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第15练函数的概念、图象与性质明晰考情1.命题角度：(1)以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；(2)利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度.考点一函数及其表示要点重组(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x)中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同.(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则.1.函数y的定义域为_.答案解析函数有意义，则即所以函数的定义域为.2.设f(x)若f(a)f(a1)，则f_.答案6解析若0a1，由f(a)f(a1)，得2(a11)，a，ff(4)2(41)6.若a1，由f(a)f(a1)，得2(a1)2(a11)，无解.综上，f6.3.若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是_.答案0,1)解析由得0x1，函数g(x)的定义域为0,1).4.函数f(x)(a0且a1)的值域为_.答案(2017,2)解析f(x)2，因为ax0，所以ax11，所以02019，所以201722，故函数f(x)的值域为(2017,2).考点二函数的图象及应用方法技巧(1)函数图象的判断方法，找特殊点；看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)利用图象可确定函数性质、方程与不等式的解等问题.5.(2018扬州模拟)若函数yf(x)的图象经过点(1,2)，则yf(x)1的图象必经过的点的坐标是_.答案(1,3)解析根据yf(x)的图象经过点(1,2)，可得yf(x)的图象经过点(1,2)，函数yf(x)1的图象经过点(1,3).6.(2018宿迁调研)如图，已知过原点O的直线与函数ylog8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x的图象交于C，D两点，若BCx轴，则四边形ABDC的面积为_.答案log23解析设点A，B的横坐标分别为x1，x2.由题设知，x11，x21.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2).由BC平行于x轴知，log2x1log8x2，即log2x1log2x2，x2x.代入x2log8x1x1log8x2，得xlog8x13x1log8x1，由x11知log8x10，x3x1.考虑x11，解得x1.于是点A的坐标为(，log8)，即A，B，C，D.梯形ABDC的面积为S(ACBD)BC2log23.7.函数y的图象与函数y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_.答案8解析如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在2,4上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.8.若关于x的不等式4ax13x4(a0，且a1)对于任意的x2恒成立，则a的取值范围为_.答案解析不等式4ax13x4等价于ax1x1.令f(x)ax1，g(x)x1，当a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图1知不满足题意；当0a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)g(2)，即a2121，即a，所以a的取值范围是.考点三函数的性质与应用要点重组(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.(3)函数周期性的常用结论：若f(xa)f(x)或f(xa)，则2a是函数f(x)的周期.9.已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)_.答案2解析当x时，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1).当x0时，f(x)x31且当1x1时，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)2.10.设函数yf(x)(xR)为偶函数，且xR，满足ff，当x2,3时，f(x)x，则当x2,0时，f(x)_.答案3|x1|解析由题意得，f(x)的周期T2，当x0,1时，x22,3，f(x)f(x2)x2.又f(x)为偶函数，当x1,0时，x0,1，f(x)x2，f(x)x2；当x2，1时，x20,1，f(x)f(x2)x4.综上，当x2,0时，f(x)3|x1|.11.已知偶函数f，当x时，f(x)sinx.设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_.(用“”连接)答案cab解析因为函数f为偶函数，所以ff，即函数f(x)的图象关于直线x对称，即f(x)f(x).又因为当x时，f(x)sinx，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，因为21f(1)f(1)f(3)，即bac.12.已知函数yf(x)，xR，有下列四个命题：若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称.其中正确命题的序号为_.答案解析对于，1，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，令tx2，则问题等价于yf(t)与yf(t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t0对称，即函数yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x20，即x2对称，故正确；对于，由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数yf(x)的图象关于直线x4k(kZ)对称，不能推得函数yf(x)的图象关于直线x2对称，故错误；对于，由于函数f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确.1.已知函数f(x)的定义域为(1,1)，则函数g(x)ff(x1)的定义域为_.答案(0,2)解析由题意得解得故0x2.2.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_.答案(1,0)(0,1)解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即1x0或0x1.3.已知函数f(x)2x2ex(x0)与g(x)2x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是_.答案(，)解析由题意得，函数f(x)2x2ex(x0)与g(x)2x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则可转化为f1(x)ex(x0)与g1(x)ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则函数f1(x)ex(x0)只需将函数yex(x0)与yln(xa)图象有交点，在同一坐标系内作出它们的图象.如图所示，可得若a0，则两函数图象必存在交点，若a0，则需lna1，解得0a，所以a0的解集为_.答案解析因为f(4)2a3，所以a1.所以不等式f(x)0等价于即x，或即10的解集为.7.设函数f(x)在区间3,4上的最大值和最小值分别为M，m，则_.答案解析易知f(x)2，所以f(x)在区间3,4上单调递减，所以Mf(3)26，mf(4)24，所以.8.已知函数f(x2)(xR)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x0,1时，f(x)，则f(2018)_.答案0解析由题意知，f(x2)f(x2)，f(x)f(x4)，又f(x)f(x2)，f(x4)f(x2)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，故f(2018)f(20162)f(2)f(0)0.9.已知函数f(x)cos，则f_.答案1009解析由所给函数知，f(x)f(1x)coscos1coscos1，所以f1 009.10.设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_.答案解析由题意知，可对不等式分x0,0x，x三段讨论.当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当0x时，原不等式为2xx1，显然成立.当x时，原不等式为2x1，显然成立.综上可知，x的取值范围是.11.已知函数f(x)若af(a)f(a)0，则实数a的取值范围为_.答案(，2)(2，)解析当a0时，a2a3(a)0a22a0a2；当a0时，3a(a)2(a)0a2.综上，实数a的取值范围为(，2)(2，).12.能够把圆O：x2y216的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是_.(填序号)f(x)exex；f(x)ln；f(x)tan；f(x)4x3x.答案解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，中，f(0)e0e02，所以f(x)exex的图象不过原点，故f(x)exex不是“和谐函数”；中，f(0)lnln10，f(x)的定义域为(5,5)，且f(x)lnlnf(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)ln为“和谐函数”；中，f(0)tan00，f(x)的定义域为x|x2k，kZ，且f(x)tantanf(x)，f(x)为奇函数，故f(x)tan为“和谐函数”；中，f(0)0，且f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，故f(x)4x3x为“和谐函数”，所以中的函数都是“和谐函数”.
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