信号与系统教案第4章.ppt

信号与系统多媒体课件 第四章连续系统的频域分析 主讲人 李玲香 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 第四章连续系统的频域分析 4 1信号分解为正交函数4 2傅里叶级数 重点 4 3周期信号的频谱 重点 难点 4 4非周期信号的频谱 傅里叶变换 重点 4 5傅里叶变换的性质 重点 4 6周期信号的傅里叶变换4 7LTI系统的频域分析 重点 4 8取样定理 重点 难点 本章教学内容 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 本章教学基本要求 第四章连续系统的频域分析 1 掌握周期信号的傅里叶级数展开 2 掌握信号频谱的概念及其特性 了解实信号频谱的特点 3 掌握傅里叶变化及其基本性质 4 掌握系统对信号的频域分析方法 5 掌握系统的频域传输函数的概念 6 掌握系统低通滤波器特性 了解系统延时 失真 因果等概念 7 掌握线性系统的不失真条件 8 掌握连续信号的理想取样模型及取样定理 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 第四章连续系统的频域分析 4 1信号分解为正交函数 一 矢量正交与正交分解 时域分析 以冲激函数为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数 而yf t h t f t 本章将以正弦信号和虚指数信号ej t为基本信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和 这里用于系统分析的独立变量是频率 故称为频域分析 矢量Vx vx1 vx2 vx3 与Vy vy1 vy2 vy3 正交的定义 其内积为0 即 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 由两两正交的矢量组成的矢量集合 称为正交矢量集 如三维空间中 以矢量vx 2 0 0 vy 0 2 0 vz 0 0 2 所组成的集合就是一个正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量A 2 5 8 可以用一个三维正交矢量集 vx vy vz 分量的线性组合表示 即A vx 2 5vy 4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 二 信号正交与正交函数集 1 定义 定义在 t1 t2 区间的两个函数 1 t 和 2 t 若满足 两函数的内积为0 则称 1 t 和 2 t 在区间 t1 t2 内正交 2 正交函数集 若n个函数 1 t 2 t n t 构成一个函数集 当这些函数在区间 t1 t2 内满足 则称此函数集为在区间 t1 t2 的正交函数集 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 3 完备正交函数集 如果在正交函数集 1 t 2 t n t 之外 不存在函数 t 0 满足 则称此函数集为完备正交函数集 例如 三角函数集 1 cos n t sin n t n 1 2 和虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 是两组典型的在区间 t0 t0 T T 2 上的完备正交函数集 i 1 2 n 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 三 信号的正交分解 设有n个函数 1 t 2 t n t 在区间 t1 t2 构成一个正交函数空间 将任一函数f t 用这n个正交函数的线性组合来近似 可表示为f t C1 1 C2 2 Cn n 如何选择各系数Ci使f t 与近似函数之间误差在区间 t1 t2 内为最小 通常使误差的方均值 称为均方误差 最小 均方误差为 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 为使上式最小 展开上式中的被积函数 并求导 上式中只有两项不为0 写为 即 所以系数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 1信号分解为正交函数 代入 得最小均方误差 推导过程见教材 在用正交函数去近似f t 时 所取得项数越多 即n越大 则均方误差越小 当n 时 为完备正交函数集 均方误差为零 此时有 上式称为 Parseval 巴塞瓦尔公式 其物理意义 在区间 t1 t2 f t 所含能量恒等于f t 在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和 函数f t 可分解为无穷多项正交函数之和 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 2傅里叶级数 一 傅里叶级数的三角形式 设周期信号f t 其周期为T 角频率 2 T 当满足狄里赫利 Dirichlet 条件时 它可分解为如下三角级数 称为f t 的傅里叶级数 系数an bn称为傅里叶系数 可见 an是n的偶函数 bn是n的奇函数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 2傅里叶级数 式中 A0 a0 上式表明 周期信号可分解为直流和许多余弦分量 其中 A0 2为直流分量 A1cos t 1 称为基波或一次谐波 它的角频率与原周期信号相同 A2cos 2 t 2 称为二次谐波 它的频率是基波的2倍 一般而言 Ancos n t n 称为n次谐波 可见An是n的偶函数 n是n的奇函数 an Ancos n bn Ansin n n 1 2 将上式同频率项合并 可写为 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 例4 1 1求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式 已知 解 傅里叶级数展开式为 基波 直流 谐波 4 2傅里叶级数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 二 波形的对称性与谐波特性 1 f t 为偶函数 对称纵坐标 bn 0 展开为余弦级数 2 f t 为奇函数 对称于原点 an 0 展开为正弦级数 实际上 任意函数f t 都可分解为奇函数和偶函数两部分 即f t fod t fev t 由于f t fod t fev t fod t fev t 所以 4 