安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第六章 圆 6.1 圆的有关性质课件.ppt

第六章圆 6 1圆的有关性质 理解圆的有关概念 理解弧 弦 圆心角的概念 了解三角形的外心 掌握圆的性质 圆周角定理及其推论 理解圆内接四边形对角互补 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 圆的有关概念与圆的对称性 8年4考 1 圆的有关概念 1 圆 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 这个定点叫做圆心 这个定长叫做半径 圆心确定了圆的位置 半径确定了圆的大小 2 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧 小于半圆的弧叫做劣弧 大于半圆的弧叫做优弧 3 弦 连接圆上两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 直径是圆中最大的弦 4 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 5 圆周角 顶点在圆上 两边都和圆相交的角叫做圆周角 6 等圆 半径相等的圆叫做等圆 7 等弧 在同圆或等圆中 能够重合的弧叫做等弧 8 弦心距 圆心到弦的距离 叫做弦心距 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 2 圆的基本性质 1 同圆或等圆的半径相等 2 圆的直径等于同圆或等圆半径的2倍 3 圆既是中心对称图形 圆心是对称中心 也是轴对称图形 过圆心的每一条直线都是它的对称轴 还是旋转对称图形 绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合 3 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对弦的弦心距相等 推论 在同圆或等圆中 圆心角相等 弦相等 弦的弦心距相等 弦所对的弧相等 如果以上四条中有一条成立 那么另外三条也成立 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 4 垂径定理 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 2 垂径定理的推论 a 圆的两条平行弦所夹的弧相等 b 一条直线如果具有 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的弧 这四条中有两条成立 则这条直线也满足其余的两条 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 答案 D 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 方法指导 解答与圆有关的计算问题在解答与圆有关的计算问题时 垂径定理和勾股定理 形影不离 常结合起来使用 一般地 求解时将已知条件集中在一个直角三角形中 这个直角三角形的斜边是圆的半径 一条直角边是弦心距 另一条直角边是弦的一半 如图 设圆的半径为r 弦长为a 弦心距为d 弓形高为h 则 d2 r2 h r d 这两个等式是关于四个量r a d h的一个方程组 只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 提分训练1 2018 贵州安顺 已知 O的直径CD 10cm AB是 O的弦 AB CD 垂足为M 且AB 8cm 则AC的长为 C 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 考点扫描 考点1 考点2 备课资料 2 2018 广西玉林 小华为了求出一个圆盘的半径 他用所学的知识 将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切 另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是 4 和 16 单位 cm 请你帮小华算出圆盘的半径是cm 10 解析 如图 记圆的圆心为O 连接OB OC交AB于D点 OC AB BD AB 由图知AB 16 4 12cm CD 2cm BD 6cm 设圆的半径为r 则OD r 2 OB r 在Rt BOD中 根据勾股定理得OB2 BD2 OD2 r2 36 r 2 2 r 10cm 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 圆周角定理及其推论 8年8考 1 圆周角定理 1 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 所对的弧是半圆 2 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 相邻的内角的对角 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 温馨提示 圆的有关性质 常作的辅助线 1 有弦时 过圆心作弦的垂线段 过弦的一个端点作半径 这样由 弦的一半 表示弦心距的垂线段 圆的半径 构成了直角三角形 2 有直径时 作出这条直径所对的圆周角 这个圆周角是直角 如果有圆周角是直角 作出它所对的弦 这条弦就是直径 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 典例2 2018 陕西 如图 ABC是 O的内接三角形 AB AC BCA 65 作CD AB 并与 O相交于点D 连接BD 则 DBC的大小为 A 15 B 35 C 25 D 45 解析 AB AC BCA 65 CBA BCA 65 A 50 CD AB ACD A 50 又 ABD ACD 50 DBC CBA ABD 15 答案 A 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 方法指导 1 解决与圆有关的角度的相关计算时 一般先判断角是圆周角还是圆心角 再转化成同弧所对的圆周角或圆心角 