曲线的切线与法平面：a、 若曲线的方程为参数方程：，点，则切向量为，切线方程为；法平面方程为b、 若曲线的方程为：，点，则切向量为c、 若曲线的方程为一般方程：，点，则切向量为（利用隐函数求导法，方程两边对求导，解方程组可得）(注：该法有可能无解，无解时需改换其它自变量求导)【另解：利用三阶行列式计算 】2 曲面的切平面与法线：a、 若曲面的方程为，点，则法向量为：，切平面方程为：；法线方程为：b、 若曲面的方程为，点，则法向量为：，切平面方程为：；法线方程为：(五)方向导数与梯度：（以二元函数为例）1）、方向导数：设可微分，则2）梯度：，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值：1)无条件：设，由解得驻点，令，然后利用判定极值与否：有极值，极小，极大；无极值；用此法无法判定2)条件极值：在条件下的极值：构造拉格朗日函数，令，联立方程，其解为可能的极值点是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定3)闭区域上最值问题：内部区域通过令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.三、积分的计算与应用(一)二重积分a、直角坐标：注（1）利用任意平移的穿越线法来确定积分顺序及积分上下限；先对求积分，则画平行于轴的穿越线（2）若积分区域不只需一条穿越线，则适当分割之；（3）通过二重积分，可交换二次积分的积分顺序，这是一类常考的题型b、极坐标： ，注（1）被积函数或积分区域中含有的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序：；（2）先确定的范围，后固定，选取从极点出发的穿越线来确定.(注：此处的穿越线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转)c、对称性(1)奇偶对称性：若积分区域关于轴对称，则当是关于的奇函数，有；当是关于的偶函数，有.(2)轮换对称性：若积分区域关于直线对称，则.d、应用平面面积；曲顶柱体体积；注：求立体体积，并一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.曲面面积（或）(二)三重积分a、投影法（先一后二法）确定区域：先将立体区域投影到平面上，选取平行于轴的穿越线确定的上下限.b、截面法（先二后一法）主要适用于(1)被积函数仅含一种或不含自变量，比如上式只含(2)截面应易计算其面积c、柱面坐标：；积分顺序：；确定积分上下限同上述投影法，取平行于轴的穿越线；同极坐标.d、球面坐标：积分顺序：；(1)将闭区域投影至平面，以确定的范围(2)在半平面内确定的范围(3)固定，画一条从原点出发的穿越线，以确定的范围e、对称性(1)奇偶对称性：设积分区域关于平面对称若关于为奇函数，则；若关于为偶函数，.(2)轮换对称性：区域轮换对称.(三)曲线积分1)第一类（对弧长）：a、平面曲线：b、空间曲线：2)第二类（对坐标）a、平面曲线：i)参数法：ii）格林(green)公式：；不闭则补之(常取折线)注意条件：偏导数处处连续，L为D的正向边界曲线定理：设函数在单连通区域内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价：(1)沿内任意一条闭曲线，；(2)在内与路径无关；(3)在内为某函数的全微分，即存在函数，使得；(4)在内恒有：.这里可由下列两种方法求得：线积分法：；选取特殊路径，一般是折线路径.偏积分法：由，得；两边对求偏积分可得两边对求偏导可得，再由，可解得，从而得b、空间曲线：i) 参数法：ii) 斯托克斯（Stokes）公式：；注 L的方向与的侧符合右手规则；通常取为曲线所在平面.(四)曲面积分I、第一类（对面积）：设，则II、第二类（对坐标）：1） 高斯(Gauss)公式：若不闭则补之注意条件：偏导数处处连续及方向性：为的整个边界曲面的外侧2） 投影法：注意垂直性若不垂直，则 【前正后负】【右正左负】【上正下负】3） 化为第一类曲面积分：四、级数（一） 常数项级数及其收敛性1、定义：收敛（发散）存在（不存在）【部分和】2、基本性质：1）与具有相同的敛散性；2）与都收敛收敛；3）改变有限项的值不影响级数的敛散性；4）收敛的级数可以任意加括号；5）若收敛，则；反之未必6）若，则发散3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】：调和级数发散；条件收敛；级数：当时收敛，当时发散；：时绝对收敛，当时条件收敛.等比级数（几何级数），当时发散，当时收敛，且4、正项级数，其中：I、收敛部分和有界II、比较：1） 2）极限形式：【相同的敛散性；可利用无穷小的比较记忆】III、比值（根值）：，当时收敛；当时发散；而当时用此法不能判定其收敛性，转而用II或I5、交错级数：一般项绝对值单调递减趋于零,则收敛，且su16、一般项级数（为任意常数）：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）（二） 幂级数或：1、收敛半径：1）若【不缺项】：，2）若缺项：，解得收敛区间2、收敛域：先求收敛半径，可得收敛区间，再讨论端点处的收敛性可得所求的收敛域3、幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数注：主要参照等级级数4、函数展开成幂级数 ：1）直接展开法：【利用Taylor展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式注：以下7个常用的展开式必须牢记（重点是前三个）：;(三)傅里叶级数：只列举情形，一般周期类似1、傅里叶级数展开式：2、系数：(1)当为奇函数时，此时级数变为，称为正弦级数(2)当为偶函数时，此时级数变为，称为余弦级数3、收敛性条件：在一个周期内1）处处连续或只有有限个第一类间断点；2）只有有限个极值点4、和： 五、函数展开成傅里叶级数：1）若为的周期函数，则对验证收敛定理的条件，求出的间断点，利用收敛定理，写出的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性2）若只在上有定义，则必须对进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数的傅氏级数展开式限制在上讨论3）若只在上有定义，对进行奇（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！五、微分方程续(一)一阶线性微分方程：形如 ，：齐次；：非齐次.(1)一阶齐次线性：通解： (2)一阶非齐次线性常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其常数为变量，再代入原方程以确定该变量公式解：(二)全微分方程：， 只要找原函数即可曲线积分法；（2）偏积分法；参见前文(三)可降阶的高阶微分方程(1)型：连续积分；(2)型(不显含的方程)：设，则(3)型(不显含的方程)：设，则(四)线性微分方程的解的结构1）齐次：，通解：，其中为该方程线性无关的两个解2)非齐次：通解：，其中为对应的齐次方程的通解，为原方程的一个特解3)设分别为与的特解，则为的特解（五）常系数线性微分方程1、 齐次：，其中都为常数1）特征方程2）通解：2、 非齐次：，其中都为常数1） 先求出对应的齐次方程的通解：；2） 后求原非齐次方程的特解A、型：令，其中是特征方程的根的重数B、型：令，其中，是特征方程含根的重数14 / 14