2傅里叶级数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 3 f t 为奇谐函数 f t f t T 2 此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量 而不含偶次谐波分量即a0 a2 b2 b4 0 三 傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数 含义比较明确 但运算常感不便 因而经常采用指数形式的傅里叶级数 可从三角形式推出 利用cosx ejx e jx 2 4 2傅里叶级数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 上式中第三项的n用 n代换 A n An n n 则上式写为 令A0 A0ej 0ej0 t 0 0 所以 4 2傅里叶级数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 2傅里叶级数 令复数 称其为复傅里叶系数 简称傅里叶系数 n 0 1 2 表明 任意周期信号f t 可分解为许多不同频率的虚指数信号之和 F0 A0 2为直流分量 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 2傅里叶级数 四 周期信号的功率 Parseval等式 直流和n次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和 n 0时 Fn An 2 周期信号一般是功率信号 其平均功率为 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 一 信号频谱的概念 从广义上说 信号的某种特征量随信号频率变化的关系 称为信号的频谱 所画出的图形称为信号的频谱图 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值 相位随频率的变化关系 即将An 和 n 的关系分别画在以 为横轴的平面上得到的两个图 分别称为振幅频谱图和相位频谱图 因为n 0 所以称这种频谱为单边谱 也可画 Fn 和 n 的关系 称为双边谱 若Fn为实数 也可直接画Fn 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 相位频谱 幅度频谱 离散谱 谱线 1 单边频谱 2 双边频谱 4 3周期信号的频谱 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 例4 3 1请画出信号f t 的幅度谱和相位谱 解 余弦形式 三角形式傅里叶级数系数 4 3周期信号的频谱 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 指数形式 4 3周期信号的频谱 方法二 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 例4 3 2 周期信号f t 试求该周期信号的基波周期T 基波角频率 画出它的单边频谱图 并求f t 的平均功率 解首先应用三角公式改写f t 的表达式 即 显然1是该信号的直流分量 的周期T1 8 的周期T2 6 所以f t 的周期T 24 基波角频率 2 T 12 根据帕斯瓦尔等式 其功率为 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 是f t 的 4 12 3次谐波分量 是f t 的 3 12 4次谐波分量 画出f t 的单边振幅频谱图 相位频谱图如图 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 解 思考题 求图示周期信号的傅里叶级数展开式 4 3周期信号的频谱 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 二 周期信号频谱的特点 举例 有一幅度为1 脉冲宽度为 的周期矩形脉冲 其周期为T 如图所示 求频谱 令Sa x sin x x 取样函数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 n 0 1 2 Fn为实数 可直接画成一个频谱图 设T 4 画图 零点为 特点 1 周期信号的频谱具有谐波 离散 性 谱线位置是基频 的整数倍 2 一般具有收敛性 总趋势减小 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 3周期信号的频谱 谱线的结构与波形参数的关系 a T一定 变小 此时 谱线间隔 不变 两零点之间的谱线数目 1 2 2 T T 增多 b 一定 T增大 间隔 减小 频谱变密 幅度减小 如果周期T无限增长 这时就成为非周期信号 那么 谱线间隔将趋近于零 周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱 各频率分量的幅度也趋近于无穷小 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 一 傅里叶变换 非周期信号f t 可看成是周期T 时的周期信号 前已指出当周期T趋近于无穷大时 谱线间隔 趋近于无穷小 从而信号的频谱变为连续频谱 各频率分量的幅度也趋近于无穷小 不过 这些无穷小量之间仍有差别 为了描述非周期信号的频谱特性 引入频谱密度的概念 令 单位频率上的频谱 称F j 为频谱密度函数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 考虑到 T 无穷小 记为d n 由离散量变为连续量 而 同时 于是 傅里叶变换式 傅里叶反变换式 F j 称为f t 的傅里叶变换或频谱密度函数 简称频谱 f t 称为F j 的傅里叶反变换或原函数 根据傅里叶级数 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 也可简记为 F j F f t f t F 1 F j 或f t F j F j 一般是复函数 写为F j F j ej R jX 说明 1 前面推导并未遵循严格的数学步骤 可证明 函数f t 的傅里叶变换存在的充分条件 2 用下列关系还可方便计算一些积分 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 二 常用函数的傅里叶变换 单边指数函数f t e t t 0实数 2 双边指数函数f t e t 0 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 