利用同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解 特别地 当有直径这一条件时 往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质 2 同圆的半径相等 有时还需要连接半径 用它来构造等腰三角形 有了等腰三角形 再利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 D 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 4 2018 江苏扬州 如图 已知 O的半径为2 ABC内接于 O ACB 135 则AB 解析 连接OA OB O的半径为2 ABC内接于 O ACB 135 AOB 90 OA OB 2 AB 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 典例3如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 延长AB与DC相交于点G AO CD 垂足为E 连接BD GBC 50 则 DBC的度数为 A 50 B 60 C 80 D 85 解析 由圆内接四边形的性质 得 ADC GBC 50 又 AO CD DAE 40 延长AE交 O于点F 由垂径定理 得 DBC 2 DAF 80 答案 C 方法指导 有关圆周角 圆内接四边形的问题题目中或图形中 有圆周角 圆内接四边形时 往往利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 同弧所对的圆周角相等 转移角 或利用圆内接四边形的对角互补 同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 求角的度数 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 B A 45 B 50 C 55 D 60 解析 四边形ABCD内接于 O ABC 105 ADC 180 ABC 180 105 75 BAC 25 DCE BAC 25 E ADC DCE 75 25 50 考点1 考点2 考点扫描 备课资料 方法归纳 圆的基本性质应用歌圆的问题不算难 常把半径直径连 有弦可作弦心距 它定垂直平分弦 直径是圆最大弦 直圆周角立上边 直径垂直平分弦 垂径相似在心间 圆周角 圆心角 细找关系把线连 同弧圆周角相等 证题用它最多见 考点扫描 备课资料 一 与垂径定理有关的辅助线类型1连半径构造直角三角形求圆中的弦长时 通常连半径 由半径 弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解 考点扫描 备课资料 典例1 2018 浙江衢州 如图 AC是 O的直径 弦BD AO于点E 连接BC 过点O作OF BC于点F 若BD 8cm AE 2cm 则OF的长度是 D 考点扫描 备课资料 类型2作弦心距巧解题已知弦长和圆的半径 常作弦心距 构造直角三角形 运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法 典例2 2018 湖北孝感 已知 O的半径为10cm AB CD是 O的两条弦 AB CD AB 16cm CD 12cm 则弦AB和CD之间的距离是cm 解析 分两种情况讨论 当弦AB和CD在圆心同侧时 如图1 AB 16cm CD 12cm AE 8cm CF 6cm OA OC 10cm EO 6cm OF 8cm EF OF OE 2cm 当弦AB和CD在圆心异侧时 如图2 AB 16cm CD 12cm AF 8cm CE 6cm OA OC 10cm OF 6cm OE 8cm EF OF OE 14cm 故弦AB与CD之间的距离为14cm或2cm 2或14 考点扫描 备课资料 二 作直径 巧用直径所对的圆周角是直角典例3如图 ACF内接于 O AB是 O直径 弦CD AB于点E 若CD BE 8 则sin AFC的值为 A 考点扫描 备课资料 三 与圆有关的动态问题典例4如图 AB是 O的直径 弦BC 2cm F是弦BC的中点 ABC 60 若动点E以2cm s的速度从点A出发沿着A B A方向运动 设运动时间为t s 0 t 4 连接EF 当t的值为s时 BEF是直角三角形 1或1 75或2 25或3 解析 作FM AB于点M AB是直径 ACB 90 BC 2cm B 60 AB 2BC 4 cm 在Rt FBM中 BF CF 1cm 当点E运动到与点O或点M重合时 EFB是直角三角形 当t的值为1或1 75或2 25或3s时 BEF是直角三角形 命题点1垂径定理及其推论 常考 1 如图 O的两条弦AB CD互相垂直 垂足为点E 且AB CD 已知CE 1 ED 3 则 O的半径是 命题点2圆周角定理及其推论 常考 2 如图 点P是等边三角形ABC外接圆 O上的点 在以下判断中 不正确的是 A 当弦PB最长时 APC是等腰三角形B 当 APC是等腰三角形时 PO ACC 当PO AC时 ACP 30 D 当 ACP 30 时 BPC是直角三角形 C 3 如图 点A B C D在 O上 O点在 D的内部 四边形OABC为平行四边形 则 OAD OCD 60 解析 根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半 所以 AOC 2 D 又因为四边形OABC是平行四边形 所以 B AOC 圆内接四边形对角互补 B D 180 所以 D 60 连接OD 则OA OD OD OC OAD ODA OCD ODC 即有 OAD OCD 60 4 2018 安徽第20题 如图 O为锐角 ABC的外接圆 半径为5 1 用尺规作图作出 BAC的平分线 并标出它与劣弧BC的交点E 保留作图痕迹 不写作法 2 若 1 中的点E到弦BC的距离为3 求弦CE的长 5 如图 在 O中 半径OC与弦AB垂直 垂足为E 以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F D是CF的延长线与 O的交点 若OE 4 OF 6 求 O的半径和CD的长 解 OC为小圆的直径 OFC 90 即OF CD CF DF OE AB OEF OFC 90 又 FOE COF OEF OFC