3 门函数 矩形脉冲 4 冲激函数 t t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 5 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件 如1 t 等 但傅里叶变换却存在 直接用定义式不好求解 可构造一函数序列 fn t 逼近f t 即 而fn t 满足绝对可积条件 并且 fn t 的傅里叶变换所形成的序列 Fn j 是极限收敛的 则可定义f t 的傅里叶变换F j 为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 构造f t e t 0 所以 又 因此 1 2 另一种求法 t 1代入反变换定义式 有 将 t t 再根据傅里叶变换定义式 得 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 6 符号函数 4 4傅里叶变换 7 阶跃函数 t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 4傅里叶变换 归纳记忆 1 F变换对 2 常用函数F变换对 t t e t t g t sgn t e t 1 1 2 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 一 线性 LinearProperty Iff1 t F1 j f2 t F2 j then Proof F af1 t bf2 t aF1 j bF2 j af1 t bf2 t aF1 j bF2 j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 ForexampleF j Ans f t f1 t g2 t f1 t 1 2 g2 t 2Sa F j 2 2Sa 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 二 时移性质 TimeshiftingProperty Iff t F j then where t0 isrealconstant Proof F f t t0 同理得 时移性表明若在时域上将f t 平移时间t0 则其频谱函数的振幅并不改变 但其相位将改变wt0 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 ForexampleF j Ans f1 t g6 t 5 f2 t g2 t 5 g6 t 5 g2 t 5 F j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 三 对称性质 SymmetricalProperty Iff t F j then Proof 1 in 1 t tthen 2 in 2 then F jt 2 f end F jt 2 f 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample F j Ans if 1 if F j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 四 频移性质 FrequencyShiftingProperty Iff t F j then Proof where 0 isrealconstant F ej 0tf t F j 0 end Forexample1 f t ej3t F j Ans 1 2 ej3t 1 2 3 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample2 f t cos 0t F j Ans F j 0 0 Forexample3 Giventhatf t F j Themodulatedsignalf t cos 0t 频移性也称调制特性 频谱搬移技术在通信系统中得到了广泛的应用 诸如调幅 同步解调 变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的 Ans 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 五 尺度变换性质 ScalingTransformProperty Iff t F j then where a isanonzerorealconstant Proof F f at Fora 0 F f at 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 fora 0 F f at Thatis f at Also lettinga 1 f t F j 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比 信号持续时间的压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数 反之亦然 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample1 Giventhatf t F j findf at b Ans f t b e j bF j f at b or f at f at b 思考 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample2 f t F j Ans Usingsymmetry usingscalingpropertywitha 1 sothat 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 六 卷积性质 ConvolutionProperty Convolutionintimedomain Iff1 t F1 j f2 t F2 j Thenf1 t f2 t F1 j F2 j Convolutioninfrequencydomain Iff1 t F1 j f2 t F2 j Thenf1 t f2 t F1 j F2 j 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系 在通讯 信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Proof F f1 t f2 t Usingtimeshifting Sothat F f1 t f2 t F1 j F2 j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample Ans Usingsymmetry 课后思考 利用频域卷积定理求F j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 七 时域的微分和积分 DifferentiationandIntegrationintimedomain Iff t F j then Proof f n t n t f t j nF j f 1 t t f t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 f t 1 t2 Forexample1 Ans 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample2 Giventhatf t F1 j f t F1 j f f Proof So Summary iff n t Fn j andf f 0Thenf t F j Fn j j n 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Forexample3 Determinef t F j Ans f t t 2 2 t t 2 F2 j F f t ej2 2 e j2 2cos 2 2 F j Notice d t dt t 1 t 1 j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 八 频域的微分和积分 DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain Iff t F j then jt nf t F n j where Forexample1 Determinef t t t F j Ans 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 Notice t t t t It swrong Because and 1 j isnotdefined Forexample2 Determine Ans 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 九 帕斯瓦尔关系 Parseval sRelationforAperiodicSignals Proof F j 2isreferredtoastheenergy densityspectrumoff t 单位频率上的频谱 能量密度谱 J s 4 5傅里叶变换的性质 意义 能量守恒 即 信号时域能量等于频域能量 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 Forexample1 Determinetheenergyof Ans 4 5傅里叶变换的性质 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 可得 解 由Parserval定理 4 5傅里叶变换的性质 Forexample2 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 解 由Parserval定理 可得 4 5傅里叶变换的性质 Forexample3 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 5傅里叶变换的性质 十 奇偶性 Parity Iff t isreal then R jX Sothat R R X X F j F j 2 Iff t f t thenX 0 F j R Iff t f t thenR 0 F j jX 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 线性性质 傅立叶变换的基本性质小结 折叠性 对称性 时频展缩性 时移性 频移性 时域微分性 时域积分性 频域微分性 频域积分性 时域卷积定理 频域卷积定理 帕塞瓦尔定理 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 课后练习 解 1 利用傅立叶变换微积分性 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 2 利用频域卷积定理 其中 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 3 利用傅立叶变换定义 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 6周期信号的傅里叶变换 一 正 余弦的傅里叶变换 1 2 由频移特性得ej 0t 2 0 e j 0t 2 0 cos 0t ej 0t e j 0t 0 0 sin 0t ej 0t e j 0t 2j j 0 0 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和 对周期信号 对非周期信号 其基本信号为ej t 一 基本信号ej t作用于LTI系统的响应 说明 频域分析中 信号的定义域为 而t 总可认为系统的状态为0 因此本章的响应指零状态响应 常写为y t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 6周期信号傅里叶变换 二 一般周期信号的傅里叶变换 例4 6 1 周期为T的单位冲激周期函数 T t 解 1 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 6周期信号傅里叶变换 例4 6 2 周期信号如图 求其傅里叶变换 解 周期信号f t 也可看作一时限非周期信号f0 t 的周期拓展 即 f t T t f0 t F j F0 j F j 本题f0 t g2 t 2 2 式与上页 1 式比较 得 这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和 对周期信号 对非周期信号 其基本信号为ej t 一 基本信号ej t用于LTI系统的响应 说明 频域分析中 信号的定义域为 而t 总可认为系统的状态为0 因此本章的响应指零状态响应 常写为y t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 设LTI系统的冲激响应为h t 当激励是角频率 的基本信号ej t时 其响应 而上式积分正好是h t 的傅里叶变换 记为H j 常称为系统的频率响应函数 y t H j ej t 可见 ej t通过线性系统后响应随时间变化服从ej t H j 相当加权函数 反映了响应y t 的幅度和相位 y t h t ej t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 二 一般信号f t 作用于LTI系统的响应 ej t H j ej t F j ej td F j H j ej td 齐次性 可加性 f t y t F 1 F j H j Y j F j H j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 频率响应H j 可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y j 与激励f t 的傅里叶变换F j 之比 即 H j 称为幅频特性 或幅频响应 称为相频特性 或相频响应 H j 是 的偶函数 是 的奇函数 频域分析法步骤 傅里叶变换法 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 对周期信号还可用傅里叶级数法 周期信号 若 则可推导出 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 1 基本周期信号 所以 激励与响应为同频率的正弦量 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 2 任意周期信号 所以 激励与响应均为周期信号 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 3 周期信号通过线性系统响应的频谱 对于周期信号 1 周期信号作用于线性系统 其响应也为周期信号 2 周期激励信号的频谱为冲激序列 其响应频谱也为冲激序列 结论 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 例4 6 3 图 a 所示系统 若激励如图 b 所示 求响应i t a b 解 n为奇数 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 激励u t 的频谱 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 响应i t 的频谱 n为奇数 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 练习 图 a 所示系统 频率特性如图 b 所示 求响应y t 其中 a b 解 方法1 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 解 方法2 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 例4 6 4 某LTI系统的 H j 和 如图 若f t 2 4cos 5t 4cos 10t 求系统的响应 解法一 用傅里叶变换 F j 4 4 5 5 4 10 10 Y j F j H j 4 H 0 4 5 H j5 5 H j5 4 10 H j10 10 H j10 H j H j ej 4 4 j0 5 5 j0 5 5 y t F 1 Y j 2 2sin 5t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 解法二 用三角傅里叶级数 f t 的基波角频率 5rad s f t 2 4cos t 4cos 2 t H 0 1 H j 0 5e j0 5 H j2 0 y t 2 4 0 5cos t 0 5 2 2sin 5t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 三 频率响应H j 的求法 1 H j F h t 2 H j Y j F j 由微分方程求 对微分方程两边取傅里叶变换 由电路直接求出 例4 7 1 某系统的微分方程为 y t 2y t f t 求f t e t t 时的响应yf t 解 微分方程两边取傅里叶变换 j Y j 2Y j F j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 f t e t t Yf j H j F j y t e t e 2t t 例4 7 2 如图电路 R 1 C 1F 以uC t 为输出 求其h t 解 画电路频域模型 h t e t t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 四 无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类 一类是信号的传输 一类是滤波 传输要求信号尽量不失真 而滤波则滤去或削弱不需要有的成分 必然伴随着失真 1 无失真传输 1 定义 信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比 只有幅度的大小和出现时间的先后不同 而没有波形上的变化 即输入信号为f t 经过无失真传输后 输出信号应为 y t f t h t Kf t td 其频谱关系为Y j Ke j tdF j 信号失真 线性失真 幅度失真 相位失真 非线性失真 产生新的频率成分 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 系统要实现无失真传输 对系统h t H j 的要求是 a 对h t 的要求 h t K t td b 对H j 的要求 H j Y j F j Ke j td即 H j K td 上述是信号无失真传输的理想条件 当传输有限带宽的信号时 只要在信号占有频带范围内 系统的幅频 相频特性满足以上条件即可 2 无失真传输条件 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 例4 7 3 系统的幅频特性 H j 和相频特性如图 a b 所示 则下列信号通过该系统时 不产生失真的是 A f t cos t cos 8t B f t sin 2t sin 4t C f t sin 2t sin 4t D f t cos2 4t 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 例4 7 4 图示系统 若要求不失真传输 1 求R1和R2 2 求电阻与电容参数关系 1 2 解 若要求不失真传输 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 1 2 若要求不失真传输 则 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 2 理想低通滤波器 具有如图所示幅频 相频特性的系统称为理想低通滤波器 c称为截止角频率 理想低通滤波器的频率响应可写为 1 冲激响应 h t 1 g2 c e j td 可见 它实际上是不可实现的非因果系统 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 1 h t 与 t 比较 严重失真 2 h t 为抽样函数 最大值为 3 滤波器限制输入信号高频成分 4 t 0时 h t 0 非因果系统理想低通滤波器是物理不可实现 讨论 实际低通滤波器通过逼近实现 h t 有效持续时间 主瓣 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 2 阶跃响应 g t h t t 经推导 可得 称为正弦积分 特点 有明显失真 只要 c 则必有振荡 其过冲比稳态值高约9 这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象 gmax 0 5 Si 1 0895 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 单位阶跃响应讨论 2 上升时间 响应由最小值到最大值所经历的时间 记作 3 阶跃响应上升时间与系统带宽成反比 4 理想低通滤波器是一个非因果系统和不可实现系统 4 7LTI系统的频域分析 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 7LTI系统的频域分析 3 物理可实现系统的条件 就时域特性而言 一个物理可实现的系统 其冲激响应在t 0时必须为0 即h t 0 t 0即响应不应在激励作用之前出现 就频域特性来说 佩利 Paley 和维纳 Wiener 证明了物理可实现的幅频特性必须满足 并且 称为佩利 维纳准则 必要条件 从该准则可看出 对于物理可实现系统 其幅频特性可在某些孤立频率点上为0 但不能在某个有限频带内为0 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 取样定理论述了在一定条件下 一个连续信号完全可以用离散样本值表示 这些样本值包含了该连续信号的全部信息 利用这些样本值可以恢复原信号 可以说 取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 为其互为转换提供了理论依据 一 信号的取样 所谓 取样 就是利用取样脉冲序列s t 从连续信号f t 中 抽取 一系列离散样本值的过程 这样得到的离散信号称为取样信号 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 如图一连续信号f t 用取样脉冲序列s t 开关函数 进行取样 取样间隔为TS fS 1 TS称为取样频率 得取样信号 fS t f t s t 取样信号fS t 的频谱函数为FS j 1 2 F j S j 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 冲激取样 若s t 是周期为Ts的冲激函数序列 Ts t 则称为冲激取样 如果f t 是带限信号 即f t 的频谱只在区间 m m 为有限值 而其余区间为0 设f t F j 取样信号fS t 的频谱函数 FS j 1 2 F j S s S 2 TS s t Ts t S s 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 上面在画取样信号fS t 的频谱时 设定 S 2 m 这时其频谱不发生混叠 因此能设法 如利用低通滤波器 从FS j 中取出F j 即从fS t 中恢复原信号f t 否则将发生混叠 而无法恢复原信号 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 二 时域取样定理 当 S 2 m时 将取样信号通过下面的低通滤波器 其截止角频率 C取 m C S m 即可恢复原信号 由于fs t f t s t f t H j h t 为方便 选 C 0 5 S 则Ts C 1 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 4 8取样定理 所以 根据f t fS t h t 有 只要已知各取样值f nTs 就出唯一地确定出原信号f t 时域取样定理 一个频谱在区间 m m 以外为0的带限信号f t 可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts 1 2fm 上的样值点f nTs 确定 注意 为恢复原信号 必须满足两个条件 1 f t 必须是带限信号 2 取样频率不能太低 必须fs 2fm 或者说 取样间隔不能太大 必须Ts 1 2fm 否则将发生混叠 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 例4 8 1 图 a 所示系统 其H1 j 和f1 t 如图 b c 所示 1 求F1 j 的频谱图 3 求 s 2 m时Fs j 频谱图 2 求抽样间隔Ts的最大值 4 若y t f t 求H2 j 4 8取样定理 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 解 4 若y t f t H2 j 应如图所示 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 通常把最低允许的取样频率fs 2fm称为奈奎斯特 Nyquist 频率 把最大允许的取样间隔Ts 1 2fm 称为奈奎斯特间隔 频域取样定理 根据时域与频域的对偶性 可推出频域取样定理 P191一个在时域区间 tm tm 以外为0的时限信号f t 的频谱函数F j 可唯一地由其在均匀频率间隔fs fs 1 2tm 上的样值点F jn s 确定 4 8取样定理 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 图 a 所示系统中 已知H1 j H2 j 图 b c 所示 且已知 2 0 并可无失真地恢复出f t 1 画出f t f1 t f3 t f5 t 的频谱函数图 2 f5 t 的频谱不混叠时 2 0应满足什么条件 3 3应为多大 课后练习 湖南科技学院计算机与通信工程系通信教研室 时域与频域分析对比 t域 域 分析变量 基本信号 系统特性 激励分解 响应分解 时间变量 频率变量 t e j t h t H j 系统分析 突出信号与系统的时间特性 突出信号与系统的频率特性